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1、进入2021/8/9 星期一12021/8/9 星期一2返回目录1.正整数指数幂：一个数正整数指数幂：一个数a的的n次幂等于次幂等于n个个a的乘积，记作的乘积，记作an.它的运算性质：它的运算性质：aman=；aman=(a0,mn)；(am)n=;(ab)n=;=(a0).2.n次方根的定义次方根的定义:如果如果xn=a,那么那么x叫做叫做 (其中其中n1,且且nN*).3.根式根式:形如形如 的式子叫做根式的式子叫做根式,这里这里n叫做叫做 ,叫做叫做被开方数被开方数.4.根式的性质根式的性质:(1)=;(2)=;（3）当）当n为偶数时，为偶数时，=；当；当n为奇数时，为奇数时，.am+n
2、am-namnanbna的的n次方根次方根0根指数根指数aaa2021/8/9 星期一3返回目录5.乘方与开方乘方与开方:求求a的的n次幂的运算叫做乘方运算次幂的运算叫做乘方运算;求求a的的n次方根的运算叫次方根的运算叫做开方运算做开方运算;乘方运算与开方运算互为乘方运算与开方运算互为 .6.整数指数幂整数指数幂:（1）一个实数的正整数指数幂的意义是）一个实数的正整数指数幂的意义是an=aaa(n个个aR,nN*，且，且n1).（2）一个非零实数的零次幂的意义是）一个非零实数的零次幂的意义是 (a0),但但00没有意义没有意义.（3）一个非零实数的负整数指数幂的意义是）一个非零实数的负整数指数
3、幂的意义是 (a0,nN*,n1),但但0-n(nN*)没有意义没有意义.7.分数指数幂分数指数幂:（1）正数的正分数指数幂的意义是）正数的正分数指数幂的意义是 (a0,m,nN*，且，且n1).逆运算逆运算2021/8/9 星期一4（2）正数的负分数指数幂的意义是）正数的负分数指数幂的意义是 (a0,m,nN*,且且n1).（3）0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂的负分数指数幂 .8.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质:如果如果a0,b0,r,sQ,那么那么aras=;(ar)s=;(ab)r=.9.根式的运算根式的运算,可以先把根式化成分数指数幂可以先把根式化
4、成分数指数幂,然后利用然后利用 的运算性质进行运算的运算性质进行运算.10.无理指数幂的含义无理指数幂的含义:如如 ,它是一个确定的实数它是一个确定的实数,可以看成由以可以看成由以 的的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理指数幂的值一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理指数幂的值 的结果的结果.返回目录 0 没有意义没有意义有理数指数幂有理数指数幂从两边无限逼近从两边无限逼近2021/8/9 星期一5返回目录学点一学点一 根式运算根式运算求下列各式的值求下列各式的值:(1);(2);(3)；（4）;2021/8/9 星期一6【分析】【分析】将根式化成分数指数幂的形式将根式
5、化成分数指数幂的形式,利用分数指数利用分数指数幂运算性质计算是根式运算中经常采用的方法幂运算性质计算是根式运算中经常采用的方法.返回目录【解析解析】(1)原式原式=34(3)=()=3=.(2)原式原式=(5 -5)5=5 5 -5 5 =5 -5=5 -5=.(3)原式原式=.2021/8/9 星期一7返回目录【评析】根式的运算一般化为分数指数幂的形式【评析】根式的运算一般化为分数指数幂的形式,由分由分数指数幂运算公式化简求值数指数幂运算公式化简求值.(4)原式原式=.2021/8/9 星期一8返回目录化简下列各式化简下列各式:(1);(2)(a0,b0);(3);(4).2021/8/9
6、星期一9返回目录2021/8/9 星期一10返回目录学点二学点二 分数指数幂的运算分数指数幂的运算计算下列各式：计算下列各式：（1）;(2);(3).2021/8/9 星期一11返回目录【分析】【分析】负化正，大化小，根式化分数指数幂，小数化分数，负化正，大化小，根式化分数指数幂，小数化分数，是简化运算的常用技巧是简化运算的常用技巧.【解析】【解析】（1）原式）原式=73 -3(323)-23(3-2)+(3 )=73 -33 2-233 +(3 )=73 -63 -23 +3 =0.（2）原式）原式=(0.5)4 -(-21)2(-2)4+-(3102)=2-64+20+10 -10 =-4
