全等三角形地精彩资料模型(一.).doc

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1、满分晋级满分晋级三角形 9 级 全等三角形的经典模型（二）三角形 8 级 全等三角形的经典模型（一）三角形 7 级 倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲作弊？漫画释义漫画释义3 全等三角形的 经典模型（一）DCBA4545CBA知识互联网知识互联网思路导航思路导航等腰直角三角形数学模型思路： 利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或）.如图 1；904545，常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图 2； 补全为正方形.如图 3，4.图 1 图 2图 3 图 4 题型一：等腰直角三角形模型题型一：等腰直角三角形模型ABCOMNABCOMN典题精练典题精练【例 1】 已知

2、：如图所示，RtABC 中，AB=AC，O 为 BC 的中点，90BAC 写出点 O 到ABC 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系（不要 求证明） 如果点 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断OMN 的形状，并证明你的结论. 如果点 M、N 分别在线段 CA、AB 的延长线上移动，且在移动中 保持 AN=CM，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证 明【解析】OA=OB=OC 连接 OA, OA=OC AN=CM45 BAOCANOCMOON=OM NOAMOC 90 NOABONMOCBON 90NOMOMN 是等腰直角三角形ONM 依然为等腰直角三

3、角形， 证明：BAC=90，AB=AC，O 为 BC 中点 BAO=OAC=ABC=ACB=45， AO=BO=OC， 在ANO 和CMO 中，ANCM BAOC AOCO ANOCMO（SAS）ON=OM，AON=COM， 又COMAOM=90， OMN 为等腰直角三角形【例 2】 两个全等的含，角的三角板和三角板，如3060ADEABC图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的, ,E A CBDBD中点，连接，试判断的形状，并说明理MMEMCEMC 由ABCOMNMEDCBAFEDCBANM 12ABCDEF3M12ABCDEF3【解析】是等腰直角三角形EMC 证明：连接由题意，得AM,9

4、0 ,90 .DEACDAEBACDAB 为等腰直角三角形.DAB ，DMMB ,45MAMBDMMDAMAB ，105MDEMAC EDMCAM ,EMMCDMEAMC 又90EMCEMAAMCEMADME ，CMEM 是等腰直角三角形EMC【例 3】 已知：如图，中，是的中ABCABAC90BACDAC 点，于，交于，连接AFBDEBCFDF 求证：ADBCDF 【解析】证法一：如图，过点作于，交于AANBCNBDM ，ABAC90BAC 345DAM ，45C3C ，AFBD190BAE ，90BAC290BAE 12 在和中，ABMCAF123ABAC C ABMCAFAMCF 在和中

5、，ADMCDF ADCD DAMC AMCF ADMCDF ADBCDF 证法二：如图，作交的延长线于CMACAFM ，AFBD3290 ，90BAC ，1290 MEDCBAPCBAPCBAD13 在和中，ACMBAD 1390ACAB ACMBAD ACMBAD ，MADB ADCM ，ADDCCMCD 在和中，CMFCDF45 CFCF MCFDCF CMCDCMFCDFMCDF ADBCDF 【例 4】 如图，等腰直角中，为内部一点，满ABC90ACBCACB，PABC足 ，求证：PBPCAPAC，15BCP【解析】补全正方形，连接 DP，ACBD 易证是等边三角形，ADP60DAP4

6、5BAD ，15BAP30PAC75ACP 15BCP【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等 腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难 为易的效果，从而顺利地求解。例 4 为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等 【备选 1】如图，RtABC 中，BAC=90，AB=AC，M 为 AC 中点，连结 BM，作ADBM 交 BC 于点 D，连结 DM，求证:AMB=CMD21NFABCDMEEMDCBA【解析】作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 RtBFC

7、，延长 AD 交 CF 于点 N， ANBM，由正方形的性质，可得 AN=BM， 易证 RtABM RtCAN，AMB=CND，CN=AM， M 为 AC 中点，CM=CN， 1=2，可证得CMDCND， CND=CMD， AMB=CMD【探究二】判定三角形形状 【备选 2】如图，RtABC 中，BAC= 90，AB=AC，AD=CE，ANBD 于点 M，延长 BD 交 NE 的延长线于点 F，试判定DEF 的形状ABCDEFNMKHMNFEDCBA【解析】作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 RtBHC， 可知四边形 ABHC 为正方形，延长 AN 交 HC 于点 K， AKBD，可知

8、 AK=BD，易证:RtABDRtCAK， ADB=CKN，CK=AD， AD=EC，CK=CE， 易证CKNCEN，CKN=CEN， 易证EDF=DEF，DEF 为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积 【备选 3】如图，RtABC 中，A=90，AB=AC，D 为 BC 上一点，DEAC，DFAB， 且 BE=4，CF=3，求 S矩形 DFAEGMNFEDCBAFEDCBA【解析】作等腰 RtABC 关于 BC 的对称的等腰 RtGCB， 可知四边形 ABGC 为正方形，分别延长 FD、ED 交 BG、CG 于点 N、M，可知 DN=EB=4，DM=FC=3， 由正方形对称性质， 可知 S

