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1、数学数学(shxu)概率统计概率统计第一页，共41页。一一.条件条件(tiojin)(tiojin)概率概率第1页/共40页第二页，共41页。例例 1盒中有盒中有4个外形个外形(wi xn)相同的相同的球，它们的标号分别为球，它们的标号分别为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放，每次从盒中取出一球，有放回地取两次回地取两次则该试验的所有可能的结果为则该试验的所有可能的结果为 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中其中(i,j)表示第一次取出表示第一次取出i号球，号球
2、，第二次取出第二次取出j号球号球第2页/共40页第三页，共41页。例例 1（续）（续）设设A=第一次取出球的标号为第一次取出球的标号为 2 B=取出的两球标号之和为取出的两球标号之和为 4 则事件则事件(shjin)B所含的样本点为所含的样本点为 (1,3)(2,2)(3,1)因此事件因此事件(shjin)B的概率为的概率为第3页/共40页第四页，共41页。例例 1（续）（续）若我们考虑在事件若我们考虑在事件若我们考虑在事件若我们考虑在事件A A发生的条件发生的条件发生的条件发生的条件(tiojin)(tiojin)下，事下，事下，事下，事件件件件B B发生的概率，并记此概率为发生的概率，并记
3、此概率为发生的概率，并记此概率为发生的概率，并记此概率为由于已知事件由于已知事件A已经发生，则该试验已经发生，则该试验(shyn)的所的所有可能结果为有可能结果为 (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)这时，事件这时，事件B是在事件是在事件A已经发生的条件下的概率，已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为因此这时所求的概率为第4页/共40页第五页，共41页。注注 意意由例由例1可以看出，事件在可以看出，事件在“条件条件A已发生这附加条件的概率与不已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的附加这个条件的概率是不同的因此，有必要因此，有必要(byo)引入下面引入下面的定义：的定义：
4、第5页/共40页第六页，共41页。条件条件(tiojin)概率的定义概率的定义设设A、B是某随机是某随机(su j)试验中的两个试验中的两个事件，且事件，且 则称事件(shjin)B在“事件(shjin)A已发生”这一附加条件下的概率为在事件(shjin)A已发生的条件下事件(shjin)B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为第6页/共40页第七页，共41页。条件条件(tiojin)(tiojin)概率计算公式概率计算公式在例在例在例在例 1 1 中，我们中，我们中，我们中，我们(w men)(w men)已求得已求得已求得已求得 还可求得还可求得 显然，上述结果满足(mnz)下面的等
5、式 上面的公式具有一般性，即有上面的公式具有一般性，即有第7页/共40页第八页，共41页。条件条件(tiojin)概率计算公式概率计算公式设设A、B是某随机试验是某随机试验(shyn)中的两个事件，且中的两个事件，且 则则第8页/共40页第九页，共41页。条件条件(tiojin)概率的性概率的性质质条件条件条件条件(tiojin)(tiojin)概率有如下性质：概率有如下性质：概率有如下性质：概率有如下性质：简言之，条件简言之，条件(tiojin)概率是概率概率是概率第9页/共40页第十页，共41页。例例 2已知某家庭有已知某家庭有3个小孩个小孩(xio hi)，且，且至少有一个是女孩，求该家
6、庭至少有至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率一个男孩的概率解：解：设：设：A=3个小孩个小孩(xio hi)至少有一至少有一个女孩个女孩 B=3个小孩个小孩(xio hi)至少有一至少有一个男孩个男孩 第10页/共40页第十一页，共41页。例例 2（续）（续）则则 所以(suy)第11页/共40页第十二页，共41页。说说 明明对于对于(duy)某些比较某些比较简单的条件概率，我们简单的条件概率，我们可以直接计算可以直接计算第12页/共40页第十三页，共41页。例例 3袋中有袋中有袋中有袋中有 4 4 只白球，只白球，只白球，只白球，5 5 只黑球只黑球只黑球只黑球(hi qi)(hi
