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1、1考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为切线的过程第1页/共40页2曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量切向量法平面法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.平面的点法式方程第2页/共40页3解解切线方程法平面方程例例即第3页/共40页4设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0,y0,z0)处处,令令切线方程为x为参数,两个柱面 的交线第4页/共40页5例例 在抛物柱面在抛物柱面
2、与与 的交线上的交线上,x为参数为参数,于是于是 解所以交线上与所以交线上与对应点的切向量为:交线的参数方程为取求对应 的点处的切向量.第5页/共40页6设空间曲线方程为设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组:表示表示.)两个曲面的交线利用利用2.结果结果,切线方程为法平面方程为在在M(x0,y0,z0)处处,两边分别对两边分别对x求导:下面求出下面求出.第6页/共40页7 利用利用2.结果结果,两边分别对两边分别对x求全导数:第7页/共40页8法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为在点 M(x0,y0,
3、z0)处的第8页/共40页9解解例例 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式.令代入公式代入公式,得切线方程得切线方程令第9页/共40页10代入公式代入公式,得法平面方程得法平面方程法平面方程公式法平面方程公式:第10页/共40页11切线方程切线方程 解解 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导求导,得得法平面方程法平面方程例例 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.推导法推导法法二法二即即第11页/共40页12设曲线设曲线证因原点因原点(0,0,0)在法平面上在法平面上,即即于是于是证明此曲线必在以原点为中的法平面都过原点,在任一点心的某球面上.曲线
4、过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为故有故有任取曲线上一点任取曲线上一点第12页/共40页13今在曲面上任取一条1.设曲面设曲面的方程为的方程为F(x,y,z)=0的情形的情形隐式方程隐式方程二、曲面的切平面与法线函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同点M 对应于参数 不全为零.过点M 的曲线,设其参数方程为时为零.过点M 的曲线,过点M 的曲线,第13页/共40页14 由于曲线在曲面上,所以 在恒等式两端对t 求全导数,并令 则得 若记向量 曲线在点M处切线的方向向量记为 则式可改写成即向量 垂直.第14页/共40页15 因为曲线因为曲线是曲面是曲面上过点上过点 M 的的任意任
5、意一条一条所有这些曲线在点所有这些曲线在点 M 的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直垂直,因此这些切线必共面因此这些切线必共面,称为曲面称为曲面在点在点M的的过点过点M且垂直于切且垂直于切法线法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量法向量.切平面,由切线形成的这一由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面在点M的面在点M的曲线,第15页/共40页16曲面在曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量处的法向量:切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为所以曲面所以曲面上在点上在点M的的第16页/共40页17解解 令令切平面方程法线方程 例例切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为曲面在曲面
6、在M处的法向量处的法向量:第17页/共40页18上求一点的坐标上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于使此点处的切平面平行于yOz平面平面.解解 设所求点为设所求点为(x,y,z),则切平面的法向量为则切平面的法向量为由题意由题意,由此得由此得所求之点所求之点:第18页/共40页19曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令或显式方程显式方程2.曲面方程形为曲面方程形为z=f(x,y)的情形的情形第19页/共40页20 例例 证证则法向量为则法向量为切平面方程为设设(x0,y0,z0)是曲面上任一点是曲面上任一点,第20页/共40页21所以这些平面
7、都过所以这些平面都过原点.第21页/共40页22考研数学考研数学(一一),3分分的切平面的方程是的切平面的方程是().解解则法向量为则法向量为切平面方程为即平行设设(x0,y0,z0)是曲面上一点是曲面上一点,第22页/共40页23 例例 证证的所有的所有切平面都与一常向量平行切平面都与一常向量平行.则曲面在任一点处的则曲面在任一点处的法向量法向量:则则即即所以所以,所有的切平面均与所有的切平面均与平行平行.曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:取取第23页/共40页243.曲面方程为参数方程的情形曲面方程为参数方程的情形(u,v为双参变量为双参变量)求求(u0,v0)对应的点对应的点M0(x0
8、,y0,z0)处的法向量处的法向量 固定固定v=v0,让让u变变,它在它在M0处的切向量为处的切向量为曲面曲面的参数方程为的参数方程为 得到曲面得到曲面上一条所谓的上一条所谓的u 曲线曲线双双切切线线法法第24页/共40页25(u,v为双参变量为双参变量)求求(u0,v0)对应的点对应的点M0(x0,y0,z0)处的法向量处的法向量 它在它在M0处的切向量为处的切向量为曲面曲面的参数方程为的参数方程为 同样同样,固定固定u=u0,让让v变变,得到另一条所谓的得到另一条所谓的v曲线曲线,曲面曲面的法向量的法向量 同时与同时与 垂直垂直,故有公式故有公式 双切线法双切线法第25页/共40页26 例
9、例求马鞍面求马鞍面 对应点处的切平面方程对应点处的切平面方程.解解u=1,得曲线得曲线,即即v =1,它们在点它们在点(u,v)=(1,1)处的切向量分别为处的切向量分别为马鞍面在曲面上分别令在曲面上分别令 切平面的法向量为切平面的法向量为切平面方程为切平面方程为双切线法双切线法第26页/共40页27 例例求马鞍面求马鞍面 对应点处的切平面方程对应点处的切平面方程.解解将每个方程的两端求微分将每个方程的两端求微分,得得切平面方程为切平面方程为全微分法全微分法第27页/共40页28令 解解 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.垂直于垂直于曲线在点曲线在点 例例 当空间当空间曲线方程为曲线方
10、程为一般式时一般式时,求求切向量曾采切向量曾采用了用了推导法推导法.处切线向量 再用再用向量代数法向量代数法做此题做此题.应应同时同时第28页/共40页29令 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.例例第29页/共40页30 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.解解 双切平面法双切平面法由于两曲面的交线的切线等于两曲面的切平面的交线,所以求出两曲面在点P0处的切平面方程,再将两切平面方程联立即为所求.第30页/共40页31一元函数微分的一元函数微分的(如图)三、全微分的几何意义对应的增量.增量时;当y是曲线的纵坐标dy就是切线纵坐标几何意义第31页/共40页32因为曲面在因为曲面在M
11、处的切平面方程处的切平面方程:全微分的几何意义全微分的几何意义表示表示平面上的点的竖坐标的增量平面上的点的竖坐标的增量.切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量曲面曲面z=f(x,y)在点在点(x0,y0,z0)处的切处的切z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的全微分的全微分,切平面切平面曲面曲面z=f(x,y)0P函数函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的全微分的全微分第32页/共40页33其中其中法向量法向量表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的,即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角 是锐角,则法向量的则法
12、向量的方向余弦为第33页/共40页34求旋转抛物面求旋转抛物面因为因为(第三个分量为负第三个分量为负),解而而为向下的法向量故向上的法向量应为:在任意点在任意点P(x,y,z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).法向量法向量第34页/共40页35研究生考题研究生考题,填空填空,3分分解解令令的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为().旋转面方程为旋转面方程为第35页/共40页36空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线三、小结注意:向量的方向余弦的符号.当空间曲线方程为一般式时,采用推导法、向量代数法或用双切面法.求法平面可空间曲面三种不同形式方程以及求法.第36页/共40页37思考题思考题思考题解答思考题解答证证两边对两边对t求导求导,得得设设F(x,y,z)具有连续偏导数具有连续偏导数,且对任意实数且对任意实数 t有试证曲面第37页/共40页38设设(x0,y0,z0)是曲面上任一点是曲面上任一点,则过这点的则过这点的切平面为这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点.第38页/共40页39作业习题习题8.68.6(348(348页页)第39页/共40页40感谢您的观看。第40页/共40页