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1、对数数2021/8/9 星期一1 对对数数的的创创始始人人是是苏苏格格兰兰数数学学家家纳纳皮皮尔尔（Napier，1550年年1617年年）。他他发发明明了了供供天天文文计计算算作作参参考考的的对对数数，并并于于1614年年在在爱爱丁丁堡堡出出版版了了奇奇妙妙的的对对数数定定律律说说明明书书，公公布布了了他他的的发发明明。恩恩格格斯斯把把对对数数的的发发明明与与解解析析几几何何的的创创始始，微微积积分分的的建建立立并并称称为为17世世纪纪数数学学的的三大成就。三大成就。2021/8/9 星期一2引入：引入：假若我国国民经济生产总值平均每年增长假若我国国民经济生产总值平均每年增长8%，则经过多少
2、年国民生产总值是现在的两倍？，则经过多少年国民生产总值是现在的两倍？设：经过设：经过x年国民生产总值是现在的两倍，年国民生产总值是现在的两倍，现在的国民生产总值是现在的国民生产总值是a.根据题意得：根据题意得：即即：如何来计算这里的如何来计算这里的x?这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式ab=N 中，已知a和N求b的问题。（这里 a0且a1）2021/8/9 星期一3其中其中a叫做对数的底数叫做对数的底数,N叫做真数。叫做真数。1.对数的定义：对数的定义：一般地，如果一般地，如果a(a 0,a 1)的的b次幂次幂等于等于N，二、新课二、新课就是就是 那么数那么数b叫做以叫做以a为底为底
3、N的对数，的对数，记作记作:2021/8/9 星期一4 对数定义中为什么规定（对数定义中为什么规定（对数定义中为什么规定（对数定义中为什么规定（a0a0且且且且a1a1）呢？）呢？）呢？）呢？若a0且a12021/8/9 星期一5底数底数幂幂真数真数指数指数对数对数2021/8/9 星期一6在指数式中 N 0（负数与零没有对数）对任意a0 且a1,loga1=0logaa=1 logaab=b如果把 ab=N中的 b写成logaN,则有 （对数恒等式）注注:2021/8/9 星期一7常用对数：以常用对数：以10为底的对数为底的对数.并把并把 简记作简记作lg N。一般对数的两个特例：一般对数的
4、两个特例：自然对数：以无理数自然对数：以无理数e=2.71828为底的为底的 对数，并把对数，并把 简记作简记作lnN。2021/8/9 星期一8例例1将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式：解：解：(1)2021/8/9 星期一9例例2将下列对数式写成指数式将下列对数式写成指数式：（1）（2）（3）（4）解：解：(1)2021/8/9 星期一10例例3求下列各式的值：求下列各式的值：例例4.计算：计算：n(1)log525 (2)log0.412021/8/9 星期一11例例5.已知已知则则例例6.求下列各式中的求下列各式中的x注注：在在 ab =N 中中,1)已知已知a,b,求求N
5、 2)已知已知b,N,求求a 3)已知已知a,N,求求b乘方乘方运算运算开方开方运算运算对数对数运算运算2021/8/9 星期一12 小结小结：(1)对数的定义；对数的定义；(2)指数式和对数式的互换；指数式和对数式的互换；(3)求值。求值。2021/8/9 星期一13思考题：思考题：(1)对数式对数式中中x的取值范围是的取值范围是_(2)若若log5log3(log2x)=1，x=_2021/8/9 星期一14 复习回顾：复习回顾：1 对数的定义对数的定义loga N=b 其中其中 a 与与 N的取值的取值范围。范围。2 指数式与对数式的互化，及几个重要公式。指数式与对数式的互化，及几个重要
6、公式。3 指数运算法则指数运算法则（积、商、幂、方根）（积、商、幂、方根）2021/8/9 星期一15一、积、商、幂、方根的对数一、积、商、幂、方根的对数如果 a0,a 1,M0,N0有：2021/8/9 星期一16n证明：设logaM=P,logaN=q由对数的定义得：M=aP,N=aq MN=aPaq=aP+q再由对数定义得logaMN=P+q,即证得logaMN=logaM+logaN2021/8/9 星期一17证明：设logaM=p,logan=q,则(a p=M,a q=N)即：2021/8/9 星期一18证明：设logaM=P由对数定义得M=aP,Mn=（aP）nanP再由对数定义
7、得logmmn=nP即证得logamn=nlogaMn评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质2021/8/9 星期一191语言表达：“积的对数=对数的和”（简易表达记忆用）2注意有时必须逆向运算：如3注意定义域：是不成立的是不成立的4当心记忆错误：注：注：2021/8/9 星期一20例：1计算：解：原式2021/8/9 星期一211已知 3a=2用 a表示 log34 log36解：3 a=2 a=log32 log34 log36例：22021/8/9 星期一222已知 log32=a,3b=5用 a,b表示 解：3b=5b=log35又l
8、og32=a =2021/8/9 星期一233计算：log155log1545+(log153)2解一：原式=log155(log153+1)+(log153)2=log155+log153(log155+log153)=log155+log153log1515=log155+log153=log1515解二：原式=(1-log153)(1+log153)+(log153)2=1-(log153)2+(log153)2=12021/8/9 星期一24二、对数的运算的前提条件是二、对数的运算的前提条件是“同底同底”，如果底不同怎么办？，如果底不同怎么办？一、换底公式：(a0,a 1)证：设 lo
9、gaN=x,则 ax=N两边取以 m为底的对数：从而得：2021/8/9 星期一25两个较为常用的推论：1 2 （a,b0且均不为1）证：1 2 2021/8/9 星期一26例1、计算：1 2 解：1 原式=2 原式=2021/8/9 星期一27例2、已知 log189=a,18b=5,求 log3645（用 a,b表示）解：log189=a log182=1 a 18 b =5 log 18 5=b 2021/8/9 星期一28例3、设 3x=4y=6z=t1求证：证：3x=4y=6z=t1 2021/8/9 星期一29例4、若log83=p,log35=q,求 lg 5解：log83=p又 2021/8/9 星期一30例5、计算：解：原式2021/8/9 星期一31例6、若 求 m解：由题意：2021/8/9 星期一322021/8/9 星期一33