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1、同济大学同济大学 高等数学上高等数学上D重积分重积分(jfn)的的应用应用第一页，共31页。1.1.能用重积分解决的实际问题能用重积分解决的实际问题(wnt)(wnt)的特点的特点所求量是 对区域(qy)具有可加性 从定积分定义(dngy)出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共31页第二页，共31页。一、立体一、立体一、立体一、立体(lt)(lt)体体体体积积积积 曲顶柱体的顶为连续(linx)曲面则其体积(tj)为 占
2、有空间有界域空间有界域 的立体的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共31页第三页，共31页。任一点(y din)的切平面与曲面所围立体(lt)的体积 V.解解:曲面曲面(qmin)的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例例例例1.1.求曲面求曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页第四页，共31页。例例例例2.2.2.2.求半径为求半径为求半径为求半径为a a a a 的球面的球面的球面的球面(qimin)(qimin)(qimin)(qimin)与与与与半顶角为半顶角为半顶角为半顶角为 的的的的内接锥面所围成的立体(lt)的体
3、积.解解:在球坐标系下空间立体在球坐标系下空间立体(lt)所占区域为所占区域为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共31页第五页，共31页。二、曲面二、曲面二、曲面二、曲面(qmin)(qmin)的面积的面积的面积的面积设光滑(gung hu)曲面则面积(min j)A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共31页第六页，共31页。故有曲面面积(min j)公式若光滑(gung hu)曲面方程为则有即机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共31页第七
4、页，共31页。若光滑(gung hu)曲面方程为 若光滑曲面(qmin)方程为隐式则则有且机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共31页第八页，共31页。例例例例3.3.计算计算计算计算(j sun)(j sun)双曲双曲双曲双曲抛物面抛物面抛物面抛物面被柱面所截解解:曲面在曲面在 xoy 面上面上(min shn)投影为投影为则出的面积(min j)A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页第九页，共31页。例例例例4.4.计算计算计算计算(j sun)(j sun)半径为半径为半径为半径为 a a 的球的表面积的球的表面积的球的表面积的球的表面积.解解:设球面
5、(qimin)方程为 球面(qimin)面积元素为方法方法2 利用直角坐标方程.(见书 P109)方法方法1 利用球坐标方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共31页第十页，共31页。三、物体三、物体三、物体三、物体(wt)(wt)的的的的质心质心质心质心设空间(kngjin)有n个质点,其质量(zhling)分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共31页第十一页，共31页。将 分成(fn chn)n 小块,将第 k 块看作(kn
6、zu)质量集中于点例如(lr),令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页第十二页，共31页。同理可得同理可得则得形心坐标：机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共31页第十三页，共31页。若物体为占有(zhnyu)xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积(min j)得D 的形心坐标:则它的质心(zh xn)坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共31页第十四页，共31页。例例例例5.5.求位
7、于求位于求位于求位于(wiy)(wiy)两圆两圆两圆两圆和的质心(zh xn).解解:利用利用(lyng)对称性可知对称性可知而之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共31页第十五页，共31页。例例例例6.6.一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形(txng),(txng),剖面壁线剖面壁线剖面壁线剖面壁线的方程(fngchng)为内储有高为 h 的均质钢液,解解:利用利用(lyng)对称性可知质心在对称性可知质心在 z 轴上，轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回
8、结束 第15页/共31页第十六页，共31页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第16页/共31页第十七页，共31页。四、物体四、物体四、物体四、物体(wt)(wt)的转动惯的转动惯的转动惯的转动惯量量量量设物体(wt)占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体(wt)位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共31页第十八页，共31页。类似类似(li s)(li s)可得可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原
9、点的转动惯量机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第18页/共31页第十九页，共31页。如果物体如果物体(wt)(wt)是平面薄是平面薄片片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共31页第二十页，共31页。例例例例7.7.求半径求半径求半径求半径(bnjng)(bnjng)为为为为 a a 的均匀半圆薄的均匀半圆薄的均匀半圆薄的均匀半圆薄片对其直径片对其直径片对其直径片对其直径解解:建立建立(jinl)坐标系如图坐标系如图,半圆薄片(bo pin)的质量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共31页第二十一页，共
10、31页。解解:取球心取球心(qixn)为原点为原点,z 轴为轴为 l 轴轴,则球体(qit)的质量例例例例8.8.8.8.求均匀求均匀求均匀求均匀(jnyn)(jnyn)(jnyn)(jnyn)球体对于过球心的一条轴球体对于过球心的一条轴球体对于过球心的一条轴球体对于过球心的一条轴 l l l l 的转动惯量的转动惯量的转动惯量的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共31页第二十二页，共31页。G 为引力(ynl)常数五、物体五、物体五、物体五、物体(wt)(wt)的的的的引力引力引力引力设物体占有(zhnyu)空间区域,物体对位于原点的单位质量质
11、点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共31页第二十三页，共31页。对 xoy 面上(min shn)的平面薄片D,它对原点处的单位质量(zhling)质点的引力(ynl)分量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共31页第二十四页，共31页。例例例例9.9.设面密度为,半径(bnjng)为R的圆形薄片求它对位于(wiy)点解解:由对称性知引力由对称性知引力(ynl)处的单位质量质点的引力.。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共31页第二十五页，共31页。例例例例10.10.求半
12、径求半径求半径求半径(bnjng)(bnjng)R R 的均匀球的均匀球的均匀球的均匀球对位于(wiy)的单位(dnwi)质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共31页第二十六页，共31页。为球的质量机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第26页/共31页第二十七页，共31页。作作业业(zu(zuyy)P96 7，10,17 P116 1，3，6,11,13,14习题课 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第27页/共31页第二十八页，共31页。(t 为时间)的雪堆在融化(rnghu)过程中,其侧面(cmin)满足方程设长度单位(dn
13、wi)为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题备用题备用题第28页/共31页第二十九页，共31页。提示提示提示提示(tsh):(tsh):记雪堆(xu du)体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共31页第三十页，共31页。由题意(t y)知令得(小时(xiosh)因此高度为130cm的雪堆全部(qunb)融化所需的时间为100小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共31页第三十一页，共31页。