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1、实用振动分析实用振动分析主要内容主要内容Rayleigh法Rayleigh-Ritz法矩阵迭代法 基本模态迭代法 高阶模态迭代法Jacobi(雅可比)迭代法子空间迭代法第2页/共64页第1页/共64页7.17.1Rayleigh法法（能量法）（能量法）第3页/共64页第2页/共64页7.17.1 RayleighRayleigh法法 Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。对对任任意意的的保保守守系系统统，其其振振动动频频率率可可以以根根据据RayleighRayleigh法法由由振动过程中的振动过程中的最大应变能最大应变能与与最大动能最大动能相等而求得。相等而求得。对对于于具具有有任任意
2、意自自由由度度的的结结构构体体系系，用用RayleighRayleigh法法求求其其基基频有两种处理频有两种处理方式方式.一一种种是是把把结结构构看看成成连连续续体体系系，通通过过假假设设结结构构在在基基本本模模态态中中的的变变形形形形状状和和运运动动幅幅值值(广广义义坐坐标标)变变化化规规律律，将将连连续续的的结结构构体体系系化化为为单单自自由由度度体体系系，利利用用振振动动过过程程中中最最大应变能与最大动能相等的原则求结构基频大应变能与最大动能相等的原则求结构基频；另另一一种种处处理理方方式式则则是是在在多多自自由由度度离离散散坐坐标标系系中中应应用用同同样样的方法求解结构基频。的方法求解
3、结构基频。第4页/共64页第3页/共64页7.1 7.1 RayleighRayleigh法法 保守系统的能量守能定律保守系统的能量守能定律:T T(t t)体系在某时刻的动能；体系在某时刻的动能；V V(t t)体系在某时刻的势能。体系在某时刻的势能。当当振振动动体体系系振振幅幅达达到到最最大大值值时时，动动能能为为0 0，应应变变能能为为最最大大；当当振振动动体体系系经经过过静静力力平平衡衡位位置置的的瞬瞬时时，动动能能为为最最大，应变能为大，应变能为0 0。则，。则，第5页/共64页第4页/共64页7.1 7.1 RayleighRayleigh法法 将体系的位移用振型函数和广义坐标幅值
4、表示：将体系的位移用振型函数和广义坐标幅值表示：则，速度：则，速度：体系的动能：体系的动能：体系的最大动能：体系的最大动能：第6页/共64页第5页/共64页7.1 7.1 RayleighRayleigh法法 体系的应变能体系的应变能(只考虑弯曲变形只考虑弯曲变形)：最大应变能最大应变能：由由 可可求得结构的振动频率为：求得结构的振动频率为：第7页/共64页第6页/共64页7.1 7.1 RayleighRayleigh法法 若假设的振型与体系基本振型一致，则若假设的振型与体系基本振型一致，则RayleighRayleigh法所法所得频率即为体系基频的精确值。得频率即为体系基频的精确值。若假设
5、振型与体系基本振型差别增大时，若假设振型与体系基本振型差别增大时，RayleighRayleigh法法所得的频率与体系基频的差别也随之增大。所得的频率与体系基频的差别也随之增大。若假设的振型是体系的第若假设的振型是体系的第i i阶振型，则阶振型，则RayleighRayleigh法所法所得频率即为体系第得频率即为体系第i i阶自振频率的精确值。阶自振频率的精确值。一般而言，很难精确的假设出高阶振型函数，而基本一般而言，很难精确的假设出高阶振型函数，而基本振型的假设则比较容易，因此上式振型的假设则比较容易，因此上式通常仅用于基频通常仅用于基频的的计算。计算。第8页/共64页第7页/共64页若体系
6、上还有n个集中质量m，设U(xi)表示第i点的振幅，则：若体系上只有n个集中质量m，而不计分布质量时，则：代入 可求得体系的振动频率为：7.1 Rayleigh法 第9页/共64页第8页/共64页同样，由 可得：若体系上没有集中质量，而只考虑分布质量时，则：通常，可以取体系在某种静荷载作用下的挠曲线（弹性曲线）作为振型曲线。体系的应变能则可以用外力所作的功来代替，即：7.1 Rayleigh法 第10页/共64页第9页/共64页例1：用能量法求两端固定梁的基频用两种方法求解。(1)设振型曲线为：显然上式满足几何边界条件，且满足弯矩边界条件，但不满足剪力的边界条件。与精确解 相对比，误差为+1.
