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1、会计学1定积与微积分基本定理理定积与微积分基本定理理第1页/共47页一、定积分的性质一、定积分的性质 1.kf(x)dx ；2.f(x)g(x)dx ；3.f(x)dx (其中其中acb).K f(x)dx(k为常数为常数)f(x)dx g(x)dxf(x)dxf(x)dx第2页/共47页二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义1.当函数当函数f(x)在区间在区间a，b上恒为正时，定积分上恒为正时，定积分f(x)dx的的几何意义是由直线几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积(图图1中阴影部分中阴影部分).第3页/共47页2.一
2、般情况下，定积分一般情况下，定积分 f(x)dx的几何意义是介的几何意义是介 于于x轴、曲轴、曲 线线f(x)以及直线以及直线xa、xb之间的曲边梯形面积之间的曲边梯形面积 的代数和的代数和 (图图2中阴影所示中阴影所示)，其中在，其中在x轴上方的面积等于该区间上轴上方的面积等于该区间上 的积的积 分值，在分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相轴下方的面积等于该区间上积分值的相 反数反数.第4页/共47页三、微积分基本定理三、微积分基本定理一般地，如果一般地，如果f(x)是在区间是在区间a，b上的连续函数，且上的连续函数，且F(x)f(x).那么那么f(x)dx.这个结论叫做这个结论叫做
3、微积微积分基本定理，又叫做牛顿分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式.其中其中F(x)叫做叫做f(x)的一个原函数的一个原函数.为了方便，我们常把为了方便，我们常把F(b)F(a)记作记作，即即f(x)dxF(x)F(b)F(a).F(b)F(a)F(x)a ab b第5页/共47页一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？唯一吗？提示：提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，
4、只要找到被积函数用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算数，这样有利于计算.第6页/共47页1.(2x4)dx ()A.5B.4 C.3 D.2解析：解析：(2x4)dx(x24x)(5245)(0240)5.答案：答案：A第7页/共47页2.若若 (2x )dx3ln2，且，且a1，则，则a的值为的值为 ()A.6 B.4 C.3 D.2解析：解析：(2x )dx(x2lnx)|a2lna1，故有故有a2lna13ln2，即，即a2.答案：答案：D第8页/共47页3.已知自由落体的速
5、度为已知自由落体的速度为vgt，则落体从，则落体从t0到到tt0所走所走 过的路程为过的路程为 ()解析：解析：答案：答案：C第9页/共47页4.曲线曲线ycosx(0 x )与两坐标轴所围成图形的面积为与两坐标轴所围成图形的面积为 .解析：解析：答案：答案：3第10页/共47页5.如果如果 (x)dx1，(x)dx1，则，则 (x)dx .解析：解析：答案：答案：2dxdx=-1-1=-2.第11页/共47页第12页/共47页1.求函数求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的的 一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆一个原函数，正
6、确运用求导运算与求原函数运算互为逆 运算的关系；若原函数不易寻找时，先把运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形进行变形.第13页/共47页2.计算简单定积分的步骤计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到分别用求导公式找到F(x)，使得，使得F(x)f(x)；(4)利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；莱布尼兹公式求
7、出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值计算所求定积分的值.第14页/共47页求下列定积分：求下列定积分：(1)(x2x)dx；(2)sin2dx；(3)|32x|dx.第15页/共47页(1)直接利用公式；直接利用公式；(2)首先对首先对sin2 进行变式；进行变式；(3)去掉绝对值，分段积分去掉绝对值，分段积分.第16页/共47页【解解】第17页/共47页第18页/共47页1.计算以下定积分：计算以下定积分：（sinx-sin2x）dx;第19页/共47页解解(1)函数函数y=2x2_的一个原函数是的一个原函数是第20页/共47页+ln3+6)-(2+ln2+4)第21页/共47页（3）
8、函数）函数y=sinx-sin2x的一个原函数为的一个原函数为所以所以y=-cosx+第22页/共47页在平面直角坐标系中，由曲线在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线，直线xa，xb(ab)和和x轴围成的曲边梯形的面积分为以下几种情况：轴围成的曲边梯形的面积分为以下几种情况：1.yf(x)(f(x)0，xa，b)，xa，xb(ab)和和x轴围成的轴围成的曲曲 边梯形的面积为边梯形的面积为S (x)dx(这时曲线全部在这时曲线全部在x轴上方轴上方)；第23页/共47页2.如果在如果在a，b上，上，f(x)0，则曲线，则曲线yf(x)，xa，xb(ab)和和x轴围成的曲边梯形的面积为轴围成的曲
9、边梯形的面积为S|(x)dx|(x)dx(这时曲线全部在这时曲线全部在x轴下方轴下方)；第24页/共47页3.如果在如果在a，b上，上，f(x)有正有负，即曲线在有正有负，即曲线在x轴上方和下轴上方和下 方都有图象，例如：在方都有图象，例如：在(a，c)上位于上位于x轴上方，在轴上方，在(c，b)上位于上位于x轴下方，则曲线轴下方，则曲线yf(x)，xa，xb(ag(x)与直线与直线xa，xb(ab)围成的图形的面积为围成的图形的面积为S f(x)g(x)dx.第25页/共47页在曲线在曲线yx2(x0)上某一点上某一点A处作一切线使处作一切线使之与曲线以及之与曲线以及x轴所围图形的面积为轴所
10、围图形的面积为试求切点试求切点A的坐标及过切点的坐标及过切点A的切线方程的切线方程.第26页/共47页需根据面积求出切点坐标需根据面积求出切点坐标.这又需要画出函数这又需要画出函数yx2(x0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，及切线的图形，再根据定积分的几何意义，求函数求函数yx2(x0)的定积分，从而确定相关图形的的定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决.第27页/共47页【解解】如图所示，设切点如图所示，设切点A(x0，y0)，由，由y2x，得过点，得过点A的切线方程为的切线方程为yy02x0(xx0)，即，
