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1、人教人教A A版高中数学版高中数学选修修2-22-22021/8/9 星期一1综合法和分析法综合法和分析法2021/8/9 星期一2通过前面的学习我们直到，合情推理多得出的结论我们需要加以证明，这正是数学区别于其他科学的显著特点。数学结论的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法直接直接证明明2021/8/9 星期一31.直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法综合法(synthetical methed)(synthetical methed)：所谓综
2、合法，是指：所谓综合法，是指“由因导果由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法展开思考，去探索结论的方法 综合法的可概括为下面形式：PQ1Q2Q3Q1Q2QnQ2021/8/9 星期一4例例1已知已知a,b,0,求证：求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc证明：证明：b2+c22bc,a0a(b2+c2)2abc同理同理,c2+a22ac,b0b(a2+c2)2abc a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc2021/8/9 星期一5练习1:已知AD是BAC的平分线,DECA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE
3、 分析：分析：综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,适宜于表述 321EACBDFAD平分BACDECA已知1=22=3已知11=3已知2DE=AE结论2021/8/9 星期一6例2 在ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a,b,c,且A,B,D成等差数列,a、b、c成等比数列.求证：ABC为等边三角形.ABC2021/8/9 星期一7练习 如图所示,ABC在平面外,ABP,BCQ,AC=R,求证：P、Q、R三点共线分析：P、Q、R，P、Q、R平面ABC则P、Q、R是两平面的交线你会证明吗？2021/8/9 星期一8在解决实际问题时，经常要先作语言的变换文字语言文字语言图形
4、语言图形语言符号语言符号语言然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来2021/8/9 星期一9分析法分析法(analytical methed)(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法 QP1P2P3P1P2得到一个明显成立的条件练习1:已知AD是BAC的平分线,DECA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE 321EACBDF2021/8/9 星期一10分析：分析：AD平分BACDECA只需证1=22=3只需证1=3只需证DE=AE要证2021/8/9 星期一11例3 如图所示：SA平面ABC,ABBC,
5、过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证：AFSC分析：本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法，2021/8/9 星期一12证明：要证：AFSC只需证：SC平面AEF只需证：AESC ()只需证：AE平面SBC ()只需证：AEBC只需证：BC平面SAB只需证：BCSA （)由SA平面ABC可知上式成立AFSCSC平面AEFAE平面SBCBC平面SAB2021/8/9 星期一13练习 设a,b,c为一个三角形的三边，s=(a+b+c)/2,且s2=2ab.求证：s2as2as=(a+b+c)/2b+c3as
6、2=2abbss=(a+b+c)/22b2s=a+b+cba+b2021/8/9 星期一141.由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述 2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的没有分析就没有综合；没有综合也没有分析问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它 说明2021/8/9 星期一15分析：证明式中没有,因
7、此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切2021/8/9 星期一161.综合法：综合法：(sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2（二倍角公式）（二倍角公式）2021/8/9 星期一172.分析法：分析法：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要证：要证：只要证：只要证：2(cos2sin2)cos2-sin2只要证：只要证：只要证：只要证：4sin2-2sin21(sin+cos)2-2sincos1只要证：只要证：这是三角函数的基本性质这是三角函数的基本性质2021/8/9 星期一18综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式PQ1Q2.QnQQP1P2.PnP关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的PQ1Q2.Qn QPn.P2 P1P2021/8/9 星期一19