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1、1.2 1.2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件(1)(1)X 同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈这是我的妈妈”。那。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这这是我的孩子是我的孩子”呢？呢？不会了！为什么呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学
2、习这个有意义的课题关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件。充分条件与必要条件。【实例引入】（2 2）因为若）因为若）因为若）因为若abab=0=0 则则则则应该有应该有应该有应该有a=0 a=0 或或或或b=0b=0。所以并不能得到所以并不能得到所以并不能得到所以并不能得到a a一定为一定为一定为一定为0 0。例例例例 :判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。（1 1）若）若）若）若xaxa2 2+b+b2 2，则，则，则，则x2ab x2ab。（2 2）若）若）若）若abab=0,=0,则则则则a=0a=0。真命题真命题真命题真命
3、题假命题假命题假命题假命题解解解解（1 1）因为若）因为若）因为若）因为若xaxa2 2+b+b2 2 ，而，而，而，而a a2 2+b+b2 2 2ab 2ab，所以可以所以可以所以可以所以可以 得到得到得到得到 x2ab x2ab。【问题探究】如果命题如果命题“若若p则则q”为真，则记作为真，则记作如果命题如果命题“若若p则则q”为假，则记作为假，则记作（2 2）因为若）因为若）因为若）因为若abab=0=0 则则则则应该有应该有应该有应该有a=0 a=0 或或或或b=0b=0。所以并不能得到所以并不能得到所以并不能得到所以并不能得到a a一定为一定为一定为一定为0 0。例例例例 :判断下
4、列命题的真假。判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。（1 1）若）若）若）若xaxa2 2+b+b2 2，则，则，则，则x2ab x2ab。（2 2）若）若）若）若abab=0,=0,则则则则a=0a=0。真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题解解解解（1 1）因为若）因为若）因为若）因为若xaxa2 2+b+b2 2 ，而，而，而，而a a2 2+b+b2 2 2ab 2ab，所以可以所以可以所以可以所以可以 得到得到得到得到 x2ab x2ab。在真命题（在真命题（在真命题（在真命题（1 1）中，）中，）中，）中，p p足以导致足以导致足以导致足以导致q q
5、，也就是说条件也就是说条件也就是说条件也就是说条件p p充分充分充分充分了。了。了。了。在假命题（在假命题（在假命题（在假命题（2 2）中条件）中条件）中条件）中条件p p不不不不充分充分充分充分。【问题探究】在真命题（在真命题（在真命题（在真命题（1 1）中，）中，）中，）中，q q 是是是是p p成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。在假命题（在假命题（在假命题（在假命题（2 2）中，）中，）中，）中，q q不是不是不是不是p p成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。定义定义：如果命题：如果
6、命题“若若p，则，则q”为真命题为真命题,即即p q,那么我们就说那么我们就说p是是q的的充分条件充分条件；q是是p的的必要条件必要条件【定义得出】充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合的，足以保证的。符合“若若p则则q”为真（为真（p=q）的形式）的形式,即即“有之必成立有之必成立”。必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非若非q则则非非p”为真（非为真（非q=非非p）的形式，即）的形式，即“无之必不成立无之必不成立”。注：注：p是是q的充分条件与的充分条件与q是是p的
7、必要条件是的必要条件是完全等价完全等价的，它的，它们是同一个逻辑关系们是同一个逻辑关系“p=q”的不同表达方法。的不同表达方法。例例例例1 1，下列，下列，下列，下列“若若若若p p，则，则，则，则q”q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命题题题题 中的中的中的中的p p是是是是q q的充分条件？的充分条件？的充分条件？的充分条件？（1 1）若）若）若）若x=1x=1，则，则，则，则x x2 2 4x+3=0 4x+3=0；（2 2）若）若）若）若f f（x x）=x=x，则，则，则，则f f（x x）为增函数；为增函数；为增函数；为增函数；（3
8、3）若）若）若）若x x 为无理数，则为无理数，则为无理数，则为无理数，则x x2 2 为无理数为无理数为无理数为无理数解：命题（解：命题（解：命题（解：命题（1 1）（）（）（）（2 2）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（3 3）是假命）是假命）是假命）是假命题，所以命题（题，所以命题（题，所以命题（题，所以命题（1 1）（）（）（）（2 2）中的）中的）中的）中的p p是是是是q q的充分条件的充分条件的充分条件的充分条件.【典例演练】练习练习练习练习1 1：(1)(1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三
9、角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形全等，则这两个三角形相似；(2)(2)若若若若x 5x 5，则，则，则，则x 10 x 10。解：命题解：命题解：命题解：命题（1 1）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（2 2）是假命题）是假命题）是假命题）是假命题 所以命题（所以命题（所以命题（所以命题（1 1）中的）中的）中的）中的p p是是是是q q的充分条件。的充分条件。的充分条件。的充分条件。例例例例2 2 下列下列下列下列“若若若若p p，则，则，则，则q”q”形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题中的中