11、即y2x0 x 令令y0，得，得x 即即C(0).第28页/共47页设由曲线和过设由曲线和过A点的切线及点的切线及x轴所围成图形的面积为轴所围成图形的面积为S，所以所以x01，从而切点，从而切点A(1,1)，切线方程为，切线方程为y2x1.所以所以第29页/共47页2.求曲线求曲线yx2，直线，直线yx，y3x围成的图形的面积围成的图形的面积.解：解：作出曲线作出曲线yx2，直线，直线yx，y3x的图象，所求面积为图的图象，所求面积为图中阴影部分的面积中阴影部分的面积.解方程组解方程组解方程组解方程组第30页/共47页因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为第31页/共47页1.变速直线运
12、动问题变速直线运动问题 如果作变速直线运动的物体的速度如果作变速直线运动的物体的速度v关于时间关于时间t的函数是的函数是 vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻，那么物体从时刻ta到到tb所经过的路所经过的路 程为程为 (t)dt；如果作变速直线运动的物；如果作变速直线运动的物 体的速度关体的速度关 于时间的函数是于时间的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻，那么物体从时刻ta到到 tb所经过的路程为所经过的路程为 (t)dt.第32页/共47页2.变力做功问题变力做功问题 物体在变力物体在变力F(x)的作用下，沿与力的作用下，沿与力F(x)相同方向从相同方向从xa 到到xb所作的
13、功为所作的功为 (x)dx.第33页/共47页 列车以列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得的速度行驶，当制动时列车获得加速度加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？及离车站多远处开始制动？第34页/共47页 加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.第35页/共47页【解解】因列车停在车站时，速度为因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表，故应先求出速度的表达式，之后令达式，之后令v0，求出，求出t，再根据，再根据v和和t应用定积分求出路程应用定积分求出路程.已
14、知列车速度已知列车速度v072 km/h20 m/s，列车制动时获得的加速，列车制动时获得的加速度为度为a0.4 m/s2，设列车开始制动到经过设列车开始制动到经过t秒后的速度为秒后的速度为v，第36页/共47页则则vv0 adt20 0.4dt200.4t，令令v0，得，得t50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则，则s dt (200.4t)dt500(m)，所以列车应在进站前所以列车应在进站前50 s，以及离车站，以及离车站500 m处开始制动处开始制动.第37页/共47页3.设变力设变力F(x)作用在质点作用在质点M上，使上，使M沿
15、沿x轴正向从轴正向从x1运动运动 到到x10，已知，已知F(x)x21且和且和x轴正向相同，求变力轴正向相同，求变力F(x)对质点对质点M所做的功所做的功.解：解：变力变力F(x)x21使质点使质点M沿沿x轴正向从轴正向从x1运动到运动到x10所做的功为所做的功为W第38页/共47页第39页/共47页定积分是新课标中新增内容，主要考查有关定积分的定积分是新课标中新增内容，主要考查有关定积分的计算及其应用计算及其应用.对于定积分在几何或物理方面的应用，难度对于定积分在几何或物理方面的应用，难度不大，属于低档题不大，属于低档题.2009年广东卷考查了定积分的物理应用年广东卷考查了定积分的物理应用.
16、第40页/共47页(2009广东高考广东高考)已知甲、乙两车由同一已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线起点同时出发，并沿同一路线(假定为直假定为直线线)行驶行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为甲车、乙车的速度曲线分别为v甲甲和和v乙乙(如图所示如图所示).那么对于图中给定那么对于图中给定的的t0和和t1，下列判断中一定正确的是，下列判断中一定正确的是()第41页/共47页A.在在t1时刻，甲车在乙车前面时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面时刻后，甲车在乙车后面C.在在t0时刻，两车的位置相同时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面时刻后，乙车在甲车前面第42页/共
17、47页解析解析判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的的图象与图象与t轴以及时间段围成区域的面积轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在从图象知：在t0时时刻，刻，v甲甲的图象与的图象与t轴和轴和t0，tt0围成区域的面积大围成区域的面积大第43页/共47页大于大于v乙
18、乙的图象与的图象与t轴和轴和t0，tt0围成区域的面积，因此，围成区域的面积，因此，在在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在错误；同样，在t1时刻，时刻，v甲甲的图象与的图象与t轴和轴和t0，tt1围成区域的面积仍然大于围成区域的面积仍然大于v乙乙的图的图象与象与t轴和轴和t0，tt1围成区域的面积，所以，可以断定：围成区域的面积，所以，可以断定：在在t1时刻，甲车还是在乙车的前面时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选所以选A.答案答案A第44页/共47页本题告诉物体运动
19、的时间与速度的关系，研究物体的位本题告诉物体运动的时间与速度的关系，研究物体的位移关系，是定积分在物理中的应用，同学们思考一下，移关系，是定积分在物理中的应用，同学们思考一下，若告诉物体运动的路程与时间的关系研究物体的速度关若告诉物体运动的路程与时间的关系研究物体的速度关系又是一种什么问题呢？如下题：系又是一种什么问题呢？如下题：第45页/共47页如图所示物体甲、乙在时间如图所示物体甲、乙在时间0到到t1范围内路程的变范围内路程的变化情况，下列说法正确的是化情况，下列说法正确的是()A.在在0到到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在在0到到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在在t0到到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度范围内甲的平均速度小于乙的平均速度D.在在t0到到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度范围内甲的平均速度小于乙的平均速度第46页/共47页