7、9%。7.1 Rayleigh法 第11页/共64页第10页/共64页(2)选取均布荷载q作用下的弹性曲线为振型曲线显然上式满足全部的边界条件。与精确解 相对比，误差为+0.4%。7.1 Rayleigh法 例1：用能量法求两端固定梁的基频第12页/共64页第11页/共64页所选的两种曲线，大部分或者全部满足边界条件，因此所得结果的误差都较小；所选的第二种振型曲线所得误差较小，因为它更接近第一阶振型；所得结果与精确值相比都偏大，这是能量法的一个特点。因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某些约束，从而增大了体系的刚度，而导致所得频率值偏大。7.1 Rayleigh法 第13页
8、/共64页第12页/共64页7.27.2Rayleigh-Ritz法法第14页/共64页第13页/共64页7.27.2 RayleighRayleigh-Ritz-Ritz法法 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的近似解，但在动力分析中，为得到足够精确的结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的振型。Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振频率和自振振型。第15页/共64页第14页/共
9、64页将挠度函数用一组相互独立函数 的线性组合表示：其中，ai为待定常数。而 应满足全部或部分边界条件，至少应满足几何边界条件，且接近于第i阶振型函数Ui(x)。将挠度函数代入Rayleigh法得到的频率表达：要使频率接近于精确值，即上式应取最小值，即7.2 Rayleigh-Ritz法 第16页/共64页第15页/共64页将上式展开，并令分子为0，则有：代入上式，则有：而：第17页/共64页第16页/共64页令：则，可得：上式为一组关于ai(i=1,2,3,m)的线性齐次方程组，即：即：第18页/共64页第17页/共64页其中：与分布质量相关令*式行列式为0，即可得到频率方程：求解上式，即可
10、得到m个固有频率的近似值将 代入*式，解出m个ai，回代即得到振型函数。*与集中质量相关第19页/共64页第18页/共64页算例7.2：用Rayleigh-Ritz法求基频变截面悬臂梁，梁厚为单位厚度，梁高按线性变化，为密度，质量和惯性矩为解：边界条件为：为满足边界条件，可取：第20页/共64页第19页/共64页仅取一项与精确值 相比，误差为+1.6%。算例7.2：用Rayleigh-Ritz法求基频第21页/共64页第20页/共64页取两项算例7.2：用Rayleigh-Ritz法求基频第22页/共64页第21页/共64页令其行列式为0，即可得到频率方程：解得：与精确值 相比，误差不到0.0
11、8%。进一步，假设a1=1，由关于a1、a2的线性方程组求出a2，即可得到振型：通常，若需求出前j个频率及相应振型，则所取的独立函数的项数必须大于j，且最好不小于2j。第23页/共64页第22页/共64页7 7.3 3多多自自由由度度离离散散坐坐标标系系中中的的Rayleigh法法和和Rayleigh-Ritz法法第24页/共64页第23页/共64页7 7.3.3.1 1 RayleighRayleigh法法 将结构的位移用假设的振型和广义坐标幅值来表示将结构的位移用假设的振型和广义坐标幅值来表示:假设的振型向量，假设的振型向量，z z(t t)=)=Z Zsinsin t t广义坐标广义坐标
12、,Z Zz z(t t)的振幅的振幅。速度向量为：速度向量为：第25页/共64页第24页/共64页7 7.3.1 3.1 RayleighRayleigh法法 结构动能：结构动能：结构位能：结构位能：结构的总能量：结构的总能量：第26页/共64页第25页/共64页7 7.3.3.1 1 RayleighRayleigh法法 结构最大动能：结构最大动能：结构最大位能：结构最大位能：线弹性结构的最大动能等于最大位能：线弹性结构的最大动能等于最大位能：由此可求得结构的振动频率为：由此可求得结构的振动频率为：第27页/共64页第26页/共64页7 7.3.3.1 1 RayleighRayleigh法
