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1、11-1管理统管理统计学计学第第 11 章章 一元线性回归一元线性回归统计学11-2管理统管理统计学计学第第11章章 一元线性回归一元线性回归11.1 变量间关系的度量变量间关系的度量 11.2 一元线性回归一元线性回归11.3 利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测11.4 残差分析残差分析11-3管理统管理统计学计学学习目标学习目标1.相关系数的分析方法相关系数的分析方法2.一元线性回归的基本原理和参数的最小一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计二乘估计3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验5.利用回归方程进行估计和预测利用回
2、归方程进行估计和预测6.用用 Excel 进行回归进行回归11-4管理统管理统计学计学11.1 变量间关系的度量变量间关系的度量一一.变量间的关系变量间的关系二二.相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度三三.相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验11-5管理统管理统计学计学变量间的关系变量间的关系11-6管理统管理统计学计学函数关系函数关系1.是一一是一一对应的确定关系对应的确定关系2.设设有有两两个个变变量量 x 和和 y，变变量量 y 随随变变量量 x 一一起起变变化化，并并完完全全依依赖赖于于 x，当当变变量量 x 取取某某个个数数值值时时，y 依依确确定定的的关关系系取取相相应应的
3、的值值，则则称称 y 是是 x 的的函函数数，记记为为 y=f(x)，其其中中 x 称称为为自自变变量量，y 称称为为因因变变量量3.各各观测点落在一条线上观测点落在一条线上 x xy y11-7管理统管理统计学计学函数关系函数关系(几个例子几个例子)函数关系的例子函数关系的例子某某种种商商品品的的销销售售额额(y y)与与销销售售量量(x x)之之间间的的关关系系可表示为可表示为 y y=pxpx (p p 为单价为单价)圆圆 的的 面面 积积(S)(S)与与 半半 径径 之之 间间 的的 关关 系系 可可 表表 示示 为为S S=R R2 2 企企业业的的原原材材料料消消耗耗额额(y y)
4、与与产产量量(x x1 1)、单单位位产产量量消消耗耗(x x2 2)、原原材材料料价价格格(x x3 3)之之间间的的关关系系可可表表示为示为y y=x x1 1 x x2 2 x x3 3 11-8管理统管理统计学计学相关关系相关关系(correlation)1.变变量量间间关关系系不不能能用用函函数数关关系精确表达系精确表达2.一一个个变变量量的的取取值值不不能能由由另另一个变量唯一确定一个变量唯一确定3.当当变变量量 x 取取某某个个值值时时，变变量量 y 的取值可能有几个的取值可能有几个4.各观测各观测点分布在直线周围点分布在直线周围 x xy y11-9管理统管理统计学计学相关关系
5、相关关系(几个例子几个例子)相关关系的例子相关关系的例子父亲身高父亲身高(y)与子女身高与子女身高(x)之间的关系之间的关系收入水平收入水平(y)与受教育程度与受教育程度(x)之间的关系之间的关系粮粮食食亩亩产产量量(y)与与施施肥肥量量(x1)、降降雨雨量量(x2)、温度温度(x3)之间的关系之间的关系商商品品的的消消费费量量(y)与与居居民民收收入入(x)之之间间的的关关系系商商品品销销售售额额(y)与与广广告告费费支支出出(x)之之间间的的关关系系11-10管理统管理统计学计学相关关系相关关系(类型类型)11-11管理统管理统计学计学相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度(散点图散点图
6、)11-12管理统管理统计学计学散点图散点图(scatter diagram)不相关不相关不相关不相关不相关不相关 负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关 正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关 非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关 完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关 11-13管理统管理统计学计学散点图散点图(例题分析例题分析)【例例】一一家家大大型型商商业业银银行行在在多多个个地地区区设设有
