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1、2012年年09月月6日日1设设z=2x+y,求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.线性目线性目标函数标函数线性约线性约束条件束条件线性规线性规划问题划问题任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解目标函数所目标函数所表示的几何表示的几何意义意义在在y轴上的截轴上的截距或其相反距或其相反数。数。23解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：2.2.画：画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；3.3.移：移：在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平
2、移的方法找出与可行域有公共点中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；且纵截距最大或最小的直线；4.4.求：求：通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解；5.5.答：答：作出答案。作出答案。1.1.找找:找出线性约束条件、目标函数；找出线性约束条件、目标函数；3 可行域为图中阴影可行域为图中阴影部分部分,由图可知由图可知s=x+y在点在点(4，5)处取得最大值，处取得最大值，最大值为最大值为s=4+5=9.(2009北京卷北京卷)若实数若实数x,y满足满足x+y-20 x4y5,则则s=x+y的最大值为的最大值为 .294 x1 x-y+10 2x-y-20，则，则
3、x2+y2的最小值是的最小值是 .3.已知实数已知实数x、y满足满足5 x-y+1=0 x=1，得最优解为得最优解为A(1,2)，所以所以x2+y2的最小值为的最小值为5.作出可行域，由作出可行域，由一、求非线性目标函数的最值一、求非线性目标函数的最值5678 x-y-20 x+2y-40 2y-30,则则 的最大值是的最大值是.设实数设实数x、y满足满足 不等式组确定的平面区域如图阴不等式组确定的平面区域如图阴影部分影部分.五、比值问题五、比值问题 9设设 =t，则则y=tx,求求 的的最最大大值值，即即求求y=tx的的斜率的最大值斜率的最大值.显然显然y=tx过过A点时，点时，t最大最大.
4、x+2y-4=0 2y-3=0代入代入y=tx,得得t=.所以所以 的最大值为的最大值为 .由由，解得，解得A(1,).10考 点常见的几何问题的线性规划常见的几何问题的线性规划.方法点拨:目标函数建立后目标函数建立后,要联系要联系相关几何意义相关几何意义.如如斜率斜率、截截距距、距离距离等等.自学范例2 设设x、y满足满足11分析分析:先画出不等式组表示的平先画出不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何面区域，结合目标函数的几何意义求解意义求解.解析解析:如图直线如图直线x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交点的交点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)设设z=x+
5、2y-4，则，则 作斜率为作斜率为 的平行直线的平行直线l.当当l过过C(7，9)时，截距最大，这时时，截距最大，这时z也最大也最大.即即z的最大值是的最大值是7+29-4=21.12(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示区域上的点是表示区域上的点(x，y)与与(0，5)的距的距离的平方离的平方.(0，5)到直线到直线x-y+2=0的距离是的距离是d=x2+y2-10y+25的最小值是的最小值是13归纳小结归纳小结1.1.在线性约束条件下求目标函数的最大在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值，是一种数形结合的数学思值或最小值，是一种数形结合的数学思想，它将目标函数的最值问
6、题转化为动想，它将目标函数的最值问题转化为动直线在直线在y y轴上的截距的最值问题来解决轴上的截距的最值问题来解决.2.2.对对于于直直线线l：z zAxAxByBy，若若B B0 0，则则当当直直线线l l在在y y轴轴上上的的截截距距最最大大(小小)时时，z z取取最最大大(小小)值值；若若B B0 0，则则当当直直线线l在在y y轴轴上的截距最大上的截距最大(小小)时，时，z z取最小取最小(大大)值值.14方法点拨：目标函数是连续函数或是整点最值问题目标函数是连续函数或是整点最值问题.以实际意义来看，一以实际意义来看，一类是资源分配能使完成任务量最大；另一类是统筹安排任务，使耗费的人力
7、、类是资源分配能使完成任务量最大；另一类是统筹安排任务，使耗费的人力、物力资源最少物力资源最少.考 点线性规划解决应用问题线性规划解决应用问题3自学范例3 某公司计划某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不年在甲、乙两个电视台做总时间不超过超过300分钟的广告分钟的广告，广告总费用不超过广告总费用不超过9万元万元.甲、乙电视台的甲、乙电视台的广告收费标准分别为广告收费标准分别为500元元/分钟和分钟和200元元/分钟分钟.假定甲、乙两个假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为为0.3万元和万元和0.2万
