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1、会计学1高中数学定积分与微积分基本定理高中数学定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想思想,了解定积分的概念了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义了解微积分基本定理的含义.第1页/共46页第2页/共46页1.定积分的性质定积分的性质(1)kf(x)dx；(2)f1(x)f2(x)dx；(3)f(x)dx.f(x)dx(k为常数为常数)f1(x)dxf2(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中其中acb)第3页/共46页2.微积分基本定理微积分基本定理一般地，如果一般地，如果F(x)f(x)，且，且f(x)是区间是区间a，
2、b上的连续的上的连续的函数函数,f(x)dx.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式.其中其中F(x)叫做叫做f(x)的一个原函数的一个原函数.F(b)F(a)为了方便，我们常把为了方便，我们常把F(b)F(a)记作记作，即，即 f(x)dx.F(x)F(x)F(b)F(a)第4页/共46页1.定积分定积分cosxdx()A.1B.0C.1D.解析：解析：cosxdxsinx sinsin00.答案：答案：B第5页/共46页2.已知已知k0，(2x3x2)dx0，则，则k()A.0B.1C.0或或1D.以上均不对以上均不对解析：解析
3、：(2x3x2)dx2xdx3x2dxx2x3k2k30.k0或或k1.又又k0，k1.答案：答案：B第6页/共46页3.设函数设函数f(x)xmax的导函数的导函数f(x)2x1，则，则f(x)dx的值等于的值等于()A.B.C.D.第7页/共46页解析：解析：f(x)2x1，m2，a1，即即f(x)x2x.答案：答案：A第8页/共46页解析：解析：答案：答案：2(e1)第9页/共46页5.曲线曲线y与直线与直线yx，x2所围成图形面积为所围成图形面积为.解析：解析：答案：答案：ln2第10页/共46页第11页/共46页利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函利用微积分基本定理求定积分
4、，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数.第12页/共46页特别警示特别警示(1)若函数若函数f(x)为偶函数，且在区间为偶函数，且在区间a，a上上连续，则连续，则f(x)dx2f(x)dx；若；若f(x)是奇函数，且是奇函数，且在区间在区间a，a上连续，则上连续，则f(x)dx0.(2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质定积分的性质f(x)dxf(x)dxf
5、(x)dx，根据函，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可析式，分别求出积分值，相加即可.第13页/共46页求下列定积分：求下列定积分：第14页/共46页思路点拨思路点拨第15页/共46页课堂笔记课堂笔记第16页/共46页(4)令令f(x)3x34sinx，x，f(x)在在，上为奇函数，上为奇函数，第17页/共46页1.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形；画出图形；(2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出确定图形的范围，通过解
6、方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；积分的上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；写出平面图形面积的定积分的表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.第18页/共46页2.几种典型的曲边梯形面积的计算方法几种典型的曲边梯形面积的计算方法(1)由三条直线由三条直线xa、xb(ab)、x轴，一条曲线轴，一条曲线y f(x)f(x)0围成围成的曲、边梯形的面积的曲、边梯形的面积(如图如图(1)：第19页/共4
7、6页(2)由三条直线由三条直线xa、xb(ab)、x轴、一条曲线轴、一条曲线yf(x)f(x)0围成围成的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积(如图如图(2)：第20页/共46页(3)由两条直线由两条直线xa、xb(ab)、两条曲线、两条曲线yf(x)、y g(x)f(x)g(x)围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积(如图如图(3)：第21页/共46页 求曲线求曲线yx2，直线，直线yx，y3x围成的图形的面积围成的图形的面积.思路点拨思路点拨第22页/共46页课堂笔记课堂笔记作出曲线作出曲线yx2，直线，直线yx，y3x的图象，所求面积为图的图象，所求面积为图中阴影部分的面积中阴影部分的面积.