7、有分分行行，其其业业务务主主要要是是进进行行基基础础设设施施建建设设、国国家家重重点点项项目目建建设设、固固定定资资产产投投资资等等项项目目的的贷贷款款。近近年年来来，该该银银行行的的贷贷款款额额平平稳稳增增长长，但但不不良良贷贷款款额额也也有有较较大大比比例例的的提提高高，这这给给银银行行业业务务的的发发展展带带来来较较大大压压力力。为为弄弄清清楚楚不不良良贷贷款款形形成成的的原原因因，希希望望利利用用银银行行业业务务的的有有关关数数据据做做些些定定量量分分析析，以以便便找找出出控控制制不不良良贷贷款款的的办办法法。下下面面是是该该银银行行所所属属的的25家家分分行行2002年年的的有有关业
8、务数据关业务数据 11-14管理统管理统计学计学散点图散点图(例题分析例题分析)11-15管理统管理统计学计学散点图散点图(例题分析例题分析)11-16管理统管理统计学计学相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度(相关系数相关系数)11-17管理统管理统计学计学相关系数相关系数(correlation coefficient)1.对变量之间关系密切程度的度量对变量之间关系密切程度的度量2.对对两两个个变变量量之之间间线线性性相相关关程程度度的的度度量量称称为为简单相关系数简单相关系数3.若若相相关关系系数数是是根根据据总总体体全全部部数数据据计计算算的的，称为总体相关系数，记为称为总体相关系数
9、，记为 4.若若是是根根据据样样本本数数据据计计算算的的，则则称称为为样样本本相相关系数，记为关系数，记为 r11-18管理统管理统计学计学相关系数相关系数(计算公式计算公式)样本相关系数的计算公式或化简为11-19管理统管理统计学计学相关系数相关系数(取值及其意义取值及其意义)1.r 的取值范围的取值范围是是-1,12.|r|=1，为完全相关为完全相关nr=1，为，为完全正相关完全正相关nr=-1，为完全负正相关为完全负正相关3.r=0，不存在不存在线性线性相关相关关系相关关系相关4.-1 r0，为为负相关负相关5.0t，拒绝拒绝H0 若若tt(25-2)=2.0687，拒拒绝绝H0，不不良
10、良贷贷款款与与贷贷款款余余额额之之间间存存在在着着显显著著的的正正线线性性相相关关关关系系 11-26管理统管理统计学计学相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验(例题分析例题分析)各相关系数检验的统计量各相关系数检验的统计量11-27管理统管理统计学计学11.2 一元线性回归一元线性回归一一.一元线性回归模型一元线性回归模型二二.参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计三三.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度四四.显著性检验显著性检验11-28管理统管理统计学计学什么是回归分析？什么是回归分析？(Regression)1.从从一一组组样样本本数数据据出出发发，确确定定变变量量之之间间的的数数学
11、学关系式关系式2.对对这这些些关关系系式式的的可可信信程程度度进进行行各各种种统统计计检检验验，并并从从影影响响某某一一特特定定变变量量的的诸诸多多变变量量中中找找出出哪哪些变量的影响显著，哪些不显著些变量的影响显著，哪些不显著3.利利用用所所求求的的关关系系式式，根根据据一一个个或或几几个个变变量量的的取取值值来来预预测测或或控控制制另另一一个个特特定定变变量量的的取取值值，并给出这种预测或控制的精确程度并给出这种预测或控制的精确程度回归一词是回归一词是怎么来的怎么来的?？11-29管理统管理统计学计学回归分析与相关分析的区别回归分析与相关分析的区别1.相相关关分分析析中中，变变量量 x 变
12、变量量 y 处处于于平平等等的的地地位位；回回归归分分析析中中，变变量量 y 称称为为因因变变量量，处处在在被被解解释释的的地地位，位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化称为自变量，用于预测因变量的变化2.相相关关分分析析中中所所涉涉及及的的变变量量 x 和和 y 都都是是随随机机变变量量；回回归归分分析析中中，因因变变量量 y 是是随随机机变变量量，自自变变量量 x 可可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量以是随机变量，也可以是非随机的确定变量3.相相关关分分析析主主要要是是描描述述两两个个变变量量之之间间线线性性关关系系的的密密切切程程度度；回回归归分分析析不不仅仅可可以以揭揭示示变变