8、元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？15分析:假设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为假设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和分钟和y分钟，总收益为分钟，总收益为z元，则可列出元，则可列出x，y所满足的不等式所满足的不等式组及目标函数组及目标函数.解析解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟分钟和和y分钟，总收益为分钟，总收益为z元，由题意得元，由题意得作出二元一次不
9、等式组所表示的平面区域，即可行域，如上图作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如上图.+=+0，0，90025，300.20003000.0，0，90000200500，300yxyxyxyxzyxyxyx于于二元一次不等式组等价二元一次不等式组等价目标函数为目标函数为16 作直线作直线l:3000 x+2000y=0.即即3x+2y=0.平移直线平移直线l，从图中可知，当直线，从图中可知，当直线l过过M点时，目标函数取得最大点时，目标函数取得最大值值.联立联立 解得解得x=100，y=200.点点M的坐标为的坐标为(100，200).zmax=3000 x+2000y=700000
10、(元元).答：该公司在甲电视台做答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做分钟广告，在乙电视台做200分钟分钟广告广告.公司的收益最大，最大值为公司的收益最大，最大值为70万元万元.【点评】画出可行域后，再把目标函数平行移动，比较画出可行域后，再把目标函数平行移动，比较截距截距的的大小，要注意目标函数的意义大小，要注意目标函数的意义.注意单位的换算！注意单位的换算！17练习练习 制制定定投投资资计计划划时时，不不仅仅要要考考虑虑可可能能获获得得的的利利润润，而而且且要要考考虑虑可可能能出出现现的的亏亏损损，某某投投资资人人打打算算投投资资甲甲、乙乙两两个个项项目目，根根据据预预测测，甲
11、甲、乙乙项项目目可可能能的的最最大大盈盈利利率率分分别别为为100%和和50%，可可能能的的最最大大亏亏损损分分别别为为30%和和10%，投投资资人人计计划划投投资资金金额额不不超超过过10万万元元，要要求求确确保保可可能能的的资资金金亏亏损损不不超超过过1.8万万元元，问问投投资资人人对对甲甲、乙乙两两个个项项目目各各投投资资多多少少万万元元，才才能能使可能的盈利最大？使可能的盈利最大？18 设投资人分别用设投资人分别用x万元、万元、y万元投资甲、万元投资甲、乙两个项目，则乙两个项目，则目标函数目标函数z=x+0.5y.x+y10 0.3x+0.1y1.8 x0,y0,19作作可可行行域域,
12、当当直直线线l:x+0.5y=z过过点点M时时,z取取最大值最大值.x+y=10 x=4 3x+y=18，y=6，所以点所以点M(4,6).故当故当x=4，y=6时，时，zmax=7.答答：投投资资甲甲项项目目4万万元元，投投资资乙乙项项目目6万万元时，可能的盈利最大元时，可能的盈利最大.由由得得20 这这是是在在高高考考中中第第一一次次以以解解答答题题的的形形式式考考查查简简单单的的线线性性规规划划问问题题.本本题题是是一一道道应应用用题题，以以投投资资决决策策为为背背景景，以以线线性性规规划划为为素素材材，考考查查学学生生对对数数学学的的应应用用意意识识和和能能力力，不不落落俗俗套套，令令
13、人人耳耳目一新目一新.2119.19.（本小题满分（本小题满分1212分分20102010年广东高考年广东高考）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午午餐餐含含1212个单位的个单位的碳水化合物，碳水化合物，6 6个单位个单位蛋白质蛋白质和和6 6个单位的个单位的维生维生素素C C；一个单位的；一个单位的晚餐晚餐含含8 8个单位的个单位的碳水化合物，碳水化合物，6 6个单位的个单位的蛋蛋白质白质和和1010个单位的个单位的维生素维生素C.C.另外，该儿童这两餐需要的营养另外，该儿童这两餐需要的营养中中至少至少含含6464个单位的碳
14、水化合物，个单位的碳水化合物，4242个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和5454个单个单位的维生素位的维生素C.C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少花费最少，应当为该，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：解：设该儿童分别预订设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费个单位的午餐和晚餐，共花费z元元即即 22作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：经试验发现，当经试验发现，当时，时，花费最少，为花费最少，为（元）（
15、元）答答：应当为该儿童预定：应当为该儿童预定4个单位的午餐和个单位的午餐和4个单位晚餐个单位晚餐23考 点 综合新题综合新题4自学范例4(1)设二元一次不等式组设二元一次不等式组 所表示的平面区所表示的平面区域为域为M，使函数，使函数y=ax(a0，a1)的图象过区域的图象过区域M的的a的取取值的取取值范围是范围是()A.1.1，33 B.2,2,C.22，99D.，9924分析:结合图形求解.解析解析:(1)过点(1,9)(3,8)求得2a925【点评点评】解题的关键是画出图形解题的关键是画出图形.26 设设集集合合A=(x,y)|x,y,1-x-y是是三三角角形形的的边边长长，则则A所所表表示示的的平平面面区区域域（不不含边界的阴影部分）是含边界的阴影部分）是()A27 利用三角形的三边关系利用三角形的三边关系 x+y1-x-y x-y1-x-y y-x x y ,故故A所表示的平面区域为所表示的平面区域为A选项选项.即即28