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1、数学数学(shxu)物理方法第八章物理方法第八章第一页，共75页。本章(bn zhn)基本要求n掌握有界弦的自由振动(zhndng)解及其物理意义n着重掌握分离(fnl)变数法的解题思路、n 解题步骤及其核心问题-本征值问题nn掌握求解非齐次方程的本征函数展开法掌握求解非齐次方程的本征函数展开法nn掌握将非齐次边界条件齐次化的方法掌握将非齐次边界条件齐次化的方法第1页/共75页第二页，共75页。分离(fnl)变数法（本征函数展开法）:其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题 (1)(1)叠加原理：几种不同的原因叠加原理：几种不同的原因(yu
2、nyn)(yunyn)的综合所产生的综合所产生的效果等于这些不同原因的效果等于这些不同原因(yunyn)(yunyn)单独产生的效果的累加。单独产生的效果的累加。(物理角度物理角度)叠加原理对于用线性方程叠加原理对于用线性方程(xin xn fn chn)(xin xn fn chn)描述的物理现象来说都是成立的。描述的物理现象来说都是成立的。(数学角度数学角度)(2)分离变数法物理基础驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。u1=A cos(t-kx)，u2=A cos(t+kx)u=u1+u2=2A cos(2cos(2 t t)cos(2cos(2kxkx)时间变量与空间变量分离时间
3、变量与空间变量分离第2页/共75页第三页，共75页。驻波的一般表示驻波的一般表示(biosh)：u(x,t)=X(x)T(t)把这种具有变数分离形式的特殊解作为尝试解去把这种具有变数分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性性就可以保证尝试解的正确性 (3)分离变数法的特点：分离变数法的特点：a.物理上由叠加原理作保证物理上由叠加原理作保证(bozhng)，数学上由解的，数学上由解的唯一性作保证唯一性作保证(bozhng)；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。把偏微分方程化为
4、常微分方程来处理，使问题简单化。(4)分离变数法的适用范围：分离变数法的适用范围：波动、输运、稳定场问题等。波动、输运、稳定场问题等。4 4第3页/共75页第四页，共75页。泛定方程泛定方程(fngchng)：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：由于两端由于两端(lin dun)固定，固定，解是驻波：解是驻波：两端固定两端固定(gdng)的均匀细弦的自由振的均匀细弦的自由振动动定解问题：波腹波腹波节波节弦在弦在平衡位置振动可用函数平衡位置振动可用函数 T（t)描述；描述；振幅随位置变化可用函数振幅随位置变化可用函数 X（x)表示表示即可设驻波解即可设驻波解：则可以想象此问题的解应是变数则可
5、以想象此问题的解应是变数则可以想象此问题的解应是变数则可以想象此问题的解应是变数可分离的解，为此设可分离的解，为此设可分离的解，为此设可分离的解，为此设5 58.1 8.1 8.1 8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍第4页/共75页第五页，共75页。由于由于由于由于x,t x,t 是相互独立的变量，上式必然等于同一是相互独立的变量，上式必然等于同一是相互独立的变量，上式必然等于同一是相互独立的变量，上式必然等于同一(tngy)(tngy)常常常常数。数。数。数。
6、1 1、分离变数、分离变数建立建立(jinl)(jinl)常微分方程定解问题常微分方程定解问题代入波动(bdng)方程移项整理得变数分离等式：把得引入公共引入公共实实常数常数：常微分方程常微分方程：得出两个常微分方程两个常微分方程：第5页/共75页第六页，共75页。边值条件边值条件(tiojin)(tiojin)7把代入边值条件(tiojin)常微分方程常微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)及边值及边值条件条件第6页/共75页第七页，共75页。(1)(2)2 2、求解、求解(qi ji)(qi ji)本征值问题本征值问题常微分方程常微分方程(wi fn fn(wi