13、量量 x 对对变变量量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 11-30管理统管理统计学计学回归模型的类型回归模型的类型11-31管理统管理统计学计学一元线性回归模型一元线性回归模型11-32管理统管理统计学计学一元线性回归一元线性回归1.涉及一个自变量的回归涉及一个自变量的回归2.因因变量变量y与自变量与自变量x之间为线性关系之间为线性关系n被被 预预 测测 或或 被被 解解 释释 的的 变变 量量 称称 为为 因因 变变 量量(dependent variable)，用，用y表示表示n用用来来预预测测或或用用来来解解释释因因变变量量的的一
14、一个个或或多多个个变变量量称称为为自自变变量量(independent variable)，用用x表示表示 3.因因变变量量与与自自变变量量之之间间的的关关系系用用一一条条线线性性方方程来表示程来表示11-33管理统管理统计学计学回归模型回归模型(regression model)1.回答回答“变量之间是什么样的关系？变量之间是什么样的关系？”2.方程中运用方程中运用n1 个数字的因变量个数字的因变量(响应变量响应变量)l被预测的变量被预测的变量n1 个或多个数字的或分类的自变量个或多个数字的或分类的自变量(解释变量解释变量)l用于预测的变量用于预测的变量3.主要用于预测和估计主要用于预测和估
15、计11-34管理统管理统计学计学一元线性回归模型一元线性回归模型1.描描述述因因变变量量 y 如如何何依依赖赖于于自自变变量量 x 和和误误差差项项 的的方程称为方程称为回归模型回归模型2.一元线性一元线性回归模型可表示为回归模型可表示为 y=+1 1 x+ny 是是 x 的线性函数的线性函数(部分部分)加上误差项加上误差项n线性部分反映了由于线性部分反映了由于 x 的变化而引起的的变化而引起的 y 的变化的变化n误差项误差项 是随机变量是随机变量l反反映映了了除除 x 和和 y 之之间间的的线线性性关关系系之之外外的的随随机机因因素素对对 y 的的影响影响l是不能由是不能由 x 和和 y 之
16、间的线性关系所解释的变异性之间的线性关系所解释的变异性n 0 和和 1 称为模型的参数称为模型的参数11-35管理统管理统计学计学一元线性回归模型一元线性回归模型(基本假定基本假定)1.误误差差项项是是一一个个期期望望值值为为0的的随随机机变变量量，即即E()=0。对对于于一一个个给给定定的的 x 值值，y 的的期期望望值值为为E(y)=0+1 x2.对对于所有的于所有的 x 值，值，的方差的方差2 都相同都相同3.误误差差项项是是一一个个服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量，且且相相互独立。即互独立。即N(0,2)n独独立立性性意意味味着着对对于于一一个个特特定定的的 x 值值，它它
17、所所对对应应的的与与其他其他 x 值所对应的值所对应的不相关不相关n对对于于一一个个特特定定的的 x 值值，它它所所对对应应的的 y 值值与与其其他他 x 所所对应的对应的 y 值也不相关值也不相关11-36管理统管理统计学计学回归方程回归方程(regression equation)1.描描述述 y 的的平平均均值值或或期期望望值值如如何何依依赖赖于于 x 的的方方程称为程称为回归方程回归方程2.一元一元线性回归方程的形式如下线性回归方程的形式如下3.E(y)=0+1 x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 0是是回回归归直直线线在在 y 轴轴上上
18、的的截截距距，是是当当 x=0 时时 y 的的期期望值望值 1是是直直线线的的斜斜率率，称称为为回回归归系系数数，表表示示当当 x 每每变变动动一个单位时，一个单位时，y 的平均变动值的平均变动值11-37管理统管理统计学计学估计的回归方程估计的回归方程(estimated regression equation)3.一元线性回归中估计的回归方程为一元线性回归中估计的回归方程为2.用用样样本本统统计计量量 和和 代代替替回回归归方方程程中中的的未未知知参参数数 和和 ，就得到了，就得到了估计的回归方程估计的回归方程1.总总体体回回归归参参数数 和和 是是未未知知的的，必必需需利利用用样样本本数
