实用振动分析课件.pptx

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1、主要内容主要内容Rayleigh法Rayleigh-Ritz法矩阵迭代法 基本模态迭代法 高阶模态迭代法Jacobi(雅可比)迭代法子空间迭代法第2页/共64页第1页/共64页7.17.1Rayleigh法法（能量法）（能量法）第3页/共64页第2页/共64页7.1 Rayleigh法 Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程中的最大应变能与最大动能相等而求得。对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种处理方式.一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模态中的变形形状和运动幅值(广义坐标)变化规律，将

2、连续的结构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散坐标系中应用同样的方法求解结构基频。第4页/共64页第3页/共64页7.1 Rayleigh法 保守系统的能量守能定律:T(t)体系在某时刻的动能；V(t)体系在某时刻的势能。当振动体系振幅达到最大值时，动能为0，应变能为最大；当振动体系经过静力平衡位置的瞬时，动能为最大，应变能为0。则，第5页/共64页第4页/共64页7.1 Rayleigh法 将体系的位移用振型函数和广义坐标幅值表示：则，速度：体系的动能：体系的最大动能：第6页/共64页第5页/共64页7.1 Rayle

3、igh法 体系的应变能(只考虑弯曲变形)：最大应变能：由 可求得结构的振动频率为：第7页/共64页第6页/共64页7.1 Rayleigh法 若假设的振型与体系基本振型一致，则Rayleigh法所得频率即为体系基频的精确值。若假设振型与体系基本振型差别增大时，Rayleigh法所得的频率与体系基频的差别也随之增大。若假设的振型是体系的第i阶振型，则Rayleigh法所得频率即为体系第i阶自振频率的精确值。一般而言，很难精确的假设出高阶振型函数，而基本振型的假设则比较容易，因此上式通常仅用于基频的计算。第8页/共64页第7页/共64页若体系上还有n个集中质量m，设U(xi)表示第i点的振幅，则：

4、若体系上只有n个集中质量m，而不计分布质量时，则：代入 可求得体系的振动频率为：7.1 Rayleigh法 第9页/共64页第8页/共64页同样，由 可得：若体系上没有集中质量，而只考虑分布质量时，则：通常，可以取体系在某种静荷载作用下的挠曲线（弹性曲线）作为振型曲线。体系的应变能则可以用外力所作的功来代替，即：7.1 Rayleigh法 第10页/共64页第9页/共64页例1：用能量法求两端固定梁的基频用两种方法求解。(1)设振型曲线为：显然上式满足几何边界条件，且满足弯矩边界条件，但不满足剪力的边界条件。与精确解 相对比，误差为+1.9%。7.1 Rayleigh法 第11页/共64页第1

5、0页/共64页(2)选取均布荷载q作用下的弹性曲线为振型曲线显然上式满足全部的边界条件。与精确解 相对比，误差为+0.4%。7.1 Rayleigh法 例1：用能量法求两端固定梁的基频第12页/共64页第11页/共64页所选的两种曲线，大部分或者全部满足边界条件，因此所得结果的误差都较小；所选的第二种振型曲线所得误差较小，因为它更接近第一阶振型；所得结果与精确值相比都偏大，这是能量法的一个特点。因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某些约束，从而增大了体系的刚度，而导致所得频率值偏大。7.1 Rayleigh法 第13页/共64页第12页/共64页7.27.2Rayleigh

6、-Ritz法法第14页/共64页第13页/共64页7.2 Rayleigh-Ritz法 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的近似解，但在动力分析中，为得到足够精确的结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的振型。Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振频率和自振振型。第15页/共64页第14页/共64页将挠度函数用一组相互独立函数 的线性组合表示：其中，ai为待定常数。而 应满足全部或

7、部分边界条件，至少应满足几何边界条件，且接近于第i阶振型函数Ui(x)。将挠度函数代入Rayleigh法得到的频率表达：要使频率接近于精确值，即上式应取最小值，即7.2 Rayleigh-Ritz法 第16页/共64页第15页/共64页将上式展开，并令分子为0，则有：代入上式，则有：而：第17页/共64页第16页/共64页令：则，可得：上式为一组关于ai(i=1,2,3,m)的线性齐次方程组，即：即：第18页/共64页第17页/共64页其中：与分布质量相关令*式行列式为0，即可得到频率方程：求解上式，即可得到m个固有频率的近似值将 代入*式，解出m个ai，回代即得到振型函数。*与集中质量相关第

