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1、第二章第二章数列数列2.4.1等比数列 普通高中课程标准试验教材 数学必修52021/8/9 星期一1 从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植杂年在我国累计推广种植杂交水稻交水稻35亿多亩，增产稻谷亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增亿公斤。年增稻谷可养活稻谷可养活6000万人口。万人口。西方世界称他的杂交西方世界称他的杂交稻是稻是“东方魔稻东方魔稻”，并认为是解决下个世纪世，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。界性饥饿问题的法宝。世界杂交水稻之父袁隆平2021/8/9 星期一2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代出第一代120120粒种子
2、，并且从第一代起，由粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的的120120粒种子，粒种子，用第一代的用第一代的120粒种子可以粒种子可以繁殖出第二代繁殖出第二代120120粒种子，用第二代的粒种子，用第二代的120120粒种子可以繁殖出第三代粒种子可以繁殖出第三代120120120粒种子粒种子，2021/8/9 星期一3探究：探究：情境情境1：某种细胞分裂的模型：某种细胞分裂的模型.细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：1，2，4，8，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写将每次分裂后细胞的个
3、数写成一个数列，你能写出这个数列吗？出这个数列吗？2021/8/9 星期一4情境情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是这是庄子庄子天下篇天下篇中的一个论述，用现代语言叙述：中的一个论述，用现代语言叙述：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。这样，一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之一尺之棰棰”看成单位看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢，那么得到的数列是什么样的呢？2021/8/9 星期一5情境情境3：计算机病毒传播问题：计算机病毒传播问题.一种计算机
4、病毒，可以查找计算机中的地址簿，一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推推.假设每一轮每一台计算机都感染假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机台计算机,那么那么在不重复的情况下在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢个什么样的数列呢?1，20，202，203，204，2021/8/9 星期一6情境情境4：银行存款利息问题：银行存款利息问题.“复利复利”是我国现行定
5、期储蓄中的一种支付利息的是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利利滚利”.我国我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的。计算本利和的公式为：利息的。计算本利和的公式为：本利和本利和=本金本金(1+年利率年利率)n，这里，这里n为存期为存期.例如：现在存入银行例如：现在存入银行10000元钱，年利率是元钱，年利率是1.98%，那么按照复利计算，那么按照复利计算，5年内各
6、年末的本利和年内各年末的本利和(单位：元单位：元)组成了什么样数列？组成了什么样数列？各年末本利和各年末本利和(单位：元单位：元)组成了下面数列：组成了下面数列：100001.0198，100001.01982，100001.01983，100001.01984，100001.01985.2021/8/9 星期一7说出这些数列的特点说出这些数列的特点想一想想一想 1，2，4，8，1，20，202，203，204，共同特点：从第二项起，每一项与前一共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数项的比都等于同一个常数.100001.0198，100001.01982，100001.019
7、83，100001.01984，100001.01985.2021/8/9 星期一8一般地，如果把一个数列从第一般地，如果把一个数列从第2项起，每一项与它前项起，每一项与它前一项的一项的比比等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做等比数列等比数列(geometricsequence)。这个常数叫做等比数列的公比。这个常数叫做等比数列的公比(commonratio)，公比通常用字母，公比通常用字母q表示表示(q0)。问题问题1：为什么为什么q0？符号语言：对于数列符号语言：对于数列若若，则这个数列叫做等比数列。常数，则这个数列叫做等比数列。常数q(q0)叫做等比数叫做等比
8、数列的公比。列的公比。等比数列的概念：等比数列的概念：2021/8/9 星期一9问题问题2：等比数列与等差数列在定义上有许多密等比数列与等差数列在定义上有许多密切关系，那有没有这样的数列，它既是等差数列切关系，那有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列？又是等比数列？问题问题3：数列数列a,a,a,a,(aR)是否为等比数列？是否为等比数列？如果是如果是,a必须满足什么条件？必须满足什么条件？(1)a0;它只是等差数列。它只是等差数列。(2)a0;它既是等差数列又是等比数列。它既是等差数列又是等比数列。等比数列的概念：等比数列的概念：一般地，如果把一个数列从第一般地，如果把一个数列从第2项
9、起，每一项与它前项起，每一项与它前一项的一项的比比等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做等比数列等比数列(geometricsequence)。这个常数叫做等比数列的公比。这个常数叫做等比数列的公比(commonratio)，公比通常用字母，公比通常用字母q表示表示(q0)。2021/8/9 星期一10注：对定义的认识注：对定义的认识1.等比数列的首项不为等比数列的首项不为0,即a10。2.等比数列的每一项都不为等比数列的每一项都不为0，即，即an0。3.公比不为公比不为0，即，即q0。公比公比q一定是由后一定是由后项除以前项所得，而不能用前项除以后项项除以前项所得，
10、而不能用前项除以后项来求。来求。2021/8/9 星期一11问：如何用问：如何用a1和和q表示第表示第n项项an其中，其中，a1与与q均不为均不为0。由于当。由于当n=1时上面等式两边均为时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当即等式也成立，说明上面公式当nN*时都成立，因此它时都成立，因此它就是等比数列就是等比数列an的通项公式。的通项公式。这这n-1个式子相乘得个式子相乘得an/a1=qn-1所以所以 an=a1qn-12.迭乘法（累乘法）迭乘法（累乘法）a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 an=a1qn-1等比数列的通项公式等比数列的通项公式共共n
11、1 项项1.2021/8/9 星期一12等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：an=a1qn-1 （nN,q0）特别地，等比数列an中，a10,q02021/8/9 星期一13探究：探究：在直角坐标系中，画出通项公式为在直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n1 的数列的图像和函数的数列的图像和函数y=2x-1 的图的图像，你发现了什么？像，你发现了什么？若等比数列若等比数列an的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则用通项公式表示是：则用通项公式表示是：an=2 n1xy02021/8/9 星期一14探究：探究：类似地，在同一直角直角坐标系类似地，在同一直角直角坐标系中，画出通项公式为
12、中，画出通项公式为的数列的数列的图像和函数的图像和函数 的图像，你发现的图像，你发现了什么？了什么？xy02021/8/9 星期一15例例1 1、若一个等比数列首项若一个等比数列首项a a1 1=1=1，a a3 3=4,=4,求这个等比求这个等比数列的公比数列的公比q q应用应用例例2 2一个等比数列的第项和第项分别是一个等比数列的第项和第项分别是1212和和1818，求它的第项和第项，求它的第项和第项(分析：要求第项和第项，必先求公比分析：要求第项和第项，必先求公比q.可利用方程的思想进行求解。可利用方程的思想进行求解。)2021/8/9 星期一16 例例3 3某种放射性物质不断变化为其他
13、物质，每某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的经过一年，剩留的这种物质是原来的8484，这种物质的半衰期为多长这种物质的半衰期为多长(精确到精确到1 1年年)？应用应用 解：解：设这设这种物种物质质最初的最初的质质量是量是1，经过经过n年，剩年，剩留量是留量是 .由条件可得，数列由条件可得，数列是一个等比数是一个等比数列，其中列，其中，则则两两边边取取对对数，得数，得用用计计算器算得算器算得 答：答：这这种物种物质质的半衰期大的半衰期大约为约为4 4年。年。设设2021/8/9 星期一17，练习2课堂练习课堂练习2021/8/9 星期一18数数列列等等差差数数列列等等比比数数列列定定义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式 an+1-an=dd 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1等差数列与等比数列的等差数列与等比数列的对比比课堂小节课堂小节1.等比数列的定义等比数列的定义.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式.2021/8/9 星期一19