19、数据去估计据去估计其其中中：是是估估计计的的回回归归直直线线在在 y 轴轴上上的的截截距距，是是直直线线的的斜斜率率，它它表表示示对对于于一一个个给给定定的的 x 的的值值，是是 y 的的估估计值，也表示计值，也表示 x 每变动一个单位时，每变动一个单位时，y 的平均变动值的平均变动值 11-38管理统管理统计学计学参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计11-39管理统管理统计学计学最小二乘估计最小二乘估计1.使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得达到最小来求得 和和 的方法。即的方法。即2.用用最最小小二二乘乘法法拟拟合合的的直直线线来来
20、代代表表x与与y之之间间的的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小关系与实际数据的误差比其他任何直线都小11-40管理统管理统计学计学最小二乘估计最小二乘估计(图示图示)x xy y(x xn n ,y yn n)(x x1 1,y y1 1)(x x2 2,y y2 2)(x xi i,y yi i)e ei i =y yi i-y yi i11-41管理统管理统计学计学最小二乘法最小二乘法(和和 的计算公式的计算公式)根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下11-42管理统管理统计学计学估计方程的求法估计方程的求法(例题分析例题分析)【例例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：
21、回归方程为：y=-0.8295+0.037895 x回回归归系系数数 =0.037895=0.037895 表表示示，贷贷款款余余额额每每增增加加1 1亿元，不良贷款平均增加亿元，不良贷款平均增加0.0378950.037895亿元亿元 11-43管理统管理统计学计学估计方程的求法估计方程的求法(例题分析例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示11-44管理统管理统计学计学用用Excel进行回归分析进行回归分析第第第第1 1步：步：步：步：选择选择“工具工具工具工具”下拉菜单下拉菜单第第第第2 2步：步：步：步：选择选择“数据分析数据分析数据分析数据分析”选项选项第第第第3 3步步步步：在在
22、分分析析工工具具中中选选择择“回回回回归归归归”，然然后后选选择择“确确确确定定定定”第第第第4 4步：步：步：步：当对话框出现时当对话框出现时 在在“Y Y值输入区域值输入区域值输入区域值输入区域”方框内键入方框内键入Y Y的数据区域的数据区域 在在“X X值输入区域值输入区域值输入区域值输入区域”方框内键入方框内键入X X的数据区域的数据区域 在在“置信度置信度置信度置信度”选项中给出所需的数值选项中给出所需的数值 在在“输出选项输出选项输出选项输出选项”中选择输出区域中选择输出区域 在在“残差残差残差残差”分析选项中选择所需的选项分析选项中选择所需的选项用用用用ExcelExcel进行回
23、归分析进行回归分析进行回归分析进行回归分析11-45管理统管理统计学计学回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度11-46管理统管理统计学计学变差变差1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面n n由于自变量由于自变量 x x 的取值不同造成的的取值不同造成的n n除除 x x 以以外外的的其其他他因因素素(如如x x对对y y的的非非线线性性影影响响、测量误差等测量误差等)的影响的影响2.对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示11-47管理统管理统计学计学变差的分解变差的分解(图示图示)x xy yy y 11-48管理统管
24、理统计学计学离差平方和的分解离差平方和的分解(三个平方和的关系三个平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和总平方和总平方和总平方和(SSTSST)回归平方和回归平方和回归平方和回归平方和(SSRSSR)残差平方和残差平方和残差平方和残差平方和(SSESSE)11-49管理统管理统计学计学离差平方和的分解离差平方和的分解(三个平方和的意义三个平方和的意义)1.总平方和总平方和(SST)n n反映因变量的反映因变量的反映因变量的反映因变量的 n n 个观察值与其均值的总离差个观察值与其均值的总离差个观察值与其均值的总离差个观察值与其均值的总离差2.回归平方和回归平方和(SSR)n n反反反反映
