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1、同济大学同济大学(tn j d xu)高等数学上高等数学上D对弧长和曲线积分对弧长和曲线积分第一页，共25页。第一节一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分(jfn)的概念的概念与性质与性质二、对弧长的曲线积分二、对弧长的曲线积分(jfn)的计的计算法算法机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章 第1页/共25页第二页，共25页。一、对弧长的曲线一、对弧长的曲线一、对弧长的曲线一、对弧长的曲线(qxin)(qxin)积分的概积分的概积分的概积分的概念与性质念与性质念与性质念与性质假设曲线形细长假设曲线形细长(x chn)(x chn)构件在构件在空间所占空间所占弧
2、段为AB,其线密度(md)为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共25页第三页，共25页。设 是空间中一条有限(yuxin)长的光滑曲线,义在 上的一个(y)有界函数,都存在(cnzi),上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2 2.定义定义定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共25页第四页，共25页。如果如果 L L 是是 xoy xoy 面上面
3、上(min shn)(min shn)的的曲线弧曲线弧,如果(rgu)L 是闭曲线,则记为则定义(dngy)对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.第4页/共25页第五页，共25页。3.3.性质性质性质性质(xngzh)(xngzh)（k 为常数(chngsh)(由 组成)(l 为曲线(qxin)弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共25页第六页，共25页。二、对弧长的曲线积分二、对弧长的曲线积分二、对弧长的曲
4、线积分二、对弧长的曲线积分(jfn)(jfn)的计的计的计的计算法算法算法算法基本思路基本思路:计算(j sun)定积分转 化定理定理(dngl):且上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共25页第七页，共25页。点设各分点对应(duyng)参数为对应(duyng)参数为 则机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共25页第八页，共25页。说明说明(shumng):因此积分(jfn)限必须满足(2)注意(zh y)到 因此上述计算公式相当于“换元法”.因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共25页
5、第九页，共25页。如果曲线如果曲线(qxin)L(qxin)L 的的方程为方程为则有如果方程(fngchng)为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线设空间曲线(qxin)弧的参数方程为弧的参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共25页第十页，共25页。例例例例1.1.计算计算计算计算(j sun)(j sun)其中(qzhng)L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第10页/共25页第十一页，共25页。例例例例2.2.计算计算计算计算(j sun)(j sun)半径为半径为半径为半径为 R,R,中心角为中心
6、角为中心角为中心角为的圆弧 L 对于(duy)它的对称轴的转动惯量I(设线密度(md)=1).解解:建立坐标系如图,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页第十二页，共25页。例例例例3.3.计算计算计算计算(j sun)(j sun)其中(qzhng)L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一(dy)象限部分为利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共25页第十三页，共25页。例例例例4.4.计算曲线计算曲线计算曲线计算曲线(qxin)(qxin)积分积分积分积分 其中(qzhng)为螺旋的一段弧.解解:线机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第13页
7、/共25页第十四页，共25页。例例例例5.5.计算计算计算计算(j sun)(j sun)其中(qzhng)为球面 被平面 所截的圆周.解解:由对称性可知由对称性可知(k zh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共25页第十五页，共25页。思考思考思考思考(sko):(sko):例例例例5 5中中中中 改为改为改为改为计算(j sun)解解:令,则圆的形心在原点,故,如何(rh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共25页第十六页，共25页。例例例例6.6.计算计算计算计算(j(j sun)sun)其中(qzhng)为球面解解:化为参数(cnsh)方程 则机动 目录 上页
8、 下页 返回 结束 第16页/共25页第十七页，共25页。例例例例7.7.有一半有一半有一半有一半(ybn)(ybn)圆弧圆弧圆弧圆弧其线密度(md)解解:故所求引力(ynl)为求它对原点处单位质量质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共25页第十八页，共25页。内容内容内容内容(nirng(nirng(nirng(nirng)小结小结小结小结1.定义定义(dngy)2.性质性质(xngzh)(l 曲线弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页第十九页，共25页。3.3.计算计算计算计算(j(j sun)sun)对光滑(gung hu)曲线弧 对光滑
9、(gung hu)曲线弧 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共25页第二十页，共25页。思考思考思考思考(sko)(sko)与与与与练习练习练习练习1.已知椭圆(tuyun)周长(zhu chn)为a,求提示提示:原式=利用对称性分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共25页第二十一页，共25页。2.2.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧(tnhung)L(tnhung)L的方的方的方的方程为程为程为程为(1)求它关于(guny)z 轴的转动惯量(2)求它的质心(zh xn).解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(
10、1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页第二十二页，共25页。故重心坐标为作业作业(zuy)P131 3(3),(4),(6),(7)5 第二节 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第22页/共25页第二十三页，共25页。备用备用备用备用(biyng(biyng)题题题题1.设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界,求提示提示:分段积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共25页第二十四页，共25页。2.L2.L为球面为球面为球面为球面(qimin)(qimin)面的交线,求其形心.在第一(dy)卦限与三个坐标解解:如图所示如图所示,交线长度交线长度(chngd)为为由对称性,形心坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页第二十五页，共25页。