7、 qi)，每次从中取一，每次从中取一，每次从中取一，每次从中取一球，不放回地取两次，已知第一次取出的是白球，求球，不放回地取两次，已知第一次取出的是白球，求球，不放回地取两次，已知第一次取出的是白球，求球，不放回地取两次，已知第一次取出的是白球，求第二次也取出白球的概率第二次也取出白球的概率第二次也取出白球的概率第二次也取出白球的概率解：解：解：解：设：设：设：设：A=A=第一次取出白球第一次取出白球第一次取出白球第一次取出白球 ，B=B=第二次取出白球第二次取出白球第二次取出白球第二次取出白球 ，则当已知事件则当已知事件则当已知事件则当已知事件 A A 发生时，袋中还有球发生时，袋中还有球发
8、生时，袋中还有球发生时，袋中还有球 8 8 只，其中只，其中只，其中只，其中有白球有白球有白球有白球 3 3 只，故只，故只，故只，故第13页/共40页第十四页，共41页。例例 4n n个人排成一排，已知甲总是排在乙的前面，求乙恰好个人排成一排，已知甲总是排在乙的前面，求乙恰好个人排成一排，已知甲总是排在乙的前面，求乙恰好个人排成一排，已知甲总是排在乙的前面，求乙恰好紧跟在甲的后面紧跟在甲的后面紧跟在甲的后面紧跟在甲的后面(hu mian)(hu mian)的概率的概率的概率的概率解：解：解：解：第14页/共40页第十五页，共41页。例例 4第15页/共40页第十六页，共41页。二二.乘法乘法
9、(chngf)(chngf)公式公式第16页/共40页第十七页，共41页。两个事件两个事件(shjin)的乘法公式的乘法公式由条件由条件(tiojin)概率的计算公式概率的计算公式 我们我们(w men)得得这就是两个事件的乘法公式这就是两个事件的乘法公式第17页/共40页第十八页，共41页。多个多个(du)事件的乘法公式事件的乘法公式由数学由数学由数学由数学(shxu)(shxu)归纳法，我们有归纳法，我们有归纳法，我们有归纳法，我们有则有则有这就是这就是n个事件的乘法个事件的乘法(chngf)公式公式第18页/共40页第十九页，共41页。例例 5第19页/共40页第二十页，共41页。例例
10、6袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止出黑球为止出黑球为止出黑球为止(wizh)(wizh)求取了求取了求取了求取了n n次都未取出黑球的概率次都未取出黑球的概率次都未取出黑球的概率次都未取出黑球的概率解：解：解：解：则则第20页/共40页第
11、二十一页，共41页。例例 6（续）（续）由乘法公式由乘法公式(gngsh)(gngsh)，我们有，我们有第21页/共40页第二十二页，共41页。三三.全概率全概率(gil)(gil)公式公式第22页/共40页第二十三页，共41页。全概率全概率(gil)(gil)公式公式设随机设随机设随机设随机(su j)(su j)事件事件事件事件满足满足(mnz)：第23页/共40页第二十四页，共41页。全概率全概率(gil)(gil)公式的证明公式的证明由条由条件件(tiojin)：得得而且而且(r qi)由由第24页/共40页第二十五页，共41页。全概率全概率(gil)(gil)公式的证明公式的证明（续
12、）（续）所以所以(suy)由概率的由概率的可列可加性，得可列可加性，得代入公式代入公式(gngsh)（1），得），得第25页/共40页第二十六页，共41页。全概率全概率(gil)(gil)公式的使用公式的使用我们我们我们我们(w men)(w men)把事件把事件把事件把事件B B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生根据历史资料，每一原因发生(fshng)的概率已知，的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率第2
13、6页/共40页第二十七页，共41页。例例 7某小组有某小组有某小组有某小组有2020名射手，其中一、二、三、四级射名射手，其中一、二、三、四级射名射手，其中一、二、三、四级射名射手，其中一、二、三、四级射手分别为手分别为手分别为手分别为3 3、6 6、9 9、2 2名又若选一、二、三、名又若选一、二、三、名又若选一、二、三、名又若选一、二、三、四级射手参加四级射手参加四级射手参加四级射手参加(cnji)(cnji)比赛，则在比赛中获奖的比赛，则在比赛中获奖的比赛，则在比赛中获奖的比赛，则在比赛中获奖的概率分别为概率分别为概率分别为概率分别为0.850.85、0.640.64、0.450.45、