13、法 定义定义RayleighRayleigh熵熵：若假设振型若假设振型 接近接近结构的基本振型，则结构的基本振型，则RayleighRayleigh熵为：熵为：第28页/共64页第27页/共64页7 7.3.3.1 1 RayleighRayleigh法法 若若假假设设振振型型与与结结构构基基本本振振型型一一致致，用用RayleighRayleigh法法求求得的频率为结构基频的精确值。得的频率为结构基频的精确值。若若假假设设振振型型与与结结构构基基本本振振型型的的差差别别增增大大时时，用用RayleighRayleigh法法求求得得的的频频率率与与结结构构基基频频的的差差别别也也随随之之增增大
14、。大。通通过过近近似似性性证证可可知知：采采用用一一个个不不太太精精确确的的假假设设振振型型通通过过RaleighRaleigh法法得得到到的的频频率率是是一一较较为为精精确确的的基基频频近近似似值。值。不不论论什什么么样样的的初初始始振振型型，用用RaleighRaleigh商商所所求求得得的的近近似似频率将是基频的上限。频率将是基频的上限。若若假假设设的的振振型型是是结结构构的的第第i i阶阶振振型型，则则用用RayleighRayleigh法法求得的频率为结构第求得的频率为结构第i i阶自振频率的精确值。阶自振频率的精确值。一般情况下，最接近基本振型的假设振型是最易确定的。一般情况下，最
15、接近基本振型的假设振型是最易确定的。第29页/共64页第28页/共64页7 7.3.3.2 2 RayleighRayleigh-Ritz-Ritz法法 设设已已知知s s个个线线性性独独立立的的列列向向量量 1 1,2 2,s s，组组成成一个一个N N s s阶矩阵阶矩阵 它构成它构成N N阶多自由度体系的一组阶多自由度体系的一组假设振型假设振型。体体系系按按某某一一振振型型作作自自由由振振动动时时，设设其其固固有有振振型型向向量量可可以以用上述假设振型的线性组合来表示，即用上述假设振型的线性组合来表示，即采用采用RayleighRayleigh法，导得频率表达式为：法，导得频率表达式为：
16、第30页/共64页第29页/共64页7.2 7.2 RayleighRayleigh-Ritz-Ritz法法 用用RayleighRayleigh法法得得到到的的频频率率计计算算公公式式是是广广义义坐坐标标幅幅值值 Z Z 的的函函数数。由由于于RayleighRayleigh法法得得到到的的频频率率是是固固有有频频率率的的上上限限，所以其最佳逼近是使频率最小。极小值条件为：所以其最佳逼近是使频率最小。极小值条件为：第31页/共64页第30页/共64页7 7.3.3.2 2 RayleighRayleigh-Ritz-Ritz法法 依次对每一个广义坐标依次对每一个广义坐标Z Zn n (n n
17、=1,2,=1,2,s s)求导，可以得求导，可以得到到s s个方程，最后得到：个方程，最后得到：上式可以改写为：上式可以改写为：这是一这是一s s阶方程组，其中，阶方程组，其中，为为s s s s 阶矩阵（阶矩阵（s s N N）。）。第32页/共64页第31页/共64页7 7.3.3.2 2 RayleighRayleigh-Ritz-Ritz法法 Rayleigh-Ritz法的基本公式可可以以看看出出,Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法法具具有有减减少少体体系系自自由由度度的的效效果果,它它将将用用几几何何坐坐标标表表示示的的N N个个自自由由度度体体系系转转化化为为
18、用用s s个个广义坐标和相应的假设振型表示的广义坐标和相应的假设振型表示的s s个自由度的体系。个自由度的体系。第33页/共64页第32页/共64页RayleighRitz法的基本计算步骤法的基本计算步骤 首首先先选选取取s s个个假假设设振振型型，1 1,2 2,s s 。一一般般称假设振型向量为称假设振型向量为RitzRitz基；基；作作变变换换 K K*=T T K K 和和 MM*=T T MM ，得得到到缩缩减减的的刚度矩阵刚度矩阵 K K*和质量矩阵和质量矩阵 MM*；解解矩矩阵阵特特征征值值问问题题 (K K*-2 2 MM*)Z Z=0=0，得得到到s s个个特特征征值值 1