8、19页/共64页第18页/共64页算例7.2：用Rayleigh-Ritz法求基频变截面悬臂梁，梁厚为单位厚度，梁高按线性变化，为密度，质量和惯性矩为解：边界条件为：为满足边界条件，可取：第20页/共64页第19页/共64页仅取一项与精确值 相比，误差为+1.6%。算例7.2：用Rayleigh-Ritz法求基频第21页/共64页第20页/共64页取两项算例7.2：用Rayleigh-Ritz法求基频第22页/共64页第21页/共64页令其行列式为0，即可得到频率方程：解得：与精确值 相比，误差不到0.08%。进一步，假设a1=1，由关于a1、a2的线性方程组求出a2，即可得到振型：通常，若需

9、求出前j个频率及相应振型，则所取的独立函数的项数必须大于j，且最好不小于2j。第23页/共64页第22页/共64页7 7.3 3多多自自由由度度离离散散坐坐标标系系中中的的Rayleigh法法和和Rayleigh-Ritz法法第24页/共64页第23页/共64页7.3.1 Rayleigh法 将结构的位移用假设的振型和广义坐标幅值来表示:假设的振型向量，z(t)=Zsint广义坐标,Zz(t)的振幅。速度向量为：第25页/共64页第24页/共64页7.3.1 Rayleigh法 结构动能：结构位能：结构的总能量：第26页/共64页第25页/共64页7.3.1 Rayleigh法 结构最大动能：

10、结构最大位能：线弹性结构的最大动能等于最大位能：由此可求得结构的振动频率为：第27页/共64页第26页/共64页7.3.1 Rayleigh法 定义Rayleigh熵：若假设振型接近结构的基本振型，则Rayleigh熵为：第28页/共64页第27页/共64页7.3.1 Rayleigh法 若假设振型与结构基本振型一致，用Rayleigh法求得的频率为结构基频的精确值。若假设振型与结构基本振型的差别增大时，用Rayleigh法求得的频率与结构基频的差别也随之增大。通过近似性证可知：采用一个不太精确的假设振型通过Raleigh法得到的频率是一较为精确的基频近似值。不论什么样的初始振型，用Ralei

11、gh商所求得的近似频率将是基频的上限。若假设的振型是结构的第i阶振型，则用Rayleigh法求得的频率为结构第i阶自振频率的精确值。一般情况下，最接近基本振型的假设振型是最易确定的。第29页/共64页第28页/共64页7.3.2 Rayleigh-Ritz法 设已知s个线性独立的列向量1,2,s，组成一个Ns阶矩阵 它构成N阶多自由度体系的一组假设振型。体系按某一振型作自由振动时，设其固有振型向量可以用上述假设振型的线性组合来表示，即采用Rayleigh法，导得频率表达式为：第30页/共64页第29页/共64页7.2 Rayleigh-Ritz法 用Rayleigh法得到的频率计算公式是广义坐

12、标幅值Z的函数。由于Rayleigh法得到的频率是固有频率的上限，所以其最佳逼近是使频率最小。极小值条件为：第31页/共64页第30页/共64页7.3.2 Rayleigh-Ritz法 依次对每一个广义坐标Zn(n=1,2,s)求导，可以得到s个方程，最后得到：上式可以改写为：这是一s阶方程组，其中，为ss 阶矩阵（sN）。第32页/共64页第31页/共64页7.3.2 Rayleigh-Ritz法 Rayleigh-Ritz法的基本公式可以看出,Rayleigh-Ritz法具有减少体系自由度的效果,它将用几何坐标表示的N个自由度体系转化为用s个广义坐标和相应的假设振型表示的s个自由度的体系。

13、第33页/共64页第32页/共64页RayleighRitz法的基本计算步骤法的基本计算步骤 首先选取s个假设振型，1,2,s。一般称假设振型向量为Ritz基；作变换K*=TK和M*=TM，得到缩减的刚度矩阵K*和质量矩阵M*；解矩阵特征值问题(K*-2M*)Z=0，得到s个特征值12,22,s2 和对应的特征向量Z1,Z2,Zs；求得系统的固有频率1,2,s，而与之相应的固有振型为n=，(n=1,2,s)。其中Zni为特征向量 Zn的第i个元素。第34页/共64页第33页/共64页RayleighRitz法计算的频率分布规律法计算的频率分布规律RayleighRitz法实质上相当于对结构体系