14、0.320.32，试求该小，试求该小，试求该小，试求该小组在比赛中获奖的概率组在比赛中获奖的概率组在比赛中获奖的概率组在比赛中获奖的概率解：解：解：解：第27页/共40页第二十八页，共41页。例例 7（续）（续）由全概率由全概率(gil)(gil)公式，有公式，有第28页/共40页第二十九页，共41页。例例 8一箱产品由三家工厂分别生产，已知其中第一一箱产品由三家工厂分别生产，已知其中第一一箱产品由三家工厂分别生产，已知其中第一一箱产品由三家工厂分别生产，已知其中第一(dy)(dy)、二、三家生产的产品各占产品总量的二、三家生产的产品各占产品总量的二、三家生产的产品各占产品总量的二、三家生产的
15、产品各占产品总量的40%40%、35%35%、25%25%，又知第一，又知第一，又知第一，又知第一(dy)(dy)、二、三家生产的产品的次品率分别、二、三家生产的产品的次品率分别、二、三家生产的产品的次品率分别、二、三家生产的产品的次品率分别为为为为3%3%、4.5%4.5%、3.6%3.6%，现从该箱中任取一件产品，试求，现从该箱中任取一件产品，试求，现从该箱中任取一件产品，试求，现从该箱中任取一件产品，试求该产品为次品的概率该产品为次品的概率该产品为次品的概率该产品为次品的概率解：解：解：解：第29页/共40页第三十页，共41页。例例 8（续）（续）由全概率由全概率(gil)(gil)公式
16、，有公式，有第30页/共40页第三十一页，共41页。四四.Bayes公式公式(gngsh)第31页/共40页第三十二页，共41页。Bayes 公公 式式设随机设随机设随机设随机(su j)(su j)事件事件事件事件满足满足(mnz)：第32页/共40页第三十三页，共41页。Bayes公式公式(gngsh)的证明的证明由条件由条件(tiojin)概率概率的计算公式：的计算公式：对于上式中的分子和分母对于上式中的分子和分母(fnm)，分别应用，分别应用乘法公式和全概率公式，得乘法公式和全概率公式，得第33页/共40页第三十四页，共41页。Bayes公式公式(gngsh)的使用的使用我们我们我们我
17、们(w men)(w men)把事件把事件把事件把事件B B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史根据历史(lsh)资料，每一原因发生的概率已知，资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用个原因引起的概率，则用Bayes公式公式第34页/共40页第三十五页，共41页。例例 9在例在例6中，若已知取出的一个产中，若已知取出的一个产品为次品，试问该产品是由第品为次品，试问该产品是由第一家工厂生
18、产的概率由多大？一家工厂生产的概率由多大？解：解：所用记号与例所用记号与例6完全相同由完全相同由Bayes公式及在例公式及在例6得到得到(d do)的结果，有的结果，有第35页/共40页第三十六页，共41页。例例 10用某种方法普查肝癌用某种方法普查肝癌用某种方法普查肝癌用某种方法普查肝癌(n i)(n i)，设：，设：，设：，设：A=A=用此方法判断被检查者患有肝癌用此方法判断被检查者患有肝癌用此方法判断被检查者患有肝癌用此方法判断被检查者患有肝癌(n i)(n i)，D=D=被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌(n i)(n i)，已知已知已知已
19、知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正(zhnzhng)患有肝癌的概率第36页/共40页第三十七页，共41页。例例 10（续）（续）解：解：解：解：由已知，得由已知，得由已知，得由已知，得 所以所以(suy)，由，由Bayes公式，得公式，得第37页/共40页第三十八页，共41页。例例 11袋中有袋中有袋中有袋中有1010个黑球，个黑球，个黑球，个黑球，5 5个白球现掷一枚均匀个白球现掷一枚均匀个白球现掷一枚均匀个白球现掷一枚均匀(jnyn)(jnyn)的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出若已知取出的球全是白球，求掷出若已知取出的球全是白球，求掷出若已知取出的球全是白球，求掷出3 3点的概率点的概率点的概率点的概率解：解：解：解：设：设：设：设：B=B=取出的球全是白球取出的球全是白球取出的球全是白球取出的球全是白球 则由则由Bayes公式公式(gngsh)，得，得第38页/共40页第三十九页，共41页。例例11（续）（续）第39页/共40页第四十页，共41页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第40页/共40页第四十一页，共41页。