25、映映映自自自自变变变变量量量量 x x 的的的的变变变变化化化化对对对对因因因因变变变变量量量量 y y 取取取取值值值值变变变变化化化化的的的的影影影影响响响响，或或或或者者者者说说说说，是是是是由由由由于于于于 x x 与与与与 y y 之之之之间间间间的的的的线线线线性性性性关关关关系系系系引引引引起的起的起的起的 y y 的取值变化，也称为可解释的平方和的取值变化，也称为可解释的平方和的取值变化，也称为可解释的平方和的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和残差平方和(SSE)n n反反反反映映映映除除除除 x x 以以以以外外外外的的的的其其其其他他他他因因因因素素素素对对对对
26、y y 取取取取值值值值的的的的影影影影响响响响，也也也也称为不可解释的平方和或剩余平方和称为不可解释的平方和或剩余平方和称为不可解释的平方和或剩余平方和称为不可解释的平方和或剩余平方和11-50管理统管理统计学计学判定系数判定系数r2 (coefficient of determination)1.回归平方和回归平方和占总离差平方和的比例占总离差平方和的比例2.反映回归直线的拟合程度反映回归直线的拟合程度3.取值范围在取值范围在 0,1 之间之间4.R2 1，说明回归方程拟合的越好；说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差说明回归方程拟合的越差5.判定判定系数等于相关系数的平方
27、，即系数等于相关系数的平方，即R2(r)211-51管理统管理统计学计学判定系数判定系数r2 (例例题题分析分析)【例例例例】计计算算不不良良贷贷款款对对贷贷款款余余额额回回归归的的判判定定系系数数，并并解解释其意义释其意义 判判定定系系数数的的实实际际意意义义是是：在在不不良良贷贷款款取取值值的的变变差差中中，有有71.16%可可以以由由不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额之之间间的的线线性性关关系系来来解解释释，或或者者说说，在在不不良良贷贷款款取取值值的的变变动动中中，有有71.16%是是由由贷贷款款余余额额所所决决定定的的。也也就就是是说说，不不良良贷贷款款取取值值的的差差异异有有2/
28、3以以上上是是由由贷贷款款余余额额决决定定的的。可可见见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系 11-52管理统管理统计学计学估计标准误差估计标准误差(standard error of estimate)1.实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况反映实际观察值在回归直线周围的分散状况3.对对误误差差项项 的的标标准准差差 的的估估计计，是是在在排排除除了了x对对y的线性影响后，的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量随机波动大小的一个估计量4.反反映用估计的回归方程预测映
29、用估计的回归方程预测y时预测误差的大小时预测误差的大小 5.计算公式为计算公式为注：例题的计算结果为注：例题的计算结果为1.97991.97991.97991.979911-53管理统管理统计学计学显著性检验显著性检验11-54管理统管理统计学计学线性关系的检验线性关系的检验1.检检验验自自变变量量与与因因变变量量之之间间的的线线性性关关系系是是否否显著显著2.将将回回归归均均方方(MSR)同同残残差差均均方方(MSE)加加以以比比较较，应应用用F检检验验来来分分析析二二者者之之间间的的差差别别是是否否显著显著回回归归均均方方：回回归归平平方方和和SSR除除以以相相应应的的自自由由度度(自自变
30、变量的个数量的个数p)残残差差均均方方：残残差差平平方方和和SSE除除以以相相应应的的自自由由度度(n-p-1)11-55管理统管理统计学计学线性关系的检验线性关系的检验(检验的步骤检验的步骤)1.提出提出假设假设nH0：1=0 线性关系不显著线性关系不显著2.计算计算检验统计量检验统计量F3.确定确定显著性水平显著性水平，并根据分子自由度，并根据分子自由度1和分和分母自由度母自由度n-2找出找出临界值临界值F 4.作作出决策：若出决策：若FF ,拒绝拒绝H0；若若FF ,拒绝拒绝H0，线性关系显著线性关系显著11-57管理统管理统计学计学线性关系的检验线性关系的检验(方差分析表方差分析表)E
31、xcel 输出的方差分析表输出的方差分析表11-58管理统管理统计学计学回归系数的检验回归系数的检验3.在在一一元元线线性性回回归归中中，等等价价于于线线性性关关系系的的显著性检验显著性检验1.检检验验 x 与与 y 之之间间是是否否具具有有线线性性关关系系，或或者者说说，检检验验自自变变量量 x 对对因因变变量量 y 的的影影响响是否显著是否显著2.理论基础是回归系数理论基础是回归系数 的抽样分布的抽样分布11-59管理统管理统计学计学回归系数的检验回归系数的检验(样本统计量样本统计量 的分布的分布)1.1.1.是是是是根根根根据据据据最最最最小小小小二二二二乘乘乘乘法法法法求求求求出出出出