19、12 2,2 22 2,s s2 2 和和对对应应的的特特征征向向量量 Z Z 1 1,Z Z 2 2,Z Z s s ；求求得得系系统统的的固固有有频频率率 1 1,2 2 ,s s ，而而与与之之相相应应的的固有振型为固有振型为 n n=，(n n=1,2,=1,2,s s)。其中其中Z Znini为特征向量为特征向量 Z Z n n的第的第i i个元素。个元素。第34页/共64页第33页/共64页RayleighRitz法法计计算算的的频频率率分分布布规规律律RayleighRayleighRitzRitz法法实实质质上上相相当当于于对对结结构构体体系系施施加加了了一一组组约约束束变变换
20、换，用用受受约约束束体体系系的的振振型型来来近近似似描描述述原原体体系系的的振型。振型。RayleighRayleigh约约束束原原理理指指出出，对对于于承承受受s s个个独独立立的的线线性性约约束束体体系，其自振频率满足：系，其自振频率满足：其中其中P Pr rs s表示受到表示受到s s个线性约束体系的第个线性约束体系的第r r阶固有频率。阶固有频率。RayleighRayleigh约约束束原原理理表表明明，受受s s个个线线性性约约束束体体系系的的N Ns s个个频频率率均均不不低低于于原原体体系系阶阶数数相相同同的的频频率率，但但也也不不超超过过原原体系阶数比它大体系阶数比它大s s的
21、那个频率。的那个频率。第35页/共64页第34页/共64页7 7.3.3.2 2 RayleighRayleigh-Ritz-Ritz法法 RayleighRayleighRitzRitz法的计算频率分布规律法的计算频率分布规律可以进一步证明，受s个约束结构体系的N-s个固有频率是规则地交错分布在未约束结构体系的N-s+1个固有频率之间，即 由此，Rayleigh约束原理说明了原结构体系和受约束结构体系固有频率之间的关系，从而从理论上证明了RayleighRitz法的有效性。第36页/共64页第35页/共64页算例算例算例算例7 7.3 3三三层层框框架架结结构构的的层层间间刚刚度度均均为为k
22、 k，集集中中到到各各楼楼板板的的质质量量均为均为mm，完成以下计算：完成以下计算：(1)(1)求结构的自振频率和振型；求结构的自振频率和振型；(2)(2)如如 果果 假假 设设 形形 状状 向向 量量 为为 =0.5,=0.5,1.0,1.0,1.51.5T T，用用RayleighRayleigh法求结构的基本自振频率；法求结构的基本自振频率；(3)(3)如如果果假假设设两两形形状状向向量量分分别别为为 1 1=0.5,=0.5,1.0,1.0,1.51.5T T和和 2 2=-1.0,1.0,-1.0,1.0,1.01.0T T，用用Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法
23、法求求结结构构的基本自振频率。的基本自振频率。第38页/共64页第37页/共64页算例算例7 7.3 3(1)求结构的自振频率和振型求结构的自振频率和振型 形成结构的刚度矩阵和质量矩阵形成结构的刚度矩阵和质量矩阵 计算结构的自振频率计算结构的自振频率(精确解精确解)第39页/共64页第38页/共64页算例算例7 7.3 3 计算结构的振型计算结构的振型 正交归一化振型：正交归一化振型：最大值归一化振型：最大值归一化振型：顶层值为顶层值为1 1归一化振型：归一化振型：第40页/共64页第39页/共64页算例算例7 7.3 3 验证振型的正交性验证振型的正交性 例如：例如：第41页/共64页第40
24、页/共64页算例算例7 7.3 3(2)用用Rayleigh法求结构的基本自振法求结构的基本自振频率频率假设形状向量：假设形状向量：由由RayleighRayleigh法计算自振频率的公式：法计算自振频率的公式：解得：解得：第42页/共64页第41页/共64页算例算例7 7.3 3(3)用用Rayleigh-Ritz法求结构的基本法求结构的基本自振频率自振频率 假设形状向量：假设形状向量：根根据据Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法法确确定定广广义义质质量量矩矩阵阵和和广广义义刚刚度度矩矩阵阵的元素的元素特征方程为特征方程为 第43页/共64页第42页/共64页算例算例7 7