9、矩形 DFAE=S矩形 DMGN=DMDN=34=12【探究四】求线段长 【备选 4】如图，ABC 中，ADBC 于点 D，BAC=45，BD=3，CD=2，求 AD 的长GFEDCBADCBA【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题 尽管已知条件不是等腰直角三角形，但BAC=45，若分别以 AB、AC 为对称轴 作 RtADB 的对称直角三角形和 RtADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相 等且夹角为 90的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化 为正方形 【解析】以 AB 为轴作 RtADB 的对称的 RtAEB，再以 AC 为轴作

10、 RtADC 的对称的 Rt AFC 可知 BE=BD=3，FC=CD=2， 延长 EB、FC 交点 G，BAC=45， 由对称性，可得EAF=90，且 AE=AD=AF， 易证四边形 AFGE 为正方形，且边长等于 AD， 设 AD=x，则 BG=x3，CG=x2，在 RtBCG 中，由勾股定理，得，222235xx解得 x=6，即 AD=6【探究五】求最小值EDCBA21【备选 5】如图，RtABC 中，ACB=90，AC=BC=4，M 为 AC 的中点，P 为斜边 AB 上 的动点，求 PM+PC 的最小值MPDBCAMPBCA【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作 RtACB

11、关于 AB 对称的 RtADB， 可知四边形 ACBD 为正方形，连接 CD，可知点 C 关于 AB 的对称点 D，连接 MD 交 AB 于点 P，连接 CP，则 PM+PC 的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=22422 5思路导航思路导航常见三垂直模型例题精讲例题精讲【引例】已知 ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，求证：ACCE； 若将CDE 沿 CB 方向平移得到等不同情形， 1ABC D其余条件不变，试判断 ACC1E 这一结论是否成立？若成立，给予题型二：三垂直模型题型二：三垂直模型C1ABCEDDE(C)BAC1C1ABCEDC1ABCED21GFEOyx3DCBAO

12、yxDCBA证 明；若不成立，请说明理由. 【解析】ABBD，EDBD 90 BD 在与中ABCCDE ABCD BD BCDE（SAS）ABCCDE1 E290 E ,即 ACCE90ACE 图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明1ABCC DE1 ACBC ED1190 C EDDC E190 DC EACBACC1E典题精练典题精练【例 5】 正方形中，点、的坐标分别为，点在第一象ABCDAB0 10，84，C限求正方形边长及顶点的坐标 （计算应用：在直角三角形中，两条直角边C 的平方和等于斜边的平方.）【解析】过点 C 作 CGx 轴于 G，过 B 作 BEy 轴于

13、E，并反向延长交 CG 于 F点、的坐标分别为，AB0 10，84，BE=8， AE=6，AB=10 四边形 ABCD 是正方形，AB=BC1390 2390 12 90AEBBFC AEBBFC CF=BE=8，BF=AE=6 CG=12 EF=14 C(14，12)，正方形的边长为 10 【点评】此题中三垂直模型：【例 6】 如图所示，在直角梯形中，ABCD90ABC ，是的中点，ADBCABBCEABCEBD 求证：；BEAD 求证：是线段的垂直平分线；ACED 是等腰三角形吗？请说明理由DBC【解析】，90ABCBDEC ，9090ECBDBCABDDBCECBABD ，90ABCDA

14、B ABBC ，BADCBEADBE 是中点，EABEBEA 由得：，ADBEAEAD ，ADBC45CADACB ，45BACBACDAC 由等腰三角形的性质，得：EMMDAMDE 即是线段的垂直平分线ACED 是等腰三角形，DBCCDBD 由得：，由得：CDCECEBD ，是等腰三角形CDBDDBCABCDEM【例 7】 如图 1，ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 BD=CE，连 接 AE、CD 相交于点 P请你补全图形，并直接写出APD 的度数= ； 如图 2，RtABC 中，B=90，M、N 分别是 AB、BC 上的点，且 AM=BC、BM=CN，连接 AN

15、、CM 相交于点 P请你猜想APM= ， 并写出你的推理过程 （2013 平谷一模）【解析】图略，6045证明：作 AEAB 且.AECNBM 可证EAMMBC ，MEMC.AMEBCM 90 ,CMBMCB 90 .CMBAME 90 .EMC 是等腰直角三角形, EMC45 .MCE 又AEC CAN（SAS） .ECANAC ECAN. 45 .APMECM EABCMNP图 2图 1PNMCBACBAABCDEFEDCBA思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) )训练 1.已知：如图，ABC中，AC=BC，是上一点，AEBD 的90ACBDAC延长线于 E，并且，求证：BD 平分.1

