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1、探究探究探究探究 如图，是一个平分角的仪器，其中如图，是一个平分角的仪器，其中如图，是一个平分角的仪器，其中如图，是一个平分角的仪器，其中ABABADAD，BCBCDCDC，将点，将点，将点，将点A A放在角的顶点，放在角的顶点，放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和和和ADAD沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿ACAC画一条射线画一条射线画一条射线画一条射线AEAE，AEAE就是就是就是就是 DABDAB的平分线，你能说明它的道理吗？的平分线，你能说明它的道理吗？的平分线，你能说明它的道理吗？的平分线，你能说明它的道理吗？证明：证明：证明：证明
2、：在在在在 ABCABC和和和和 ADCADC中中中中ABABAD AD （已知）（已知）（已知）（已知）BCBCDC DC （已知）（已知）（已知）（已知）ACACAC AC （公共边）（公共边）（公共边）（公共边）ABCABCADC ADC （SSSSSS）BACBAC DAC DAC （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）即即即即AEAE平分平分平分平分 DAB DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）（角平分线的定义）（角平分线的定义）由上面的探究可以得出画角平分线的方法由上面的探究可以得出画角平分线的方法由上面的探究
3、可以得出画角平分线的方法由上面的探究可以得出画角平分线的方法.作法：（作法：（作法：（作法：（1 1）以）以）以）以OO为圆心，适当长为半径为圆心，适当长为半径为圆心，适当长为半径为圆心，适当长为半径 画弧，交画弧，交画弧，交画弧，交OAOA于于于于MM，交，交，交，交OBOB于于于于N;N;1 12 2已知：已知：已知：已知：AOBAOB求作：求作：求作：求作：AOBAOB的平分的平分的平分的平分线线线线（2 2）分别以）分别以）分别以）分别以MM、N N为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，大于大于大于大于 MN MN的长为半径画弧，两弧在的长为半径画弧，两弧在的长为半径画弧，两弧在的长为半径画
4、弧，两弧在 AOBAOB的内部交于点的内部交于点的内部交于点的内部交于点C C；（3 3）画射线）画射线）画射线）画射线OCOC.射线射线射线射线OCOC即为所求即为所求即为所求即为所求.探究探究探究探究 如图，将如图，将如图，将如图，将 AOBAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能痕为斜边），然后展开，观察两次折叠
5、形成的三条折痕，你能得出什么结论？得出什么结论？得出什么结论？得出什么结论？角平分线的性质：角平分线上的点到角的角平分线的性质：角平分线上的点到角的角平分线的性质：角平分线上的点到角的角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等两边的距离相等两边的距离相等.结论结论结论结论已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，AOCAOC BOCBOC，点，点，点，点P P在在在在OCOC上，上，上，上，PDPD OAOA，PEPE OBOB，垂足分别为垂足分别为垂足分别为垂足分别为D D、E.E.求证：求证：求证：求证：PDPDPEPE.证明：证明：证明：证明：PDPD OAO
6、A，PEPE OBOBPDOPDO PEOPEO9090在在在在 PDPDOO和和和和 PEPEOO中中中中 AOAOC C BOC BOC （已知）（已知）（已知）（已知）PDOPDO PEO PEO （已证）（已证）（已证）（已证）OOP POOP P （公共边）（公共边）（公共边）（公共边）PDPDOOPEPEOO （A AA AS S）PDPDPE PE （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）小结小结小结小结 一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类一般情况下，
7、我们要证明一个几何中的命题时，会按照类一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即似的步骤进行，即似的步骤进行，即似的步骤进行，即1.1.明确命题中的已知和求证；明确命题中的已知和求证；明确命题中的已知和求证；明确命题中的已知和求证；2 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.3.经过分析，找出由已知经过分析，找出由已知经过分析，找出由已知经过分析，找出由已知推出推出推出推出求证的途径，写出证明过程求证的途径，写出
8、证明过程求证的途径，写出证明过程求证的途径，写出证明过程.想一想：想一想：想一想：想一想：如图，要在如图，要在如图，要在如图，要在S S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处等，离公路与铁路交叉处等，离公路与铁路交叉处等，离公路与铁路交叉处500500米，这个米，这个米，这个米，这个集贸集贸集贸集贸市场应建于何处（在市场应建于何处（在市场应建于何处（在市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺图上标出它的位置，比例尺图上标出它的位置，比例尺图上标出它的
9、位置，比例尺1 1：2000020000）？）？）？）？分析：分析：分析：分析：MONMON的平分线的平分线的平分线的平分线上上上上的点的点的点的点到到到到OMOM、ON ON距离相等距离相等距离相等距离相等.解：作解：作解：作解：作 MONMON的平分线的平分线的平分线的平分线OPOP，在，在，在，在 OP OP上截取上截取上截取上截取OQOQ2.5cm.2.5cm.即把即把即把即把集贸集贸集贸集贸市场建在市场建在市场建在市场建在S S区的点区的点区的点区的点QQ处即可处即可处即可处即可.探究探究探究探究1.1.由上面折纸的过程，折痕由上面折纸的过程，折痕由上面折纸的过程，折痕由上面折纸的过