7、fn fn chn)chn)通解：通解：边界条件：边界条件：第7页/共75页第八页，共75页。(3)C2非零解非零解Xn(x)称称本征函数本征函数本征函数本征函数边界条件：只能(zh nn)取分列特定值(正整数)-称本征值称本征问题称本征问题(wnt)第8页/共75页第九页，共75页。n=1,2,3 解方程 本征解(zhn ji)un(x,t)：A、B 是积分是积分(jfn)常数常数3 3、本征解、本征解(zhn ji)(zhn ji)与一般解与一般解本征振动的线性叠加本征振动的线性叠加.上式正好是傅里叶正弦级数上式正好是傅里叶正弦级数.解一般解（4）含时函数解：第9页/共75页第十页，共75
8、页。初始条件：初始条件：4、利用初始条件和三角函数族的正交性确定(qudng)待定系数5 5、物理、物理(wl)(wl)意义：意义：是驻波(zh b)，是两端固定弦的本征振动相邻节点之间距离等于半波长 波长=节点数 n+1,位置 即:x=kl/n(k=0,1,2,n)第10页/共75页第十一页，共75页。（4）、用初始条件确定通解系数(xsh)（傅立叶展开）6 6、分离变量分离变量(binling)(binling)法概要：法概要：（1）、将齐次偏微分方程(wi fn fn chn)分为若干常微分方程(wi fn fn chn)（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征值问题（3）、
9、将本征解(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出一般解1212本征频率lnavlannn22,=pp n=1 时,1lap=基频基波（决定了音调）n1 时lannp=谐频谐波（决定了音色）第11页/共75页第十二页，共75页。分离(fnl)变量流程图(输运方程)第12页/共75页第十三页，共75页。泛定方程泛定方程边界条件边界条件本征值问题本征值问题本征值问题本征值问题本征值本征值本征函数本征函数本征函数本征函数 k=1,2,3 k=0,1,2,3 14k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第13页/共75页第十四页，共75页。(二二二二)三种三种三种三种(sn zhn)(sn zhn)(sn
10、zhn)(sn zhn)正交坐标系中的哈密顿和拉普正交坐标系中的哈密顿和拉普正交坐标系中的哈密顿和拉普正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子拉斯算子拉斯算子拉斯算子为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必 须引入坐标系。而且，常根据被研究物体几何形状 的不同而采用不同的坐标系。在物理学中，常用的 坐标系有三种：直角坐标系、圆柱(yunzh)坐标系和球坐标 系。任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标 变量u1、u2、u3(如直角坐标系中的x、y、z)，当 u1、u2、u3均为常数时，就代表三组曲面(或平面)，称为坐标面。第14页/共75页第十五页，共75页。若三组坐标面在空间每一点正交，则
11、坐标面的交若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交 线线线线(一般是曲线一般是曲线一般是曲线一般是曲线)也在空间每点正交，这种坐标系也在空间每点正交，这种坐标系也在空间每点正交，这种坐标系也在空间每点正交，这种坐标系 叫做正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多正叫做正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多正叫做正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多正叫做正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多正 交曲线坐标系中较常用的三种。交曲线坐标系中较常用的三种。交曲线坐标系中较常用的三种。交曲线坐标系中较常用的三种。空间任一点空间