16、 2AEBDABC【解析】延长 AE 交 BC 的延长线于 FBEAF ，90ACB FACDBC 在AFC 和BDC 中， FACDBC ACBC ACFBCDAFCBDC（ASA）AF=BD又1 2AEBDGOFEDCBAEFDCBAGHFEDCBA1 2AEAFEFBE 是 AF 的中垂线BA=BF BD 平分ABC训练 2.已知，在正方形 ABCD 中，E 在 BD 上，DGCE 于 G，DG 交 AC 于 F.求证：OE=OF【解析】ABCD 是正方形 OD=OC 90DOC DGCE 90DGC DOCDGC OFDGFC ODFECO 在DOF 和COE 中， DOFCOE OD

17、OC ODFOCEDOFCOE（ASA） OE=OF训练 3.已知：如图，ABC中，ABAC，90BAC，是的中点，DBC 于求证：AFBEGDHDF 【解析】ABAC，90BAC， D 是的中点BC AD=BD=CD， ADBC 90ADBAFBE90AGH DBEDAF在BDH 和ADF 中， DBHDAF BDAD ADBADFBDHADF（ASA） DH=DF训练 4.如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EFEC，且 EF=EC，DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长 【解析】在 RtAEF 和 RtDEC 中， EF

18、CE， FEC=90， AEF+DEC=90，而ECD+DEC=90， AEF=ECD 又FAE=EDC=90EF=ECRtAEFRtDCE AE=CD AD=AE+4 矩形 ABCD 的周长为 32 cm， 2（AE+AE+4）=32 解得 AE=6 cm EDCBAABCDEF复习巩固复习巩固题型一题型一 等腰直角三角形模型等腰直角三角形模型 巩固练习巩固练习 【练习 1】如图，ACB、ECD 均为等腰直角三角形，则图 中与BDC 全等的三角形为_. 【解析】AEC【练习 2】如图，已知中，RtABC90ACBACBC 是的中点，垂足为，交的延长线于DBCCEADEBFACCE 点求证：F

19、2ACBF【解析】，90ACBBFAC ，90ACDCBF 90ADCCAD ，CEAD ，90FCBADC CADFCB 又，ACCB ADCCFB DCFB 是的中点，DBC ，2BCBF 即2ACBF题型二题型二 三垂直模型三垂直模型 巩固练习巩固练习【练习 3】 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形（ADAB） ，点 E 在 BC 上，且 AE =AD，DFAE，垂足为 F请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的 结论并给予证明【解析】经探求，结论是：DF = AB 证明如下：四边形 ABCD 是矩形， B = ， ADBC，90 DAF = AEB DFAE， AFD =

20、 ，90FADCEB图 2图 1GGABCDEFFEDCBA AE = AD ， ABEDFA AB = DF【练习 4】如图，中，是上任意一点，ABCACBC90BCADAB交延长线于，于求证：AECDCDEBFCDFEFBFAE 【解析】根据条件，、都与互余，ACECBFBCF ACECBF 在和中，ACECBF ，ACCB90AECCFB ACECBF 则，CEBFAECF EFCECFBFAE【练习 5】四边形 ABCD 是正方形 如图 1，点 G 是 BC 边上任意一点(不与 B、C 两点重合)，连接 AG，作BFAG 于点 F，DEAG 于点 E求证：ABF DAE； 在中，线段

21、EF 与 AF、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可， 不需要证明)； 如图 2，点 G 是 CD 边上任意一点(不与 C、D 两点重合)，连接 AG，作BFAG 于点 F，DEAG 于点 E那么图中全等三角形是 ，线段 EF 与 AF、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可， 不需要证明)【解析】在正方形 ABCD 中，AB=AD，90BAD90BAFDAE 90 BAFABFABFDAE 在ABF 和DAE中, , , ABFDAE AFBDEA ABDA（AAS）ABFDAEEFAFBFFE DCBAABFDAE EFBFAF课后测课后测测试 1.问题：已知中，点是内的一点，且，ABC

22、2BACACB DABCADCD 探究与度数的比值BDBADBCABC 请你完成下列探究过程：请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明 当时，依问题中的条件补全右图90BAC 观察图形，与的数量关系为_；ABAC 当推出时，可进一步推出的度数为_； 15DACDBC 可得到与度数的比值为_ DBCABC （2010 北京中考）图 1D CBACBAECDBAFPQMCBA【解析】 相等； ； 151:3测试 2.已知：如图，在ABC 中，于点 D，点 E 在 AC 上，90ACBCDAB，CE=BC，过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F. 求证：AB=FC.【解析】于点，FEACE90ACB 90FECACB 90FECF 又于点，CDABD 90AECF AF 在和中，ABCFCE, , ,AF ACBFEC BCCE ABCFCE ABFC测试 3.如图， RtABC 中，C=90,，一条线段10cmAC 5cmBC PQ=AB，P，Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AM 上运动. 当 ABC 和APQ 全等时,点 Q 到点 A 的距离为_ . 5cm 或 10cm.