14、施加了一组约束变换，用受约束体系的振型来近似描述原体系的振型。Rayleigh约束原理指出，对于承受s个独立的线性约束体系，其自振频率满足：其中Prs表示受到s个线性约束体系的第r阶固有频率。Rayleigh约束原理表明，受s个线性约束体系的Ns个频率均不低于原体系阶数相同的频率，但也不超过原体系阶数比它大s的那个频率。第35页/共64页第34页/共64页7.3.2 Rayleigh-Ritz法 RayleighRitz法的计算频率分布规律可以进一步证明，受s个约束结构体系的N-s个固有频率是规则地交错分布在未约束结构体系的N-s+1个固有频率之间，即 由此，Rayleigh约束原理说明了原结

15、构体系和受约束结构体系固有频率之间的关系，从而从理论上证明了RayleighRitz法的有效性。第36页/共64页第35页/共64页算例算例7.3三层框架结构的层间刚度均为k，集中到各楼板的质量均为m，完成以下计算：(1)求结构的自振频率和振型；(2)如果假设形状向量为=0.5,1.0,1.5T，用Rayleigh法求结构的基本自振频率；(3)如果假设两形状向量分别为1=0.5,1.0,1.5T和 2=-1.0,-1.0,1.0T，用 Rayleigh-Ritz法求结构的基本自振频率。第38页/共64页第37页/共64页算例7.3(1)求结构的自振频率和振型求结构的自振频率和振型 形成结构的刚

16、度矩阵和质量矩阵 计算结构的自振频率(精确解)第39页/共64页第38页/共64页算例7.3 计算结构的振型 正交归一化振型：最大值归一化振型：顶层值为1归一化振型：第40页/共64页第39页/共64页算例7.3 验证振型的正交性 例如：第41页/共64页第40页/共64页算例7.3(2)用用Rayleigh法求结构的基本自振频率法求结构的基本自振频率假设形状向量：由Rayleigh法计算自振频率的公式：解得：第42页/共64页第41页/共64页算例7.3(3)用用Rayleigh-Ritz法求结构的基本自振频率法求结构的基本自振频率 假设形状向量：根据Rayleigh-Ritz法确定广义质量

17、矩阵和广义刚度矩阵的元素特征方程为 第43页/共64页第42页/共64页算例7.3可求得结构的前两阶自振频率为：可见采用Rayleigh-Ritz法可以获得比Rayleigh法更精确的结果。由Rayleigh-Ritz法求结构的振型（略）第44页/共64页第43页/共64页7 7.4 4矩阵迭代法矩阵迭代法Matrix Iteration第45页/共64页第44页/共64页对于多自由度体系，用柔度法得到的位移方程为：其中，和 为自振频率及其对应的主振型；M为质量矩阵；为柔度矩阵。令：则：其中，D D K-1M称为动力矩阵。7.4 矩阵迭代法 1 基本模态迭代法基本模态迭代法第46页/共64页第

18、45页/共64页通常 ，将 作为第二次近似值，重复上述步骤，得到新的归一化振型向量 ：若 ，则重复上述步骤，依次得到：直到相邻两次的标准化振型向量 与 十分接近时，迭代即可停止。这时得到的 就是第一主振型，而对应的 即为所求频率。假设一个振型 作为第一振型 的第一次近似，代入上式左边，即有其中，上横线表示归一化后的振型。第47页/共64页第46页/共64页例4：用迭代法求刚架的第一主振型和第一频率.解：求得动力矩阵：其中：设起始的标准化振型向量 为：第一次迭代，得归一化第48页/共64页第47页/共64页此时，与 已经基本相等，迭代过程即可停止。由此可知，第一主振型为：第二次迭代，得重复此过程

19、，第六次迭代，得对应的频率：第49页/共64页第48页/共64页收敛性的证明收敛性的证明将最初假设的标准化振型向量 按主振型展开：第一次迭代:由于：故有：为振型参与系数。第50页/共64页第49页/共64页第二次迭代：因此：重复上述过程，经过k次迭代后，有通常各阶频率是不相等的，且第51页/共64页第50页/共64页所以：当k为大数时，可认为：则 展开式中仅剩下i=1一项：可见，振型向量 最后收敛于第一主振型 。此外，由上式知，当k为大数时，有：可见，在迭代过程中，频率 最后收敛于基频 。第52页/共64页第51页/共64页尽管在初设的标准化振型向量的展开式中包含了所有主振型的分量，但在迭代过