12、任一点空间任一点空间任一点M M M M沿坐标面的三条交线方向各取的单沿坐标面的三条交线方向各取的单沿坐标面的三条交线方向各取的单沿坐标面的三条交线方向各取的单 位矢量，称为坐标单位矢量。它的模等于位矢量，称为坐标单位矢量。它的模等于位矢量，称为坐标单位矢量。它的模等于位矢量，称为坐标单位矢量。它的模等于1 1 1 1，并以，并以，并以，并以 各坐标变量正的增加方向作为正方向。各坐标变量正的增加方向作为正方向。各坐标变量正的增加方向作为正方向。各坐标变量正的增加方向作为正方向。一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交并一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交并一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相
13、互正交并一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交并 满足右手满足右手满足右手满足右手(yushu)(yushu)(yushu)(yushu)螺旋法则。螺旋法则。螺旋法则。螺旋法则。第15页/共75页第十六页，共75页。(-,+)基本(jbn)变量：x、y、z 1 1 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系系单位(dnwi)矢量：变化范围均为变化范围均为在在直角坐标系直角坐标系中，位置矢量中，位置矢量其微分其微分体积元为体积元为在在直角坐标系直角坐标系中，中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为分别为第16页/共75页
14、第十七页，共75页。在直角坐标系中，梯度在直角坐标系中，梯度(t d)(t d)定义为定义为哈密顿算符哈密顿算符“”，在直角坐标，在直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中表示为系中表示为哈密顿算符的双重性质：哈密顿算符是矢量哈密顿算符的双重性质：哈密顿算符是矢量 哈密顿算符具有微分哈密顿算符具有微分(wi fn)(wi fn)特性特性又称为矢性微分算符拉拉普拉斯普拉斯算符算符第17页/共75页第十八页，共75页。基本(jbn)变量：、z变化变化(binhu)(binhu)范围为范围为2 2 圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)坐标系坐标系0,+)、0,2、(-
15、,+)圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系与与与与直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系之间的变换之间的变换之间的变换之间的变换关系为：关系为：关系为：关系为：在在圆柱坐标系圆柱坐标系中，位置矢量中，位置矢量其微分其微分它在它在、z z增加方向上的微分元分别是增加方向上的微分元分别是：d d、d d、d dz z，三者都是长度，如图所示三者都是长度，如图所示。单位矢量：第18页/共75页第十九页，共75页。体积(tj)元为 在圆柱坐标在圆柱坐标(zubio)(zubio)系中，与三个坐标系中，与三个坐标(zubio)(zubio)单位矢量垂直的三个面积元分别为单位矢量垂直的三个面积元分别
16、为 在圆柱在圆柱(yunzh)(yunzh)坐标系中，哈密顿算符坐标系中，哈密顿算符“”和梯度的表和梯度的表达式为达式为圆柱坐标系圆柱坐标系中的中的拉普拉斯运算拉普拉斯运算 第19页/共75页第二十页，共75页。基本(jbn)变量：r、变化变化(binhu)(binhu)范围均为范围均为3 3 球坐标系球坐标系球坐标系与直角坐标系之间的变换球坐标系与直角坐标系之间的变换球坐标系与直角坐标系之间的变换球坐标系与直角坐标系之间的变换(binhun)(binhun)关系为：关系为：关系为：关系为：0,+)、0,、0,2在在球坐标系球坐标系中，位置矢量中，位置矢量其微分其微分 它在它在r r、增加方向
17、上的微分元分别是增加方向上的微分元分别是：d dr r、r rd d 、r rsinsin d d，三者都是长度，如图所示三者都是长度，如图所示。单位矢量：第20页/共75页第二十一页，共75页。在球坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直在球坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直(chuzh)(chuzh)的三个面积元分别为的三个面积元分别为体积体积(tj)(tj)元为元为在球坐标系中，哈密顿算符在球坐标系中，哈密顿算符“和梯度和梯度(t d)(t d)的表的表达式为达式为球坐标系球坐标系中的中的拉普拉斯拉普拉斯运算运算rsin第21页/共75页第二十二页，共75页。1第22页/共75页第二十三页，共75
