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1、11.3 11.3 角的平分线的性质角的平分线的性质 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法等的角。你有什么办法？AOBC 再再打打开开纸纸片片，看看看看折折痕痕与这个角有何关系？与这个角有何关系？对折对折 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢钢板板等等没没法法折折的的角，又该怎么办呢？角，又该怎么办呢？观察下面简易的平分角的仪器，其中观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=ADAB=AD，BC=DCBC=DC。将将点点A A放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和ADAD沿着角的两边放下，沿沿着角的两
2、边放下，沿ACAC画画一条射线一条射线AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平分线。的平分线。你能说明它的道你能说明它的道理吗？理吗？证明：证明：在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）已知）DC=BCDC=BC（已知）已知）CA=CA=CACA（公共边）公共边）ACD ACBACD ACB（SSSSSS）CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的全等三角形的对应边相等）对应边相等）ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定角平分线的定义）义）根据角平分仪的制作原理怎样作一根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角个角的平分线？（不用角平分仪或
3、量角器）器）尺尺规作角的平分作角的平分线画法：画法：以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于于分别以，为圆心大于分别以，为圆心大于1/21/2的长为半径作弧两弧在的长为半径作弧两弧在的内部的内部交于交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求OABNMC证明证明:连结连结MC,NCMC,NC由作法知由作法知:在在OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ONMC=NCMC=NCOC=OCOC=OCOMCONC(OMCONC(SSSSSS)AOC=BOCAOC=BOC即即OC OC 是是的角平分线的角平分线.为什么为什么OCOC是是的角平分线的角平分线OABN
4、MC 将将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？你能得出什么结论？猜想猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：已知：OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于于D D，PEOBPEOB于于E E求证求证:PD=PE:PD=PEP PA AO OB BC CE ED D12验证猜想验证猜想证明证明:C C平分平分,P,P是是OCOC上一点（已知）上
5、一点（已知）D DP=BP=BP P（角平分线定义）角平分线定义）PDOA,PEOB PDOA,PEOB（已知）已知）ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定义）垂直的定义）在在OPDOPD和和OPE OPE 中中 DOP=BOP DOP=BOP（已证）已证）ODP=OEP ODP=OEP（已证）已证）OP=OPOP=OP（已知）已知）ADCABC (ADCABC (S)S)（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）定理：定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等用用符号语言表示为：符号语言表示为：1=21=2 PD OA PD OA，PE OB
6、PE OBPD=PE.PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角平分线的性质角平分线的性质解决问题解决问题如图，要在如图，要在S S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，距离相等，离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500500米，这个集贸市场米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为应建在何处？（比例尺为1 12000020000）s sDCs解：解：作夹角的角平分线作夹角的角平分线OCOC，截取，截取OD=2.5cm,DOD=2.5cm,D即为所求。即为所求。反过来，到一个角的两边的距离相等的点是反过来，到一个角的两边的距离相等
7、的点是否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点，点D D、E E 为垂足，为垂足，QDQDQEQE 求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上证明证明:QDOA QDOA，QEOBQEOB QDOQDOQEOQEO9090（垂直的定义）垂直的定义）在在RtQDORtQDO和和RtQEORtQEO中中 QOQOQOQO（公共边）公共边）
8、QD=QEQD=QE RtQDORtQEORtQDORtQEO（HLHL）QODQODQOEQOE 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。QDOAQDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上用数学语言表示为：用数学语言表示为：结论结论(1).1=2,DCAC,DEAB(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(_)(2).DCAC,DEAB,DC=DE(2).DCAC,DEAB,DC=DE_(_)(_)ACDEB121=21=2DC=DEDC=DE到一个角的
9、两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等1 1、已知、已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC.:EB=FC.BAEDCF开动你的脑筋，你一定行！开动你的脑筋，你一定行！分析：根据角平分线的性质得到分析：根据角平分线的性质得到DE=DFDE=DF，再根据再根据HLHL证证BEDCFD,BEDCFD,从而得到从而得到E
10、B=FCEB=FC。2 2、直线表示三条相互交叉的公路、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物现要建一个货物 中转站中转站,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等,则可供选择则可供选择 的地址有的地址有:():()A.A.一处一处 B.B.两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处分析分析:由于没有限制在何处选址由于没有限制在何处选址,故要求的地址共故要求的地址共有四处。即：有四处。即：A,B,C,DA,B,C,D各一处。各一处。A AD DC CB B2 2、角平分线的性质：、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3、角平分线的判定：、角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。1 1、画一个已知角的角平分线画一个已知角的角平分线小结小结通过这节课的学习，你有什么收获？通过这节课的学习，你有什么收获？