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1、第一课时第一课时 2.4 2.4 等比数列等比数列2021/8/9 星期一1问题提出问题提出问题问题1.什么叫等差数列？其递推公式是什什么叫等差数列？其递推公式是什么？么？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列于同一个常数的数列称为等差数列.2021/8/9 星期一2知识探究（一）：知识探究（一）：等比数列的基本概念等比数列的基本概念 1 1，2 2，4 4，8 8，.思考思考1 1：如图是某种细胞分裂的模型，那如图是某种细胞分裂的模型，那么这种细胞每次分裂的个数组成的数列么这种细胞每次分裂的个数组成的数列为为2021/8/9
2、星期一3思考思考2 2：我国古代学者提出：我国古代学者提出：“一尺之一尺之棰，日取其半，万世不竭棰，日取其半，万世不竭.”.”即一尺长即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完的木棒，每日取其一半，永远也取不完.那么每日取得的木棒的长度构成的数列那么每日取得的木棒的长度构成的数列为为1，.2021/8/9 星期一4思考思考3 3：一种计算机病毒通过邮件进行传一种计算机病毒通过邮件进行传播，如果把病毒制造者发送病毒称为第播，如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推依此类推.假设每一轮每台计算机都感染假设每一轮每台计算机都感染2
3、020台计算机，那么在不重复的情况下，台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列为数列为 1 1，2020，20202 2，20203 3，.2021/8/9 星期一5思考思考4 4：“复利复利”也是银行支付利息的一也是银行支付利息的一种方式，按照复利计算本利和的公式是：种方式，按照复利计算本利和的公式是：本利和本金本利和本金（1 1利率）利率）存期存期.现在存现在存入银行入银行10001000元钱，年利率是元钱，年利率是1.98%1.98%，那么，那么按照复利，按照复利，5 5年内各年末得到的本利和构年内各年末得到的本利和构成的数
4、列为成的数列为 10001.019810001.0198，10001.019810001.01982 2，10001.019810001.01983 3，10001.019810001.01984 4，10001.019810001.01985 5，2021/8/9 星期一6问题问题2 2：上述上述4 4个数列各有什么特点？这个数列各有什么特点？这4 4 个数列有什么共同特点？个数列有什么共同特点？共同特点：从第共同特点：从第2 2项起，每一项与其前项起，每一项与其前一项的比都等于同一个常数一项的比都等于同一个常数.2021/8/9 星期一7 如果一个数列从第如果一个数列从第 _项起，每一项与
5、它项起，每一项与它的前一项的的前一项的 _ _等于等于 _ _一个常数，那么这个一个常数，那么这个数列就叫做数列就叫做 这个常数叫做等这个常数叫做等 数数列列的的 _ _1.等比数列定义：等比数列定义：二二比比同同等比数列等比数列公比公比等差数列定义等差数列定义 如果一个数列从第如果一个数列从第二二项起，每一项与它项起，每一项与它的前一项的的前一项的差差等于等于同同一个常数一个常数,那么这个数那么这个数列就叫做列就叫做等差数列等差数列.这个常数叫做等这个常数叫做等差差数数列列的的公差公差公差公差通常用字母通常用字母d d表示表示公比公比通常用字母通常用字母q q表示表示比比2021/8/9 星
6、期一8 等比数列等比数列 由于等比数列的每一由于等比数列的每一项都有可能作分母，项都有可能作分母，故故a a 1 1 0 0 且且 q 0 q 0等差数列等差数列 由于等差数列是由于等差数列是作差作差 故故a a 1 1 d d 没有没有要求要求 判断数列是等差数列的方法判断数列是等差数列的方法判断数列是等比数列的方法判断数列是等比数列的方法或或 a an n+1+1-a an n=d(n1)=d(n1)an an-1=d(n2)2021/8/9 星期一9知识探究（二）：知识探究（二）：等比数列的通项公式等比数列的通项公式（1 1）a an n=（2 2）a an n=（3 3）a an n=