18、页。例例1：细杆热传导。初始时杆的一端温度为零度，另一端：细杆热传导。初始时杆的一端温度为零度，另一端温度温度u0，杆上温度梯度均匀。零度的一端保持，杆上温度梯度均匀。零度的一端保持(boch)温温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。零度零度零度零度(ln d)(ln d)保持不变；第一类保持不变；第一类保持不变；第一类保持不变；第一类边界条件边界条件边界条件边界条件与外界与外界与外界与外界(wiji)(wiji)绝热；绝热；绝热；绝热；第二第二第二第二类边界条件类边界条件类边界条件类边界条件泛定方程和泛定方程和边界条件皆边界条件皆是
19、齐次的是齐次的,可以应用分离变数法可以应用分离变数法（三）典型例题（三）典型例题解：解：杆上温度杆上温度u(x,y,z)满足泛定方程满足泛定方程初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：杆上温度梯度均匀杆上温度梯度均匀杆上温度梯度均匀杆上温度梯度均匀第23页/共75页第二十四页，共75页。1 1 分离分离(fnl)(fnl)变数变数:分离分离(fnl)(fnl)变量变量:2525定解问题定解问题(wnt)(wnt)转化为转化为:即关于时间与位置的二个方程即关于时间与位置的二个方程:2 2 X(x)方程和边界条件构成本征问题解方程和边界条件构成本征问题解:由边界条件：第24页/共75页第二十五页，
20、共75页。相应相应(xingyng)(xingyng)本征函数本征函数263 T3 T3 T3 T方程方程方程方程 ：改写为改写为此方程此方程(fngchng)(fngchng)的解的解4 u(x,t)4 u(x,t)4 u(x,t)4 u(x,t)的通解的通解的通解的通解(tngji)(tngji)(tngji)(tngji)本征解本征解第25页/共75页第二十六页，共75页。5 Ck5 Ck5 Ck5 Ck的确定的确定的确定的确定(qudng)(qudng)(qudng)(qudng)由初始条件利用三角函数(snjihnsh)的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有6 6 6 6 答案答案答案
21、答案(d n)(d n)(d n)(d n)第26页/共75页第二十七页，共75页。求电场求电场(din chng)强度强度(平面平面(pngmin(pngmin)问题问题)导线导线例例2 2 设带电云跟大地构成匀强静电场（即电场强度设带电云跟大地构成匀强静电场（即电场强度E0E0竖竖直向下）。直向下）。在此静电场中架设圆柱在此静电场中架设圆柱(yunzh)(yunzh)型导体的水平输电线，型导体的水平输电线，柱面表面因静电感应存在电荷（圆柱柱面表面因静电感应存在电荷（圆柱(yunzh)(yunzh)导线邻近导线邻近的静电场不再是匀强场）。的静电场不再是匀强场）。在远离圆柱在远离圆柱(yunz
22、h)(yunzh)处的静电场为匀强的近似下，研究处的静电场为匀强的近似下，研究圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)导线对匀强静电场的影响。导线对匀强静电场的影响。28带电的云xy第27页/共75页第二十八页，共75页。解解 1 1 设定电线不存在时，均匀设定电线不存在时，均匀(jnyn)(jnyn)电场电场方向沿方向沿x x轴；轴；2 2 设圆柱导线沿设圆柱导线沿z z轴铺设且为无限长；则轴铺设且为无限长；则只需在图示只需在图示xyxy平面内研究本问题，平面内研究本问题，即电势可表示为二维电势即电势可表示为二维电势 u(x,y)u(x,y)+_ _ _ _ _ _ _ _ yx或或4 4 在圆
23、柱外在圆柱外,没有没有(mi yu)(mi yu)电荷，所以电势满足拉普拉斯方程电荷，所以电势满足拉普拉斯方程.3 3 3 3 如何选择坐标系？由于如何选择坐标系？由于如何选择坐标系？由于如何选择坐标系？由于(yuy)(yuy)(yuy)(yuy)导线是圆柱形，导线截面方程导线是圆柱形，导线截面方程导线是圆柱形，导线截面方程导线是圆柱形，导线截面方程x2+y2=a2 x2+y2=a2 x2+y2=a2 x2+y2=a2 （a a a a为导线半径）为导线半径）为导线半径）为导线半径）.导体表面等势面具有圆对称性，所以选导体表面等势面具有圆对称性，所以选导体表面等势面具有圆对称性，所以选导体表面