10、程，折痕PDPD、PEPE 与角的两边与角的两边与角的两边与角的两边OAOA、OBOB有什么关系？有什么关系？有什么关系？有什么关系？PD PD和和和和PEPE相等吗？相等吗？相等吗？相等吗？2.2.两次折叠形成的两个直角三角形两次折叠形成的两个直角三角形两次折叠形成的两个直角三角形两次折叠形成的两个直角三角形 （RtRt PODPOD和和和和RtRt POEPOE）全等吗？）全等吗？）全等吗？）全等吗？3.3.由此你能得出关于角平分线有什由此你能得出关于角平分线有什由此你能得出关于角平分线有什由此你能得出关于角平分线有什 么结论？证明你的结论么结论？证明你的结论么结论？证明你的结论么结论？证
11、明你的结论.结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，PDPD OAOA，PEPE OBOB，点，点，点，点D D、E E 为垂足，且为垂足，且为垂足，且为垂足，且PDPDPE.PE.求证：点求证：点求证：点求证：点P P在在在在 AOBAOB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上证明：证明：证明：证明：PD PD OAOA，PEPE OBOBODPODP OEPOEP9090在在在在R
12、tRt ODPODP和和和和RtRt OEPOEP中中中中OPOPOP OP （公共边）（公共边）（公共边）（公共边）PDPDPE PE （已知）（已知）（已知）（已知）RtRt ODPODP Rt Rt OEP OEP （HLHL）PODPOD POE POE （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）点点点点P P在在在在 AOBAOB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上.连接连接连接连接OPOP角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的
13、两边的距离相等.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.用数学符号语言表述为：用数学符号语言表述为：用数学符号语言表述为：用数学符号语言表述为：用数学符号语言表述为：用数学符号语言表述为：用数学符号语言表述为：用数学符号语言表述为：PMPM OAOA，PNPN OBOB，点，点，点，点P P在在在在 AOBAOB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上 PMPM OAOA，PNPN OBOB，PMPMPNPN PMPMPNPN 点点点点P P在在在在
14、 AOBAOB的平分线的平分线的平分线的平分线上上上上例题例题例题例题如图，如图，如图，如图，ABCABC的角平分线的角平分线的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点求证：点求证：点P P到三边到三边到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等的距离相等的距离相等.证明：证明：证明：证明：过点过点过点过点P P分别作分别作分别作分别作PDPD ABAB于于于于D D，PEPE BCBC于于于于E E，PFPF CACA于于于于F F.点点点点P P在在在在 ABCABC的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上 PDPDPEP
15、E 点点点点P P在在在在 BCABCA的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上 PEPEPFPF PDPDPEPEPFPF即即即即点点点点P P到三边到三边到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等的距离相等的距离相等.做一做做一做做一做做一做如图，如图，如图，如图，ABCABC的的的的 B B的外角的平分线的外角的平分线的外角的平分线的外角的平分线BDBD与与与与 C C的外角的平分线的外角的平分线的外角的平分线的外角的平分线CECE相交于点相交于点相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点求证：点求证：点P P在在在在 A A的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上.证明
16、：证明：证明：证明：过点过点过点过点P P分别作分别作分别作分别作PQPQ ABAB于于于于QQ，PMPM BCBC于于于于MM，PNPN ACAC于于于于N N.点点点点P P在在在在 CBFCBF的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上 PQPQPMPM 点点点点P P在在在在 BCGBCG的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上 PMPMPNPN PQPQPNPN 点点点点P P在在在在 A A的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上.课 堂 小 结课 堂 小 结课 堂 小 结课 堂 小 结 本节课我们学习了哪些知识？有哪些运用？你学会了吗？本节课我们学习了哪些知识？有哪些运用？你学会了
17、吗？本节课我们学习了哪些知识？有哪些运用？你学会了吗？本节课我们学习了哪些知识？有哪些运用？你学会了吗？做了吗？用了吗？做了吗？用了吗？做了吗？用了吗？做了吗？用了吗？1.1.角平分线的性质：角平分线的性质：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.2.角平分线的判定：角平分线的判定：角平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.3 3.角平分线的性质和角平分线的判定是证明角相等、线段角平分线的性质和角平分线的判定是证明角相等、线段角平分线的性质和角平分线的判定是证明角相等、线段角平分线的性质和角平分线的判定是证明角相等、线段 相等的新途径相等的新途径相等的新途径相等的新途径.