7、（4 4）a an n=思考思考1 1：下面四个等比数列的通项公式分下面四个等比数列的通项公式分别是什么？别是什么？（1 1）1 1，2 2，4 4，8 8，.（2 2）1 1，.（3 3）1 1，2020，20202 2，20203 3，.（4 4）10001.019810001.0198，10001.019810001.01982 2，10001.019810001.01983 3，10001.019810001.01984 4，2021/8/9 星期一10 等比数列等比数列通项公式推导通项公式推导:等差数列等差数列通项公式推导通项公式推导:设公差为设公差为 d 的的等差数列等差数列 a
8、n，则有，则有:n1个个a 2 a 1=da 3 a 2=da 4 a 3=d a n a n 1=d+)a n a 1=(n1)d (n2）等差数列等差数列 a n 的首项为的首项为 a 1，公差为公差为 d 的通项公式为的通项公式为 设公比为设公比为 q的等比数列的等比数列 a n，则有，则有:)n1个个qqq首项为首项为 a 1，公比为，公比为 q 的等比数的等比数列的通项公式：列的通项公式：(n2）2021/8/9 星期一11 等比数列等比数列 等差数列等差数列 常数列都是等差数列常数列都是等差数列但常数列却不一定但常数列却不一定是等比数列，是等比数列，如如0，0，0，0，等差数列等差
9、数列通项公式通项公式:等比数列通项公式等比数列通项公式:首项为首项为 a 1，公差为，公差为 d 的通项公式为的通项公式为首项为首项为 a 1，公比为，公比为 q 的的 的通项公式：的通项公式：2021/8/9 星期一12问题问题3 3：将等比数列的通项公式看作是一将等比数列的通项公式看作是一个关于个关于n n的函数，这是一个什么类型的函的函数，这是一个什么类型的函数？数？图象特点：图象特点：形如指数函数上的一些规律的点形如指数函数上的一些规律的点2021/8/9 星期一13理论迁移理论迁移 例例1 1某种放射性物质不断变化为其他某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的物质是原来的物
10、质，每经过一年剩留的物质是原来的84%84%，这种物质的半衰期为多长（放射性，这种物质的半衰期为多长（放射性物质衰变到原来的一半所需的时间称为物质衰变到原来的一半所需的时间称为半衰期，精确到半衰期，精确到1 1年）？年）？半衰期约半衰期约4 4年年2021/8/9 星期一14 例例2 2 根据下列程序框图，根据下列程序框图，写出所打印数列的前写出所打印数列的前5 5项，项，并建立数列的递推公式，并建立数列的递推公式，求出其通项公式求出其通项公式.开始开始输出输出An=n+1n=1A=0.5AA=0.5An6n6？否否结束结束是是A=12021/8/9 星期一15 例例3 3 一个等比数列的第一
11、个等比数列的第3 3项和第项和第4 4项分项分别是别是1212和和1818，求它的第，求它的第1 1项和第项和第2 2项项.2021/8/9 星期一16小结作业小结作业1 1.等比数列的基本特征可理解为：从等比数列的基本特征可理解为：从 第第2 2项起，每一项与它的前一项的比都项起，每一项与它的前一项的比都 相等，并且可以用两种递推公式来描述相等，并且可以用两种递推公式来描述.2.2.等比数列的通项公式是由其定义推导等比数列的通项公式是由其定义推导出来的，确定一个等比数列需要两个独出来的，确定一个等比数列需要两个独立条件立条件.2021/8/9 星期一173.3.等比数列与等差数列是两个并列概念，等比数列与等差数列是两个并列概念，但二者有很大的差异，根据等比数列的但二者有很大的差异，根据等比数列的定义和通项公式还可发掘出许多性质，定义和通项公式还可发掘出许多性质，具体内容待后探究具体内容待后探究.2021/8/9 星期一18作业作业作业本作业本 等比数列（一）等比数列（一）2021/8/9 星期一19