24、等势面具有圆对称性，所以选择极坐标系择极坐标系择极坐标系择极坐标系 第28页/共75页第二十九页，共75页。+_ _ _ _ _ _ _ _ yx （云、地）处：（云、地）处：（云、地）处：（云、地）处：设云、地在设云、地在设云、地在设云、地在“无穷远无穷远无穷远无穷远”处处处处,则云、地处则云、地处则云、地处则云、地处的电场的电场的电场的电场(din chng)(din chng)(din chng)(din chng)强度平行于强度平行于强度平行于强度平行于x x x x轴，即轴，即轴，即轴，即 4 4 4 4 边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：导线表面导线表面导线表面导线表面(bi
25、omin)(biomin)(biomin)(biomin)：导线表面：导线表面：导线表面：导线表面(biomin)(biomin)(biomin)(biomin)是等势面，取电势为零，是等势面，取电势为零，是等势面，取电势为零，是等势面，取电势为零，a a a a为导线半径为导线半径为导线半径为导线半径 相应的电势相应的电势(dinsh)(dinsh)（注意是均匀场）（注意是均匀场）即在云、地无穷远处，可得，即在云、地无穷远处，可得，地：地：E0 0无穷远处电场强度无穷远处电场强度云：云：第29页/共75页第三十页，共75页。+_ _ _ _ _ _ _ _ yx5 5 5 5 定解问题定解问
26、题定解问题定解问题(wnt)(wnt)(wnt)(wnt)为为为为:31进一步考虑到导体带电，设单位长度带进一步考虑到导体带电，设单位长度带电量电量(dinling)(dinling)为为q0,q0,它在圆柱外产生它在圆柱外产生的电势为的电势为 为了满足(mnz)导线表面为零电势，引入常数电势u0，在云、地“无穷远”处的边界条件为第30页/共75页第三十一页，共75页。6 6 分离变量：分离变量：分离变量：分离变量：设设自然自然自然自然(zrn)(zrn)周期边界条周期边界条周期边界条周期边界条件件件件求解求解(qi ji)(qi ji)本征值问题（本征值问题（为实数）为实数）32不满足不满足
27、不满足不满足(mnz)(mnz)自然周期边界条件自然周期边界条件自然周期边界条件自然周期边界条件B B2 2=0=0得得本征值本征值和和本征函数本征函数（）1/21/21/21/2必须是正必须是正必须是正必须是正整数，设为整数，设为整数，设为整数，设为mm第31页/共75页第三十二页，共75页。欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程(wi fn fn chn)通解(tngji)本征值代入径向本征值代入径向(jn xin)(jn xin)常微分方常微分方程程:作变量代换作变量代换有有本征解：一般解即即第32页/共75页第三十三页，共75页。代入导线(doxin)表面处边界条件确定系数34比较等式两边(
28、lingbin)的系数有代入云、地“无限远处”边界条件确定(qudng)系数，即第33页/共75页第三十四页，共75页。沿沿x轴柱面的电场轴柱面的电场(din chng)：35讨论：如果导线表面讨论：如果导线表面(biomin)不带不带电电q0=0，即，即柱外的电势柱外的电势柱外的电势柱外的电势(dinsh)(dinsh)为：为：为：为：沿沿y轴向的电场：轴向的电场：第34页/共75页第三十五页，共75页。218第35页/共75页第三十六页，共75页。8.2 8.2 8.2 8.2 非齐次振动方程非齐次振动方程非齐次振动方程非齐次振动方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(
29、fngchng)和和和和输运方程输运方程输运方程输运方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)(一一)傅立叶级数傅立叶级数(j sh)(j sh)法法方法方法方法方法(fngf)(fngf)：（1 1）确定相应齐次问题的本征函数）确定相应齐次问题的本征函数对于非齐次泛定方程对于非齐次泛定方程对于非齐次泛定方程对于非齐次泛定方程如何求解？如何求解？如何求解？如何求解？方法之一：傅里叶级数法（本征函数法）。方法之一：傅里叶级数法（本征函数法）。方法之一：傅里叶级数法（本征函数法）。方法之一：傅里叶级数法（本征函数法）。本题的齐次本征值问题是满足边界条件边界条件的本
