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1、导导 数数 的的 应应 用用2021/8/9 星期一1知识与技能:1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间a，b上的最大（小）值；2利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。过程与方法:1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间a，b上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯 2021/8/9 星期一2一、知识点一、知识点1导数应用的知识网络结构图：导
2、数应用的知识网络结构图：2021/8/9 星期一3重点导析：一、曲线的切线及函数的单调性曲线的切线及函数的单调性 为减函数。1.设函数在某个区间内可导，若，则在该区间上是增函数；若，则2021/8/9 星期一4把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；确定 在各个小开区间内的符号，根据 的符号判定函数 在每个小开区间内的增减性。2.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数 的定义域区间；求，令，解此方程，求出它在定义域区间内的一切实根；2021/8/9 星期一5题型一：题型一：利用导数求切线斜率、瞬时速
3、度利用导数求切线斜率、瞬时速度 解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.例1 求垂直于直线，且与曲线相切的直线方程.2021/8/9 星期一6题型二题型二：求函数的单调区间：求函数的单调区间.分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内确定其导数为正值与负值的区间.例2试确定函数的单调区间.2021/8/9 星期一7二、可导函数的极值二、可导函数的极值 1.极值的概念：设函数 在点 附近有定义，且对附近的所有的点都有（或 则称 为函数的一个极大（小）值，称 为极大（小）值点。2021/8/9 星期一8求导数 求方程 的根；2.求可导函数 极值的步骤：检验
4、在方程 如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 的根的左、右的符号，在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数 在这个根处取得极大值.2021/8/9 星期一9题型三题型三：求函数的极值与最值：求函数的极值与最值分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤来求.但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为的根）.例3 设函数在或处有极值且.求并求其极值.2021/8/9 星期一10三、函数的最大值与最小值三、函数的最大值与最小值 1.设 是定义在区间a，b上的函数，在（a，b）内有导数，求函数 在a，b上的最大值与最小值，可分两步进行：求 在（a，b）内的极值；
5、将 在各极值点的极值与 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.若函数 在a，b上单调递增，则 为函数的的最小值，为函数的最大值；若函数 在a，b 上单调递减，则 为函数的最大值，最小值.为函数的2021/8/9 星期一11例 函数在0，3上的最值.-155y0Y3(2,3)2(0,2)0X2021/8/9 星期一12题型四题型四：利用求导解应用题：利用求导解应用题 例5如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？BA乙甲如图2021/8/9 星
6、期一13例例2:如图如图,铁路线上铁路线上AB段长段长 100km,工厂工厂C到铁路的到铁路的 距离距离CA=20km.现在要现在要 在在AB上某一处上某一处D,向向C修修 一条公路一条公路.已知铁路每吨已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料为了使原料 从供应站从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省的运费最省,D应修在何处应修在何处?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千则公路上每吨千米的运费为米的运费为5t元元.这样这样
7、,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂运到工厂C的总运费为的总运费为2021/8/9 星期一14令令 ,在在 的范围内有的范围内有唯一解唯一解x=15.所以所以,当当x=15(km),即即D点选在距点选在距A点点15千米时千米时,总运总运费最省费最省.注注:可以进一步讨论可以进一步讨论,当当AB的距离大于的距离大于15千米时千米时,要找要找的的 最优点总在距最优点总在距A点点15千米的千米的D点处点处;当当AB之间的距离之间的距离 不超过不超过15千米时千米时,所选所选D点与点与B点重合点重合.练习练习:已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为R,高为高为H,求内接于这个圆求内接于这个圆
8、 锥体并且体积最大的圆柱体的高锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答答:设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为r,可得可得r=R(H-h)/H.易得当易得当h=H/3 时时,圆柱体的体积最大圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用与数学中其它分支的结合与应用.2021/8/9 星期一15例例3:已知函数已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线曲线y=f(x)过点过点P(-1,2),且在点且在点P处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线x-3y=0垂直垂直.(1)求求a、b的值；的值；(2)若若f(x)在区间在区间m,m+1上单调递增上单调递增,求求m的取值的取值 范围范围.解解:(1)由题意得由题意
9、得:(2),解得解得x0或或x0)的极大值为的极大值为6,极小极小 值为值为2.(1)试确定常数试确定常数a、b的值的值;(2)求函数的单调递增区间求函数的单调递增区间.答案答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为单调递增区间为(-,-1)和和(1,+).2021/8/9 星期一17练习练习2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在在x=-2/3与与x=1处都处都 取得极值取得极值.(1)求求a、b的值的值;(2)若若x-1,2时时,不等式不等式f(x)c2恒成立恒成立,求求c的取的取 值范围值范围.答案答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用利用f(x)maxc2,
10、解得解得c2.练习练习3:若函数若函数f(x)=x3+bx2+cx在在(-,0及及2,+)上都上都是是 增函数增函数,而在而在(0,2)上是减函数上是减函数,求此函数在求此函数在-1,4上上 的值域的值域.答答:由已知得由已知得 可求得可求得c=0,b=-3,从而从而f(x)=x3-3x2.又又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数所以函数f(x)在在-1,4上的上的值域是值域是-4,16.2021/8/9 星期一18例例4.2001新课程卷新课程卷文史类文史类(21):已知函数已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点在点x=1处有极小值处有极小值-1,试试 确
11、定确定a、b的值的值,并求出并求出f(x)的单调区间的单调区间.注注:此题为此题为p.252课后强化训练第课后强化训练第8题题.解解:由已知得由已知得:由由 得得 ;由由 得得故函数故函数f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-1/3)和和(1,+),单调递减区间是单调递减区间是(-1/3,1).2021/8/9 星期一19难点突破：1.关于单调性的定义,条件是充分非必要的.若 在（a，b）内，（或），（其中有有限个 x 使），则 在（a，b）内仍是增函数（或减函数）。如：，有（其中），但 在（-,+）内递增；2.注意严格区分极值和最值的概念.极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题。2021/8/9 星期一20欢迎提出宝贵意见，谢谢大家！2021/8/9 星期一21