32、的的的的样样样样本本本本统统统统计计计计量量量量，它它它它有有有有自自自自己己己己的分布的分布的分布的分布2.2.的的的的分布具有如下性质分布具有如下性质分布具有如下性质分布具有如下性质 分布形式：正态分布分布形式：正态分布分布形式：正态分布分布形式：正态分布 数学期望：数学期望：数学期望：数学期望：标准差：标准差：标准差：标准差：由由由由于于于于 未未未未知知知知，需需需需用用用用其其其其估估估估计计计计量量量量s s s sy y y y来来来来代代代代替替替替得得得得到到到到 的的的的估估估估计计计计的的的的标标标标准差准差准差准差11-60管理统管理统计学计学回归系数的检验回归系数的检
33、验(检验步骤检验步骤)1.提出假设提出假设nH0:1=0(没有线性关系没有线性关系)nH1:1 0(有线性关系有线性关系)2.计算检验的统计量计算检验的统计量3.确定显著性水平确定显著性水平，并进行决策，并进行决策 t t，拒绝拒绝H0；t t=2.201，拒拒绝绝H0，表表明明不不良良贷贷款款与贷款余额之间有线性关系与贷款余额之间有线性关系11-62管理统管理统计学计学回归系数的检验回归系数的检验(例题分析例题分析)P 值的应用值的应用P P=0.000000=0.000000=0.05=0.05，拒绝原假设，拒绝原假设，不良贷款与贷不良贷款与贷款余额之间有线性关系款余额之间有线性关系11-
34、63管理统管理统计学计学Excel输出的部分回归结果输出的部分回归结果11-64管理统管理统计学计学11.3 利用回归方程进行利用回归方程进行 估计和预测估计和预测一一.点估计点估计二二.区间估计区间估计11-65管理统管理统计学计学利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测1.根据自变量根据自变量 x 的取值估计或预测因变量的取值估计或预测因变量 y的取值的取值2.估计或预测的类型估计或预测的类型n点估计点估计ly 的平均值的点估计的平均值的点估计ly 的个别值的点估计的个别值的点估计n区间估计区间估计ly 的平均值的的平均值的置信区间置信区间估计估计ly 的个别值的的个别值的预测
35、区间预测区间估计估计11-66管理统管理统计学计学点估计点估计11-67管理统管理统计学计学点估计点估计2.点估计值有点估计值有ny 的的平均值平均值的点估计的点估计ny 的的个别值个别值的点估计的点估计3.在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同的点估计是一样的，但在区间估计中则不同1.对对于于自自变变量量 x 的的一一个个给给定定值值x0，根根据据回回归归方方程得到因变量程得到因变量 y 的一个估计值的一个估计值11-68管理统管理统计学计学 y 的平均值的点估计的平均值的点估计利利用用估估计计的的回回归归方方程
36、程，对对于于自自变变量量 x 的的一一个个给给定定值值 x0，求求出出因因变变量量 y 的的平平均均值值的的一个估计值一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计就是平均值的点估计n在在前前面面的的例例子子中中，假假如如我我们们要要估估计计贷贷款款余余额额为为100亿亿元元时时，所所有有分分行行不不良良贷贷款款的的平平均均值值，就就是是平平均均值值的的点点估估计计。根根据据估估计计的的回归方程得回归方程得11-69管理统管理统计学计学y 的个别值的点估计的个别值的点估计利利用用估估计计的的回回归归方方程程，对对于于自自变变量量 x 的的一一个个给给定定值值 x0，求求出出因因变变量量 y 的的一一
37、个个个个别值的估计值别值的估计值 ，就是个别值的点估计，就是个别值的点估计n比比如如，如如果果我我们们只只是是想想知知道道贷贷款款余余额额为为72.8亿亿元元的的那那个个分分行行(这这里里是是编编号号为为10的的那那个个分分行行)的的不不良良贷贷款款是是多多少少，则则属属于于个个别别值值的点估计的点估计。根据估计的回归方程得。根据估计的回归方程得11-70管理统管理统计学计学区间估计区间估计11-71管理统管理统计学计学区间估计区间估计1.点点估估计计不不能能给给出出估估计计的的精精度度，点点估估计计值值与与实实际际值值之间是有误差的，因此需要进行区间估计之间是有误差的，因此需要进行区间估计2