30、征函数本征函数是例例1 1：求定解问题求定解问题第36页/共75页第三十七页，共75页。比较比较 系数：系数：38即转为求Tn(t)的定解问题(wnt)！（2 2）将）将u(x,t)u(x,t)按本征函数（傅里叶级数按本征函数（傅里叶级数(j sh)(j sh)）展开：）展开：（3 3）将级数代入泛定方程求展开）将级数代入泛定方程求展开(zhn ki)(zhn ki)系数系数Tn(t)Tn(t)，导出，导出Tn(t)Tn(t)的常微分方程：的常微分方程：常微分方程常微分方程:第37页/共75页第三十八页，共75页。确定确定(qudng)(qudng)定解问题定解问题TnTn（t t）的初始条件
31、：）的初始条件：39上式上式 分别是分别是 的傅里叶展开系数：的傅里叶展开系数：由由u u（x,tx,t）的初始条件和傅里叶级数）的初始条件和傅里叶级数(j sh)(j sh)展开定理：展开定理：又由傅里叶级数又由傅里叶级数(j sh)(j sh)展开定理初始条件改写为：展开定理初始条件改写为：即：即：第38页/共75页第三十九页，共75页。40比较比较(bjio)余弦函数（基）前的系数得余弦函数（基）前的系数得Tn(t)的初始条件：的初始条件：第39页/共75页第四十页，共75页。解解41方程解：方程解：（1 1）由初始条件由初始条件4123,n=L解解（2 2）解解由初始条件由初始条件第4
32、0页/共75页第四十一页，共75页。（3 3）当当n=1=1时，时，解解 设方程有形式为设方程有形式为 的特解，并代入原方程的特解，并代入原方程特解为特解为齐次方程的齐次方程的通解通解最终最终(zu zhn)解：解：第41页/共75页第四十二页，共75页。(二二)冲量冲量(chngling)(chngling)定理法定理法利用利用(lyng)叠加原理把解分解为叠加原理把解分解为43I I齐次边界条件的齐次方程齐次边界条件的齐次方程(fngchng)(fngchng)IIII零初值非齐次方程零初值非齐次方程零初值非齐次方程零初值非齐次方程(冲量定理法冲量定理法)第42页/共75页第四十三页，共7
33、5页。1 1、冲量定理、冲量定理(dngl)(dngl)法的基本法的基本思想思想1 1）持续）持续(chx)(chx)作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；定解问题定解问题(wnt)(wnt)中，持续力中，持续力是是作用时间作用时间0-t表为瞬时力的叠加表为瞬时力的叠加4444 F(x,)(t-)d 为作用在短时间区间为作用在短时间区间(,+d)上冲量为上冲量为F(x,)d 的的“瞬时瞬时”力，该瞬时力引起的振动记为力，该瞬时力引起的振动记为第43页/共75页第四十四页，共75页。2 2）持续力引起）持续力引起(ynq)(ynq)的振动看成是瞬时力引起的振动看成是
34、瞬时力引起(ynq)(ynq)振动的叠加。振动的叠加。瞬时力引起的位移定解问题瞬时力引起的位移定解问题由于瞬时(shn sh)力作用时间(,+d)极短，作用结束后弦线来不及振动由冲量定理判断由冲量定理判断(pndun)(pndun)其作其作用后的速度，考虑单位长度的弦：用后的速度，考虑单位长度的弦：4545第44页/共75页第四十五页，共75页。2 2、数学、数学(shxu)(shxu)检验：检验：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：积分积分(jfn)号下的求导公式：号下的求导公式：4646第45页/共75页第四十六页，共75页。非齐次方程非齐次方程(fngchng)例例2:2:解：解：由
35、边界条件：由边界条件：代入泛定方程代入泛定方程(fngchng)：4747第46页/共75页第四十七页，共75页。代入初始条件：代入初始条件：48第47页/共75页第四十八页，共75页。由初始条件决定由初始条件决定(judng)由外力由外力(wil)(wil)决定决定4949第48页/共75页第四十九页，共75页。输运输运(sh yn)方程问题仿方程问题仿照处理照处理5050定解问题定解问题(wnt)问题问题(wnt)转化为定转化为定解问题解问题(wnt)第49页/共75页第五十页，共75页。51定解定解u(x,t)的解的解第50页/共75页第五十一页，共75页。2第51页/共75页第五十二页
36、，共75页。设：8.3 8.3 8.3 8.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理(chl)(chl)(chl)(chl)1 1、一般处理、一般处理(chl)(chl)方法方法非齐次方程非齐次方程(fngchng)(fngchng)第一类非齐次边界条件第一类非齐次边界条件非零初值非零初值则：解：令函数 使u(x,t)构成下列关系第52页/共75页第五十三页，共75页。即有：即：现在(xinzi)定解问题转换为：齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件第53页/共75页第五十四页，共75页。仍设：则：解：令函数 使u(x,t)构成下列关系例1