20、程中，高阶主振型的分量逐渐衰减，最后总是收敛于第一主振型。如果在所设振型向量中第一主振型的分量为0（即振型参与系数为0），则结果收敛于第二主振型。如果前面p个主振型的分量都为0，则结果收敛于第p+1个主振型。如果在迭代过程中发生差错，则只会影响迭代过程，而不会影响最后结果。几点结论几点结论7.4 矩阵迭代法 1 基本模态迭代法基本模态迭代法第53页/共64页第52页/共64页而 为广义质量。采用迭代法求高阶主振型时，关键的一步是要在所设的振型向量中把低阶主振型的分量消除掉，这个步骤叫做清型清型清型清型或滤型滤型滤型滤型。任一所设振型向量都可按主振型展开：其中：7.4 矩阵迭代法 2 高阶高阶模

21、态迭代法模态迭代法第54页/共64页第53页/共64页如果从振型向量 中滤掉第一主振型，则余下的振型向量为：令：则：这里，将Q1称为一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵。也就是说，当任一振型向量y前乘以一阶滤型矩阵Q1时，其效果就是从中把一阶主振型分量滤掉。因此，若取 作为初始振型向量，则迭代的结果将得到第二主振型 。第55页/共64页第54页/共64页为了避免数值运算中由于舍入误差而导致的第一主振型分量的引入，在每次迭代之前都必须进行滤型。也可以把每次迭代运算和滤型运算合并在一起进行。在求一阶主振型时，每次的迭代运算相当于左乘动力矩阵D。在求第二主振型时，还需要在每次迭代之后左乘

22、一阶滤型矩阵Q1进行滤型。因此，将两个运算合并，每次迭代相当于左乘以下矩阵：上式即为求第二主振型时需用的经过滤型后的动力矩阵经过滤型后的动力矩阵经过滤型后的动力矩阵经过滤型后的动力矩阵。同理，可得求第p阶主振型时需用的经过滤型后的动力矩阵为：第56页/共64页第55页/共64页7 7.5 5Jacobi(雅可比)迭代迭代法法第57页/共64页第56页/共64页7.5 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是最常用的矩阵特征值问题分析方法之一，它是一种旋转变换方法，通过正交相似变换把矩阵化为对角矩阵，从而得到原矩阵的特征值和特征向量。由矩阵分析理论可知，任何nn阶实对称矩阵A，可通过一个nn阶正交

23、矩阵P，经过相似变换化为一个对角阵，即其中对角线元素i(i=1,2,n)为矩阵A的特征值，P的各列为A的各特征向量，即P为特征向量矩阵。第58页/共64页第57页/共64页7.5 Jacobi迭代法Jacobi迭代法采用的旋转变换矩阵：nn阶正交变换矩阵P：第59页/共64页第58页/共64页7.5 Jacobi迭代法经过一系列旋转变换后，最后得到由此得可见，P为特征向量矩阵，而为特征值组成的谱矩阵。Jacobi迭代法只能求解标准特征值问题，即Jacobi迭代法中的每一次旋转变换的物理意义是对结构的各自由度进行解耦。矩阵最终完全解耦后化成了对角矩阵彻底解耦了。第60页/共64页第59页/共64

24、页7 7.6 6子空间迭代法子空间迭代法第61页/共64页第60页/共64页7.6 子空间迭代法Rayleigh-Ritz法优点：能使问题降阶，在一个缩减的低维空间中进行模态分析运算，同时获得一组模态并节省计算时间。缺点：计算精度受假设振型影响严重，并无法采用进一步的措施来提高计算精度，以使计算结果进一步逼近结构的真实模态。矩阵迭代法优点：可以通过反复迭代逐步收敛到低阶自振频率和振型；缺点：需要在N阶(维)空间进行反复的迭代运算，逐次求得结构的各阶(低阶)模态，另一个缺点是高阶自振频率的计算精度会快速降低高阶自振频率的计算精度会快速降低。第62页/共64页第61页/共64页7.6 子空间迭代法

25、子空间迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法Rayleigh-Ritz法法用矩矩阵阵迭迭代代法法通过迭代使计算的自振频率和振型逼近于真实值；用Rayleigh-Ritz法法使问题降阶，在一个缩减的低维空间中进行模态分析运算，节省计算时间。子空间迭代法计算步骤：首先给出一组假设振型；使用矩阵迭代法使该组假设振型向真实解逼近；再使用Rayleigh-Ritz法获得体系的一组振型和自振频率。若第步计算后不满足精度要求，则返回到第步继续进行迭代运算。这样通过反复使用矩阵迭代法和Rayleigh-Ritz法最终将获得更高精度的结构体系的一组自振频率和振型。第63页/共64页第62页/共64页作业题：作业题：7.1 7.2(选作)第64页/共64页第63页/共64页感谢您的观看。第64页/共64页