38、.对对于于自自变变量量 x 的的一一个个给给定定值值 x0，根根据据回回归归方方程程得得到因变量到因变量 y 的一个估计区间的一个估计区间3.区间估计有两种类型区间估计有两种类型n置信区间估计置信区间估计(confidence interval estimate)n预测区间估计预测区间估计(prediction interval estimate)11-72管理统管理统计学计学置信区间估计置信区间估计1.利用利用利用利用估计的回归方程，对于自变量估计的回归方程，对于自变量估计的回归方程，对于自变量估计的回归方程，对于自变量 x x 的一个给定的一个给定的一个给定的一个给定值值值值 x x0 0
39、 ，求出因变量求出因变量求出因变量求出因变量 y y 的的的的平均值的估计区间平均值的估计区间平均值的估计区间平均值的估计区间 ，这，这，这，这一估计区间称为一估计区间称为一估计区间称为一估计区间称为置信区间置信区间置信区间置信区间(confidence intervalconfidence interval)2.E E(y y0 0)在在在在1-1-置信置信置信置信水平下的置信区间为水平下的置信区间为水平下的置信区间为水平下的置信区间为式中：式中：s sy y为为估计标准误差估计标准误差11-73管理统管理统计学计学置信区间估计置信区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】求出贷款余额为求出贷
40、款余额为100亿元时，不良贷款亿元时，不良贷款95%的置信区间的置信区间 解：解：根据前面的计算结果，已知根据前面的计算结果，已知n=25，sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为置信区间为当当贷贷款款余余额额为为100亿亿元元时时，不不良良贷贷款款的的平平均均值值在在2.1141亿元到亿元到3.8059亿元之间亿元之间 11-74管理统管理统计学计学预测区间估计预测区间估计1.利用估计利用估计的回归方程，对于自变量的回归方程，对于自变量 x 的一个给的一个给定值定值 x0，求出因变量求出因变量 y 的的一个个别值的估计区一个个别值的估计区间，这一区间称为间，这一区间称为预
41、测区间预测区间(prediction interval)2.y0在在1-置信水平下的预测区间为置信水平下的预测区间为注意！注意！11-75管理统管理统计学计学预测区间估计预测区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】求出贷款余额为求出贷款余额为72.872.8亿元时，不良贷款亿元时，不良贷款 95%95%的置信区间的置信区间 解：解：根据前面的计算结果，已知根据前面的计算结果，已知n n=25=25，s sy y=1.97991.9799，t t(25-2)=2.0687(25-2)=2.0687 置信区间为置信区间为贷贷款款余余额额为为72.872.8亿亿元元的的那那个个分分行行，其其不不良良
42、贷贷款款的预测区间在的预测区间在-2.2766-2.2766亿元到亿元到6.13666.1366亿元之间亿元之间 11-76管理统管理统计学计学影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素1.置信水平置信水平(1-)n区间区间宽度随置信水平的增大而增大宽度随置信水平的增大而增大2.数据数据的离散程度的离散程度(s)n区间宽度随离散程度的增大而增大区间宽度随离散程度的增大而增大3.样本容量样本容量n区间宽度随样本容量的增大而减小区间宽度随样本容量的增大而减小4.用于用于预测的预测的 xp与与 x的的差异程度差异程度n区间宽度随区间宽度随 xp与与 x 的差异程度的增大而增大的差异程度的增大而增大11-7
43、7管理统管理统计学计学置信区间置信区间、预测区间预测区间、回归方程回归方程xp pyx x预测上限置信上限预测下限置信下限11-78管理统管理统计学计学11.4 残差分析残差分析一一.用用残差证实模型的假定残差证实模型的假定二二.用残差检测异常值和有影响的观测值用残差检测异常值和有影响的观测值11-79管理统管理统计学计学残差残差(residual)1.因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示2.反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差 3.确定有关误差项的假定是否成立 4.检测有影响的观测值11-80管理统管理统计学计学用残差证实模型的假定用残差证实模型的假定11-81管