37、 求下列(xili)定解问题得出矛盾解，所以(suy)应改变！新设：p和q是常数(chngsh)第54页/共75页第五十五页，共75页。设：则：解：令函数 使u(x,t)构成下列关系例1 求下列(xili)定解问题现在(xinzi)：第55页/共75页第五十六页，共75页。即：现在定解问题(wnt)转换为：齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件第56页/共75页第五十七页，共75页。由于弦在由于弦在x=lx=l端受迫作振动端受迫作振动Asint,Asint,它一定存在它一定存在(cnzi)(cnzi)特特解解v(x,t),v(x,t),满足齐次方程、非齐次边界条件。满足齐次方程、非齐
38、次边界条件。例例2 258582 2、特殊处理、特殊处理(chl)(chl)方法方法弦的弦的x=0 x=0端固定，端固定，x=lx=l端受迫作振动端受迫作振动(zhndng)Asint,(zhndng)Asint,弦的初位移和初弦的初位移和初速度皆为零，求弦的振动速度皆为零，求弦的振动(zhndng)(zhndng)。解：本题定解问题为：解：本题定解问题为：又由于弦在又由于弦在x=l端点的振动为端点的振动为Asint,则弦上任一点的振则弦上任一点的振动动特解特解特解特解可以写作可以写作 第57页/共75页第五十八页，共75页。把把v代入波动代入波动(bdng)方程，得方程，得5959易证易证第
39、58页/共75页第五十九页，共75页。由位置由位置(wi zhi)的初始条件得出：的初始条件得出：6060简化简化(jinhu)为：为：由速度由速度(sd)的初始条件得出：的初始条件得出：第59页/共75页第六十页，共75页。8.4 8.4 8.4 8.4 泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)无时间变量无时间变量不能用冲量不能用冲量(chngling)(chngling)定理法，（可用格林函数法）定理法，（可用格林函数法）非齐次方程非齐次方程(fngchng)(fngchng)特解法特解法特解法特解法设定特解设定特解设定特解设
40、定特解待求待求拉普拉斯方程拉普拉斯方程圆域圆域 上求解泊松方程的边值问题上求解泊松方程的边值问题例例1 1:6161泊松方程泊松方程极坐标极坐标第60页/共75页第六十一页，共75页。根据(gnj)设想必须进一步设为此(wi c)设注意(zh y)：设定：设定：第61页/共75页第六十二页，共75页。由设定(sh dn)得出原定解问题(wnt)转化为下列新定解问题(wnt)运算(yn sun)得出第62页/共75页第六十三页，共75页。边界条件边界条件6464上述上述(shngsh)定解问题的解为：定解问题的解为：解在圆心处的值有限解在圆心处的值有限(yuxin)，要求：，要求：D0=0,Dm
41、=0,Cm=0即有即有第63页/共75页第六十四页，共75页。例例2 2：65解解：方法(fngf)：通过齐次化泛定方程建立本征方程设定(sh dn)：设定(sh dn)：根据设想必须进一步设为此设：定解问题转化为：第64页/共75页第六十五页，共75页。6666本征问题(wnt)：本征解(zhn ji)：边值条件确定(qudng)展开系数：第65页/共75页第六十六页，共75页。先确定先确定(qudng)Cn(qudng)Cn6767注意上式在注意上式在n是偶数是偶数n=2k时为零，即时为零，即C2k=0。为此只有。为此只有(zhyu)奇数项奇数项 边值条件确定展开系数(xsh)关系改为：第
42、66页/共75页第六十七页，共75页。的联立代数方程的联立代数方程(dish fngchng)68第67页/共75页第六十八页，共75页。69第68页/共75页第六十九页，共75页。本征解(zhn ji)：第69页/共75页第七十页，共75页。2第70页/共75页第七十一页，共75页。教学重点(zhngdin)：总结了一般有界波动问题和输运问题，以及一般有界稳定场问题的解法。8.5 8.5 分离变量分离变量(binling)(binling)法小结法小结第71页/共75页第七十二页，共75页。第72页/共75页第七十三页，共75页。第73页/共75页第七十四页，共75页。关于无界区域(qy)的求解问题，见第12，13，14章第74页/共75页第七十五页，共75页。