7、2.(3)原式原式=.【评析】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为【评析】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运分数指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的算，以达到化繁为简的目的.2021/8/9 星期一12返回目录计算下列各式：计算下列各式：(1);(2);(3).2021/8/9 星期一13返回目录(1)原式原式=(2)原式原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=+.2021/8/9 星期一14返回目录学点三学点三 求值问题求值问题已知已知a+a
8、=3，求下列各式的值：，求下列各式的值：（1）a+a-1;(2)a2+a ;(3).【分析】【分析】从已知条件中解出从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件 a +a =3的联系，进而整体代入求值的联系，进而整体代入求值.2021/8/9 星期一15【评析】对【评析】对“条件求值条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取然后采取“整体代换整体代换”或或“求值后代换求值后代换”两种方法求值两种方法求值.【解析】【解析】（1）将将a +a =
9、3两边平方，得两边平方，得a+a-1+2=9,即即a+a-1=7.（2）将上式平方，有）将上式平方，有a2+a-2+2=49.a2+a-2=47.（3）由于）由于a -a =(a)3-(a )3,=a+a-1+1=7+1=8.返回目录2021/8/9 星期一16返回目录（1）已知）已知x +x =3,求求 的值；的值；（2）已知）已知2a+2-a=3,求求8a+8-a；（3）已知）已知a2x=+1,求求 的值的值.2021/8/9 星期一17返回目录（1）由由x +x =3得得x+x-1+2=9,即即x+x-1=7.x2+x-2+2=49,则则x2+x-2-2=45.又又x +x -3=(x
10、+x )(x+x-1-1)-3=3(7-1)-3=15,=3.（2）8a+8-a=(2a)3+(2-a)3=(2a+2-a)(22a+2-2a-1)=3(2a+2-a)2-3=3(32-3)=18.2021/8/9 星期一18返回目录（3）=a2x+a-2x-1 =+1+-1 =+1+-1-1 =2 -1.2021/8/9 星期一19返回目录学点四学点四 化化 简简化简下列各式：化简下列各式：（1）(x-1+x+x0)(x x );（2）【分析】【分析】抓住题中各式的结构特点，可分别用立方差抓住题中各式的结构特点，可分别用立方差和立方和公式化简和立方和公式化简.2021/8/9 星期一20返回
11、目录【解析解析】（1）原式）原式=.（2）原式）原式 【评析】解题时【评析】解题时,要注意从整体上把握代数式的结构特点，要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简先化简,后计算后计算.2021/8/9 星期一21返回目录化简下列各式：化简下列各式：（1）;（2）;（3）2021/8/9 星期一22返回目录(1)解法一解法一：化去负指数后解：化去负指数后解.原式原式=解法二解法二：利用运算性质解：利用运算性质解.原式原式=解法三解法三：利用倒数的性质解：利用倒数的性质解.原式原式（2）原式）原式（3）原式）原式=2(-6)(-3)=4a2021/8/9 星期一23返回目录2.2.在进行指数幂运算
12、时在进行指数幂运算时,应注意什么问题应注意什么问题?(1)化简要求同初中要求化简要求同初中要求,注意结果形式的统一注意结果形式的统一,即结果不能同时含有根即结果不能同时含有根式和分数指数式和分数指数,也不能既有分母也不能既有分母,又含有负分数又含有负分数.(2)一般地一般地,进行指数幂运算时进行指数幂运算时,化负指数为正指数化负指数为正指数,化根式为分数指数幂化根式为分数指数幂,化小数为分数化小数为分数,化底数为指数等化底数为指数等,便于进行乘、除、乘方、开方运算，以便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的达到化繁为简的目的.1.1.怎样才能更好的学好指数及运算怎样才能更好的学好指
13、数及运算?(1)先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算.对于指数幂对于指数幂an,当指数当指数n扩大到有理数时扩大到有理数时,要注意底数要注意底数a的变化范围的变化范围.如当如当n=0时时,底数底数a0;当当n为为负整数指数时负整数指数时,底数底数a0;当当n为分数时为分数时,底数底数a0.(2)学习本学案内容要结合对比法学习本学案内容要结合对比法,揭示其内涵与外延及其与旧概念的揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，要掌握解题技巧，如运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，要掌握解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法