8、解方程组解方程组得交点得交点(1,1)，解方程组解方程组得交点得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为第23页/共46页第24页/共46页若将本例中若将本例中“直线直线yx，y3x”改为改为“yx32x”，又，又该如何求解？该如何求解？解：解：由由x32xx2x1,0,2，所以面积为所以面积为S(x32xx2)dx(x2x32x)dx第25页/共46页定积分在物理中的应用，主要包括定积分在物理中的应用，主要包括求变速直线运动的路求变速直线运动的路程；程；求变力所做的功两部分内容求变力所做的功两部分内容.(1)要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的要求一个物体在一
9、段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体做变速直线运动的路程积分即可，即物体做变速直线运动的路程s，等于其速度，等于其速度函数函数vv(t)(v(t)0)在时间区间在时间区间a，b上的定积分上的定积分 v(t)dt.另外物体做变速直线运动的速度另外物体做变速直线运动的速度v，等于其加速度，等于其加速度函数函数aa(t)在时间区间在时间区间a，b上的定积分上的定积分a(t)dt.第26页/共46页(2)如果变力如果变力F(x)使得物体沿力的方向由使得物体沿力的方向由xa运动到运动到xb(a b
10、)，则变力，则变力F(x)对物体所做的功对物体所做的功WF(x)dx.第27页/共46页列车以列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？多远处开始制动？思路点拨思路点拨第28页/共46页课堂笔记课堂笔记因列车停车在车站时，速度为因列车停车在车站时，速度为0.故应先求出速故应先求出速度的表达式，之后令度的表达式，之后令v0，求出，求出t.再根据再根据v和和t应用定积分求应用定积分求出路程出路程.已知列车速度已知列车速度v072km/h20m/s，
11、列车制动时获得的加，列车制动时获得的加速度为速度为a0.4m/s2，设列车开始制动到经过设列车开始制动到经过t秒后的速度为秒后的速度为v，则，则vv0adt200.4dt200.4t，令，令v0，得，得t50(s).第29页/共46页设该列车由开始制动到停止时所走的路程是设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则，则Svdt(200.4t)dt500(m)，所以列车应在进站前所以列车应在进站前50s，以及离车站，以及离车站500m处开始制动处开始制动.第30页/共46页 高考对该部分内容的常规考法为：利用微积分基本定高考对该部分内容的常规考法为：利用微积分基本定理求已知函数在某一区间上的定积
12、分或求曲边梯形的理求已知函数在某一区间上的定积分或求曲边梯形的面积面积.09年广东高考以物理知识为载体，考查了定积分年广东高考以物理知识为载体，考查了定积分的几何意义以及考生运用所学知识分析问题和解决问的几何意义以及考生运用所学知识分析问题和解决问题的能力，是高考对该部分内容考查的一个新方向题的能力，是高考对该部分内容考查的一个新方向.第31页/共46页 考题印证考题印证 (2009广东高考广东高考)已知甲、乙两车由同已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直假定为直线线)行驶行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为甲车、乙车的速度曲线分别为v甲甲和和v乙乙(
13、如图所示如图所示).那么对于图中给定的那么对于图中给定的t0和和t1，下列判断中一定正确的是，下列判断中一定正确的是 ()A.在在t0时刻，两车的位置相同时刻，两车的位置相同 B.t0时刻后，乙车在甲车前面时刻后，乙车在甲车前面 C.在在t1时刻，甲车在乙车前面时刻，甲车在乙车前面 D.t1时刻后，甲车在乙车后面时刻后，甲车在乙车后面第32页/共46页【解析解析】路程路程S甲甲v(t)dt的几何意义为曲线的几何意义为曲线v甲甲与与tt1及及t轴所围的区域面积，同理轴所围的区域面积，同理S乙乙v(t)dt的几何意的几何意义为曲线义为曲线v乙乙与与tt1及及t轴所围的区域面积轴所围的区域面积.由图
14、易知由图易知S甲甲S乙乙，因而选因而选C.【答案答案】C第33页/共46页 自主体验自主体验 在区间在区间0,1上给定曲线上给定曲线yx2，若，若 0,1，则图中阴影部分的面积，则图中阴影部分的面积S1与与 S2之和最小值为之和最小值为.第34页/共46页解析：解析：S1面积等于边长为面积等于边长为t与与t2矩形面积去掉曲线矩形面积去掉曲线yx2与与x轴、直线轴、直线xt所围成的面积，即所围成的面积，即 S2的面积等于曲线的面积等于曲线yx2与与x轴、轴、xt，x1围成面积围成面积去掉矩形面积，矩形边长分别为去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1t)，即，即第35页/共46页所以阴影部分面积所
15、以阴影部分面积S为为S(t)4t22t4t(t )0时，得时，得t0，t .当当t 时，时，S最小，且最小值为最小，且最小值为S().答案：答案：第36页/共46页第37页/共46页1.(2009福建高考福建高考)(1cosx)dx等于等于 ()A.B.2 C.2 D.2第38页/共46页解析：解析：答案：答案：D第39页/共46页2.(2010开原模拟开原模拟)若若 (2x )dx3ln2,则则a的值的值为为 ()A.6 B.4 C.3 D.2解析：解析：答案：答案：D第40页/共46页3.如图，阴影部分的面积为如图，阴影部分的面积为 ()解析：解析：阴影部分的面积为阴影部分的面积为答案：答
16、案：C第41页/共46页4.设函数设函数f(x)ax2c(a0)，若，若f(x)dx f(x0),0 x01，则则x0的值为的值为.解析：解析：答案：答案：第42页/共46页5.ysinx(0 x2)与与x轴所围成图形的面积是轴所围成图形的面积是.解析：解析：答案：答案：4第43页/共46页6.在曲线在曲线yx2(x0)上某一点上某一点A处作一切线使之与曲线以及处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为轴所围的面积为 .试求：切点试求：切点A的坐标及过切点的坐标及过切点A的切的切 线方程线方程.解：解：如右图如右图.设切点设切点A(x0，y0)，由，由y2x，得过点，得过点A的切线方程为的切线方程为yy02x0(xx0)，即，即y2x0 x .令令y0，得，得x .即即C(,0).第44页/共46页设由曲线和过设由曲线和过A点的切线及点的切线及x轴所围成图形面积为轴所围成图形面积为S，即：即：所以所以x01，从而切点，从而切点A(1,1)，切线方程为，切线方程为y2x1.第45页/共46页