10、的中的中的q q是是是是p p的必要条件？的必要条件？的必要条件？的必要条件？(1)(1)若若若若x=yx=y，则，则，则，则x x2 2=y=y2 2。(2)(2)若两个三角形全等若两个三角形全等若两个三角形全等若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相则这两个三角形的面积相则这两个三角形的面积相则这两个三角形的面积相等等等等.(3)(3)若若若若abab，则，则，则，则acacbcbc。解：命题解：命题解：命题解：命题（1 1）（）（）（）（2 2）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（）是真命题，命题（3 3）是假命）是假命）是假命）是假命题，所以命题（题，所以命题（题，所以
11、命题（题，所以命题（1 1）（）（）（）（2 2）中的）中的）中的）中的q q是是是是p p的必要条件。的必要条件。的必要条件。的必要条件。练习练习练习练习2 2 下列下列下列下列“若若若若p p，则，则，则，则q”q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命题中的题中的题中的题中的p p是是是是q q的必要条件？的必要条件？的必要条件？的必要条件？(1)(1)若若若若a+5a+5是无理数，则是无理数，则是无理数，则是无理数，则a a是无理是无理是无理是无理数。数。数。数。(2)(2)若（若（若（若（x-ax-a）（）（）（）（x-bx-b）=0=0，则
12、则则则 x=ax=a。解：命题解：命题解：命题解：命题（1 1）（）（）（）（2 2）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题，所以命题（所以命题（所以命题（所以命题（1 1）（）（）（）（2 2）中的）中的）中的）中的p p是是是是q q的必要条件。的必要条件。的必要条件。的必要条件。分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题中的中的中的中的p p是是是是q q的必要条件。的必要条件。的必要条件。的必要条件。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。所以
13、应该分析下列命题的逆命题的真假性。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。认清条件和结论。认清条件和结论。认清条件和结论。认清条件和结论。考察考察考察考察p qp q和和和和q pq p的真假。的真假。的真假。的真假。可先简化命题。可先简化命题。可先简化命题。可先简化命题。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。1 1 1、判别步骤：、判别步骤：、判别步骤：、
14、判别步骤：、判别步骤：、判别步骤：2 2 2、判别技巧、判别技巧、判别技巧、判别技巧、判别技巧、判别技巧：判别充分条件判别充分条件判别充分条件判别充分条件与必要条件与必要条件与必要条件与必要条件【方法小结】答：命题答：命题答：命题答：命题（1 1）为真命题：）为真命题：）为真命题：）为真命题：练习练习练习练习3 3，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：（1 1）x=2x=2是是是是x x2 2 4x+4=0 4x+4=0的的的的必要条件；必要条件；必要条件；必要条件；（2 2）圆心到直线的距离等于半径是这条）圆心到直线的距离等于半径是这条）圆心
15、到直线的距离等于半径是这条）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件；（3 3）sinA=sinBsinA=sinB是是是是A=BA=B的充分条件；的充分条件；的充分条件；的充分条件；（4 4）abab 0 0是是是是a a 0 0的充分条件。的充分条件。的充分条件。的充分条件。命题（命题（命题（命题（2 2）为真命题；）为真命题；）为真命题；）为真命题；命题（命题（命题（命题（3 3）为假命题；）为假命题；）为假命题；）为假命题；命题（命题（命题（命题（4 4）为真命题。）为真命题。）为真命题。）为
16、真命题。能能 力力 测测 试试1、用符号、用符号“充分充分”或或“必要必要”填空：填空：（1）“0 x 5”是是“x 2 0”是是“x+y=x+y ”的的_条件。条件。（4）“个位数是个位数是5的整数的整数”是是“这个数能被这个数能被5整除整除”的的_条件。条件。充分充分必要必要充分充分充分充分练习练习4.用用“充分充分”或或“必要必要”填空，并说明理由：填空，并说明理由：1.“a和和b都是偶数都是偶数”是是“a+b也是偶数也是偶数”的的 条件；条件；2.“四边相等四边相等”是是“四边形是正方形四边形是正方形”的的 条件；条件；3.“x3”是是“|x|3”的的 条件；条件；4.“x1=0”是是
17、“x21=0”的的 条件；条件；5.“两个角是对顶角两个角是对顶角”是是“这两个角相等这两个角相等”的的 条件；条件；充分充分必要必要必要必要充分充分充分充分6.“至少有一组对应边相等至少有一组对应边相等”是是“两个三角形全两个三角形全等等”的的 条件；条件；7.对于一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中其中a,b,c都不都不为为0)来说，来说，“b24ac0”是是“这个方程有两个正这个方程有两个正根根”的的 条件；条件；8.“a=2，b=3”是是“a+b=5”的的 条件；条件；必要必要必要必要充分充分【课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结】如果已知如果已知如果已知如果已知p qp
18、 q，则说则说则说则说p p是是是是q q的充分的充分的充分的充分 条件，条件，条件，条件，q q是是是是p p的的的的必要条件。必要条件。必要条件。必要条件。认清条件和结论。认清条件和结论。认清条件和结论。认清条件和结论。考察考察考察考察p p q q和和和和q pq p的真假。的真假。的真假。的真假。可先简化命题。可先简化命题。可先简化命题。可先简化命题。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。1 1、定义：、定义：、定义：、定义：2 2、判别步骤：、判别步骤：、判别步骤：、判别步骤：3 3、判别技巧、判别技巧、判别技巧、判别技巧：