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1、1.5 1.5 定积分的概念定积分的概念1.曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连续续曲曲线线y=f(x)，直直线线x=a、x=b及及x x轴轴所所围围成成的的图图形形叫做曲边梯形。叫做曲边梯形。Ox y a b y=f(x)一一.求曲边梯形的面积x=ax=b2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。若若“梯形梯形”很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？以直代曲以直代曲（1 1）
2、分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲个小曲边梯形，他们的面积分别记作边梯形，他们的面积分别记作 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。（2 2）近似代替近似代替（3 3）求和）求和 （4 4）取极限）取极限小结小结:求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割（2 2）求面积的和求面积的和（3 3）取极限取极限 二、定积分的概念如如果果函函数数f f(x x)在在区区间间a
3、 a,b b上上连连续续，用用分分点点将将区区间间a a,b b等分成等分成n n个小区间，在每个小区间上任取个小区间，在每个小区间上任取 一一点点i i(i i=1,2,=1,2,n n)，作作和和式式 .当当n n时时，上上述述和和式式无无限限接接近近于于某某个个常常数数，这这个个常常数数叫叫做做函函 数数 f f(x x)在在 区区 间间 a a,b b 上上 的的 定定 积积 分分,记记 作作 ,即即 =,其其中中f f(x x)称称为为 ,x x称为称为 ,f f(x x)d dx x称为称为 ，a a,b b为为 ，a a为为 ，b b为为 ，“”称为积分号称为积分号.被积函数被积
4、函数积分变量积分变量被积式被积式积分区间积分区间积分下限积分下限积分上限积分上限1.1.定积分的定义定积分的定义 定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下限，叫做积分下限，b 叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限1x yOf(x)=x2 说明：说明：(1)定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，它只与
5、被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即补充规定补充规定：(3)(3)定积分的基本性质定积分的基本性质2.定积分的几何意义：Ox yab yf(x)xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf(x)y-f(x)-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：-S3.定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1.1.性质性质2.2.ab y=f(x)cOx y 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3.3.例例1：利用定积分的定义：
6、利用定积分的定义,计算计算 的值的值.例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：1）2）.1）2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x21 20 xy=f(x)y=g(x)aby例例4x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的