25、.3 3可求得结构的前两阶自振频率为：可求得结构的前两阶自振频率为：可可见见采采用用Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法法可可以以获获得得比比RayleighRayleigh法法更更精精确确的结果。的结果。由由Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法求法求结构的振型（略）结构的振型（略）第44页/共64页第43页/共64页7 7.4 4矩阵迭代法矩阵迭代法Matrix Iteration第45页/共64页第44页/共64页对于多自由度体系，用柔度法得到的位移方程为：其中，和 为自振频率及其对应的主振型；M为质量矩阵；为柔度矩阵。令：则：其中，D D K-1M称为
26、动力矩阵。7.4 矩阵迭代法 1 基本模态迭代法基本模态迭代法第46页/共64页第45页/共64页通常 ，将 作为第二次近似值，重复上述步骤，得到新的归一化振型向量 ：若 ，则重复上述步骤，依次得到：直到相邻两次的标准化振型向量 与 十分接近时，迭代即可停止。这时得到的 就是第一主振型，而对应的 即为所求频率。假设一个振型 作为第一振型 的第一次近似，代入上式左边，即有其中，上横线表示归一化后的振型。第47页/共64页第46页/共64页例4：用迭代法求刚架的第一主振型和第一频率.解：求得动力矩阵：其中：设起始的标准化振型向量 为：第一次迭代，得归一化第48页/共64页第47页/共64页此时，与
27、 已经基本相等，迭代过程即可停止。由此可知，第一主振型为：第二次迭代，得重复此过程，第六次迭代，得对应的频率：第49页/共64页第48页/共64页收敛性的证明收敛性的证明收敛性的证明收敛性的证明将最初假设的标准化振型向量 按主振型展开：第一次迭代:由于：故有：为振型参与系数。第50页/共64页第49页/共64页第二次迭代：因此：重复上述过程，经过k次迭代后，有通常各阶频率是不相等的，且第51页/共64页第50页/共64页所以：当k为大数时，可认为：则 展开式中仅剩下i=1一项：可见，振型向量 最后收敛于第一主振型 。此外，由上式知，当k为大数时，有：可见，在迭代过程中，频率 最后收敛于基频 。
28、第52页/共64页第51页/共64页尽管在初设的标准化振型向量的展开式中包含了所有主振型的分量，但在迭代过程中，高阶主振型的分量逐渐衰减，最后总是收敛于第一主振型。如果在所设振型向量中第一主振型的分量为0（即振型参与系数为0），则结果收敛于第二主振型。如果前面p个主振型的分量都为0，则结果收敛于第p+1个主振型。如果在迭代过程中发生差错，则只会影响迭代过程，而不会影响最后结果。几点结论几点结论几点结论几点结论7.4 矩阵迭代法 1 基本模态迭代法基本模态迭代法第53页/共64页第52页/共64页而 为广义质量。采用迭代法求高阶主振型时，关键的一步是要在所设的振型向量中把低阶主振型的分量消除掉，
29、这个步骤叫做清型清型清型清型或滤型滤型滤型滤型。任一所设振型向量都可按主振型展开：其中：7.4 矩阵迭代法 2 高阶高阶模态迭代法模态迭代法第54页/共64页第53页/共64页如果从振型向量 中滤掉第一主振型，则余下的振型向量为：令：则：这里，将Q1称为一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵。也就是说，当任一振型向量y前乘以一阶滤型矩阵Q1时，其效果就是从中把一阶主振型分量滤掉。因此，若取 作为初始振型向量，则迭代的结果将得到第二主振型 。第55页/共64页第54页/共64页为了避免数值运算中由于舍入误差而导致的第一主振型分量的引入，在每次迭代之前都必须进行滤型。也可以把每次迭代运算
30、和滤型运算合并在一起进行。在求一阶主振型时，每次的迭代运算相当于左乘动力矩阵D。在求第二主振型时，还需要在每次迭代之后左乘一阶滤型矩阵Q1进行滤型。因此，将两个运算合并，每次迭代相当于左乘以下矩阵：上式即为求第二主振型时需用的经过滤型后的动力矩阵经过滤型后的动力矩阵经过滤型后的动力矩阵经过滤型后的动力矩阵。同理，可得求第p阶主振型时需用的经过滤型后的动力矩阵为：第56页/共64页第55页/共64页7 7.5 5Jacobi(雅可比)迭代迭代法法第57页/共64页第56页/共64页7 7.5 5 JacobiJacobi迭代法迭代法JacobiJacobi迭迭代代法法是是最最常常用用的的矩矩阵阵