14、凑完全平方、寻求同底幂等方法.2021/8/9 星期一24返回目录1.1.正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是和、差的形式和、差的形式.防止出现防止出现“a“am m+a+an n=a=am+nm+n”“a”“am m-b-bn n=a=am-nm-n”等错误等错误.关于关于n n次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根的推广的推广,根号根号 也可以认为是由平方根号也可以认为是由平方根号 、立方根号、立方根号 推广而来的推广而来的.理解理解n n次方根的意义时，要把次方根的意义时，要
15、把n n按奇偶分类，并且按奇偶分类，并且在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是（类比立方根）是一个负数，零的奇次方根是（类比立方根）;正数的偶次正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，零的偶次方根是零，即当零的偶次方根是零，即当n n为正偶数时，为正偶数时，nana有意义的条件是有意义的条件是a0(a0(类比平方根类比平方根).).2021/8/9 星期一25返回目录.关于关于 及根式的性质要理解好以下几点：及根式的性质要理解好
16、以下几点：(1)nN,(1)nN,且且n0.n0.(2)(2)当当n n为奇数时，为奇数时，对任意对任意aRaR都有意义，并且表示都有意义，并且表示a a在在实数范围内的唯一的一个实数范围内的唯一的一个n n次方根次方根.即即()()n n=a.=a.(3)(3)当当n n为偶数时，为偶数时，只有当只有当a0a0时才有意义，时才有意义，(a0)(a0)表示表示a a在实数范围内的一个正的在实数范围内的一个正的n n次方根，也叫次方根，也叫n n次算术根，次算术根，但但a a还有另一个负的还有另一个负的n n次方根是次方根是-，即，即()()n n=a.=a.(4)()(4)()n n与与 的意
17、义不同的意义不同.对任意对任意aRaR都有意义，都有意义，当当n n为奇数时，为奇数时，=a;=a;当当n n为偶数时，为偶数时，=|a|=|a|=2021/8/9 星期一264.4.根式的化简与计算：根式的化简与计算：(1)(1)化简根式的过程类似于化简二次根式化简根式的过程类似于化简二次根式.注意运用根式注意运用根式的性质和乘法公式、提取或合并同类根式、分母有理化、的性质和乘法公式、提取或合并同类根式、分母有理化、并且应化为最简根式并且应化为最简根式.(2)(2)根式的计算应在化简后进行，要结合根式的性质分根式的计算应在化简后进行，要结合根式的性质分清奇次根式和偶次根式清奇次根式和偶次根式
18、.当根号不能去掉时，一般保留当根号不能去掉时，一般保留根号，如果需要去掉根号，可用计算器求出近似值根号，如果需要去掉根号，可用计算器求出近似值.5.a5.an n（nZnZ）的意义，不能简单地理解成）的意义，不能简单地理解成n n个个a a相乘，应相乘，应分清分清n n是正整数、零还是负整数，若是正整数、零还是负整数，若n0n0，则，则a0a0，否，否则则a an n没有意义没有意义.返回目录2021/8/9 星期一27返回目录6.6.的意义，不能理解为的意义，不能理解为 个个a a相乘，它是根式的一相乘，它是根式的一种新的写法，在规定种新的写法，在规定 =和和7.7.(a0,m,nN,n1)
19、(a0,m,nN,n1)后，根式和分数指数幂可以互后，根式和分数指数幂可以互化，它们表示相同意义的量化，它们表示相同意义的量.7.a7.an n(nQ)(nQ)的意义，应按有理数的意义，应按有理数n n分类理解，随着分类理解，随着n n的的范围由正整数范围到整数范围到有理数范围的不范围由正整数范围到整数范围到有理数范围的不断扩大，底数断扩大，底数a a的范围也在不断地缩小，但对于的范围也在不断地缩小，但对于a0a0时，时，a an n都有意义，对于都有意义，对于a=0a=0时，时，n n不能为不能为0 0、负、负整数、负分数，否则没有意义整数、负分数，否则没有意义.8.8.有理指数幂的运算性质是积、商、幂的形式有理指数幂的运算性质是积、商、幂的形式.而不而不是和、差的形式，并且把正整数指数幂的五条运是和、差的形式，并且把正整数指数幂的五条运算性质推广到有理指数幂算性质推广到有理指数幂.2021/8/9 星期一28祝同学们学习上天天有进步！2021/8/9 星期一29