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1、3.5导数及其应用-小结2021/8/9 星期一1教学教学 目标目标【知能目标知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。念。2、熟记基本导数公式：、熟记基本导数公式：xm(m为有理数为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求
2、导法则，会求某些简单函数的导数。则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题；会求一些实际问题(一一般指单峰函数般指单峰函数)的最大值和最小值。的最大值和最小值。2021/8/9 星期一2教学方法教学方法 1.采用采用“学案导学学案导学”方式进行教学。方式进行教学。2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。学方法的综合运用。教
3、学流程教学流程：独立完成基础回顾，合作交流纠：独立完成基础回顾，合作交流纠错错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评生出现的问题有针对性的讲评.教学重点和难点教学重点和难点教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用区间、极值、最值、证明中的应用2021/8/9 星期一3第三章 导数及其应用 2021/8/9 星期一4微积分主
4、要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。2021/8/9 星期一53.5.1变化率问题问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?2021/8/9 星期一6我们来分析一下:气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数
5、,那么当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为显然显然0.620.162021/8/9 星期一7思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2021/8/9 星期一8问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算请计算2021/8/9 星期一9请计算2021/8/9 星期一10平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在
6、这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。2021/8/9 星期一11平均变化率定义:若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子 表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2021/8/9 星期一12 思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线直线AB的斜的斜率率2021/8/9 星期一13做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的
7、图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x D2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x 2021/8/9 星期一14小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率2021/8/9 星期一15练习：过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.K=3x+(x)2=3+30.1+(0.1)2=3.312021/8/9 星期一163.5.2 导数的概念在高台跳水
8、运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?2021/8/9 星期一17如何求（比如，如何求（比如，t t=2=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势：当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?2021/8/9 星期一18瞬时速度?我们用 表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度趋于确定值-
9、13.1”.那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?2021/8/9 星期一19导数的定义:从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:2021/8/9 星期一20应用：例例1 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其其中位中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.2021/8/9 星期一21解解:(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上
10、式，得:(2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得:即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于20(m/s).当时间间隔当时间间隔t 逐渐变小时逐渐变小时,平均速度就越接平均速度就越接近近t0=2(s)时的时的瞬时速度瞬时速度v=20(m/s).2021/8/9 星期一22应用：例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第2（h)和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。关键是求出：它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0
11、C/H的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。2021/8/9 星期一23应用：例3质量为kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，（）求运动开始后s时物体的瞬时速度；（）求运动开始后s时物体的动能。2021/8/9 星期一24练习:求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求再求2021/8/9 星期一25小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量s=s(t+t)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限1由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限2021/8/9 星期一26再见2021/8/9 星期一27