44、理统管理统计学计学残差图残差图(residual plot)1.表示残差的图形n n关于关于x x的残差图的残差图n n关于关于y y的残差图的残差图n n标准化残差图标准化残差图2.用于判断误差的假定是否成立 3.检测有影响的观测值11-82管理统管理统计学计学残差图残差图(形态及判别形态及判别)11-83管理统管理统计学计学残差图残差图(例题分析例题分析)11-84管理统管理统计学计学标准化残差标准化残差(standardized residual)残差除以它的标准差后得到的数值。计算公式为n n e ei i是第是第i i个残差的标准差，其计算公式为个残差的标准差，其计算公式为 11-8
45、5管理统管理统计学计学标准化残差图标准化残差图 用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否成立 n n若若假假定定成成立立，标标准准化化残残差差的的分分布布也也应应服服从从正态分布正态分布n n在在标标准准化化残残差差图图中中，大大约约有有95%95%的的标标准准化化残差在残差在-2-2到到+2+2之间之间 11-86管理统管理统计学计学标准化残差图标准化残差图(例题分析例题分析)11-87管理统管理统计学计学用残差检测异常值和用残差检测异常值和有影响的观测值有影响的观测值11-88管理统管理统计学计学异常值异常值(outlier)1.如如果果某某一一个个点点与与其其他他点点所所呈呈现现的的
46、趋趋势势不不相相吻吻合合，这个点就有可能是异常点，或称为野点这个点就有可能是异常点，或称为野点n n如如果果异异常常值值是是一一个个错错误误的的数数据据，比比如如记记录录错错误误造造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果n n如如果果是是由由于于模模型型的的假假定定不不合合理理，使使得得标标准准化化残残差差偏偏大大，应应该该考考虑虑采采用用其其他他形形式式的的模模型型，比比如如非非线线性模型性模型n n如如果果完完全全是是由由于于随随机机因因素素而而造造成成的的异异常常值值，则则应应该保留该数据该保留该数据2.在在处处理理异异常常值值时时，若若一一个个
47、异异常常值值是是一一个个有有效效的的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔出观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔出 11-89管理统管理统计学计学异常值异常值(识别识别)1.异常值也可以通过标准化残差来识别2.如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值3.一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值11-90管理统管理统计学计学有影响的观测值有影响的观测值1.如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影响的观测值 2.一个有影响的观测值可能是n n一一个个异异常常值值，即即有有一一个个的的值值远远远
48、远偏偏离离了了散散点图中的趋势线点图中的趋势线n n对应一个远离自变量平均值的观测值对应一个远离自变量平均值的观测值n n或者是这二者组合而形成的观测值，或者是这二者组合而形成的观测值，11-91管理统管理统计学计学有影响的观测值有影响的观测值(图示图示)不存在影响值的趋势不存在影响值的趋势存在影响值的趋势11-92管理统管理统计学计学杠杆率点杠杆率点(ieverage point)1.1.如如果果自自变变量量存存在在一一个个极极端端值值，该该观观测测值值则则称称为为高高杠杆率点杠杆率点(high high ieverageieverage point point)2.2.在在一一元元回回归归
49、中中，第第i i个个观观测测值值的的杠杠杆杆率率用用h hi i表表示示，其计算公式为其计算公式为 3.3.如如果果一一个个观观测测值值的的杠杠杆杆率率 就就可可以以将将该该观观测值识别为有高杠杆率的点测值识别为有高杠杆率的点 4.4.一一个个有有高高杠杠杆杆率率的的观观测测值值未未必必是是一一个个有有影影响响的的观观测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响 11-93管理统管理统计学计学高杠杆率点高杠杆率点(图示图示)高杠杆率点11-94管理统管理统计学计学本章小结本章小结1.变量间关系的度量变量间关系的度量2.回归模型、回归方程与估计的回归方程回归模型、回归方程与估计的回归方程3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.回归分析中的显著性检验回归分析中的显著性检验5.估计和预测估计和预测6.用用Excel 进行回归分析进行回归分析11-95管理统管理统计学计学结结 束束