31、特特征征值值问问题题分分析析方方法法之之一一，它它是是一一种种旋旋转转变变换换方方法法，通通过过正正交交相相似似变变换换把把矩矩阵阵化化为对角矩阵，从而得到原矩阵的特征值和特征向量。为对角矩阵，从而得到原矩阵的特征值和特征向量。由由矩矩阵阵分分析析理理论论可可知知，任任何何n n n n阶阶实实对对称称矩矩阵阵 A A，可可通通过过一一个个n n n n阶阶正正交交矩矩阵阵 P P，经经过过相相似似变变换换化化为为一一个个对对角阵角阵 ，即，即其其中中对对角角线线元元素素 i i(i i=1,2,=1,2,n n)为为矩矩阵阵 A A 的的特特征征值值，P P 的的各列为各列为 A A 的各特
32、征向量，即的各特征向量，即 P P 为特征向量矩阵。为特征向量矩阵。第58页/共64页第57页/共64页7 7.5 5 JacobiJacobi迭代法迭代法JacobiJacobi迭代法采用的旋转变换矩阵迭代法采用的旋转变换矩阵：n n n n阶正交变换矩阵阶正交变换矩阵 P P：第59页/共64页第58页/共64页7 7.5 5 JacobiJacobi迭代法迭代法经过一系列旋转变换后经过一系列旋转变换后，最后得到最后得到由此得由此得可可见见，P P 为为特特征征向向量量矩矩阵阵，而而 为为特特征征值值组组成成的的谱谱矩矩阵。阵。JacobiJacobi迭代法只能求解标准特征值问题，即迭代法
33、只能求解标准特征值问题，即JacobiJacobi迭迭代代法法中中的的每每一一次次旋旋转转变变换换的的物物理理意意义义是是对对结结构构的的各各自自由由度度进进行行解解耦耦。矩矩阵阵最最终终完完全全解解耦耦后后化化成了对角矩阵成了对角矩阵彻底解耦了彻底解耦了。第60页/共64页第59页/共64页7 7.6 6子空间迭代法子空间迭代法第61页/共64页第60页/共64页7 7.6 6 子空间迭代法子空间迭代法Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法法优优点点：能能使使问问题题降降阶阶，在在一一个个缩缩减减的的低低维维空空间间中中进进行行模模态态分分析析运运算算，同同时时获获得得一一组
34、组模模态态并并节节省省计计算算时时间。间。缺缺点点：计计算算精精度度受受假假设设振振型型影影响响严严重重，并并无无法法采采用用进进一一步步的的措措施施来来提提高高计计算算精精度度，以以使使计计算算结结果果进进一一步逼近结构的真实模态。步逼近结构的真实模态。矩阵矩阵迭代法迭代法优优点点：可可以以通通过过反反复复迭迭代代逐逐步步收收敛敛到到低低阶阶自自振振频频率率和和振振型；型；缺缺点点：需需要要在在N N阶阶(维维)空空间间进进行行反反复复的的迭迭代代运运算算，逐逐次次求求得得结结构构的的各各阶阶(低低阶阶)模模态态，另另一一个个缺缺点点是是高高高高阶自振频率的计算精度会快速降低阶自振频率的计算
35、精度会快速降低阶自振频率的计算精度会快速降低阶自振频率的计算精度会快速降低。第62页/共64页第61页/共64页7 7.6 6 子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法Rayleigh-Ritz法法用用矩矩矩矩阵阵阵阵迭迭迭迭代代代代法法法法通通过过迭迭代代使使计计算算的的自自振振频频率率和和振振型型逼逼近近于于真真实实值值；用用Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法法法法使使问问题题降降阶阶，在在一一个个缩缩减减的低维空间中进行模态分析运算，节省计算时间。的低维空间中进行模态分析运算，节省计算时间。子空间迭代法计算步骤：子空间迭代法计算步骤：首先给出一组假设振
36、型首先给出一组假设振型；使用使用矩阵迭代法使该组假设振型向真实解逼近；矩阵迭代法使该组假设振型向真实解逼近；再再使使用用Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法法获获得得体体系系的的一一组组振振型型和和自自振振频频率。率。若若第第步步计计算算后后不不满满足足精精度度要要求求，则则返返回回到到第第步步继继续进行迭代运算。续进行迭代运算。这这样样通通过过反反复复使使用用矩矩阵阵迭迭代代法法和和Rayleigh-RitzRayleigh-Ritz法法最最终终将将获得更高精度的结构体系的一组自振频率和振型。获得更高精度的结构体系的一组自振频率和振型。第63页/共64页第62页/共64页作业题：作业题：7.1 7.2(选作)第64页/共64页第63页/共64页