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1、【最新整理，下载后即可编辑】全等的相关模型总结全等的相关模型总结一、角平分线模型应用一、角平分线模型应用1.1.角平分性质模型：角平分性质模型：辅助线：过点辅助线：过点 G G 作作 GEGE射线射线 ACAC（1）.例题应用：例题应用：0如图如图 1 1，在在ABC中，C 90，AD平分CAB,BC 6cm,BD 4cm,那么点那么点 D D 到到直线直线 ABAB 的距离是的距离是cm.cm.如图如图 2 2，已知，已知，1 2，3 4.求证：AP平分BAC.图图 1 1图图 2 22 2（提示：作（提示：作 DEDEABAB 交交 ABAB 于点于点 E E）1 2，PM PN，3 4，
2、PN PQ，PM PQ,PA平分BAC.(2).(2).模型巩固：模型巩固：练习一：练习一：如图如图 3 3，在四边形在四边形 ABCDABCD 中，中，BCABBCAB，AD=CDAD=CD，BDBD 平分平分BAC.求证：AC 180【最新整理，下载后即可编辑】图图 3 3练习二：已知如图练习二：已知如图 4 4，四边形，四边形 ABCDABCD 中，中，BD 1800,BC CD.求证：AC平分BAD.图图 4 4练习三：如图练习三：如图CDCD 于点于点 E E，交，交 CBCB 于点于点 F.F.(1)(1)求证：求证：CE=CF.CE=CF.(2)(2)将图将图 5 5 中的中的A
3、DEADE 沿沿 ABAB 向右平移到向右平移到ADE的位置，使点的位置，使点E落在落在 BCBC边上，其他条件不变，如图边上，其他条件不变，如图6 6 所示，是猜想：所示，是猜想：BE于于 CFCF 又怎样的数量关又怎样的数量关系？请证明你的结论系？请证明你的结论.0RtABC中，ACB 90，CD AB,垂足为D，AF平分CAB,交交5 5，图图 5 5图图 6 6练习四：如图练习四：如图 7 7，A 90，ADBC，P P 是是 ABAB 的中点，的中点，PDPD 平分ADC平分ADC【最新整理，下载后即可编辑】求证：求证：CPCP 平分DCB平分DCBA2D14E3PB图图 7 7练习
4、五：练习五：如图如图 8 8，ABABACAC，A A 的平分线与的平分线与 BCBC 的垂直平分线相交于的垂直平分线相交于 D D，自自 D D 作作 DEDEABAB，DFDFACAC，垂足分别为，垂足分别为 E E，F F求证：求证：BE=CFBE=CFC图图 8 8练习六：如图 9 所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E，并且ABAC。求证：BEAC=AE。DEAB图 9FC练习七：练习七：如图如图 1010，D D、E E、F F 分别是分别是ABCABC 的三边上的点，的三边上的点，CE=BFCE=BF，且
5、，且DCEDCE 的面积与的面积与DBFDBF 的面积相等，求证：的面积相等，求证：ADAD 平分平分BACBAC。【最新整理，下载后即可编辑】A AE EF FB BD DC C2.2.角平分线角平分线+垂线，等腰三角形比呈现垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长辅助线：延长 EDED 交射线交射线 OBOB 于于 F F辅助线：过点辅助线：过点 E E 作作EFEF射线射线 OBOB（1 1）.例题应用：例题应用：如图如图1 1 所示，在所示，在ABCABC 中，中，ABC=3ABC=3C C，ADAD 是是BACBAC 的平分线，的平分线，BEBEADAD 于于 F F。求证：求证：BE 证
6、明：1(AC AB)2延长BE交AC于点F。已知：如图已知：如图 2 2，在，在ABC中，【最新整理，下载后即可编辑】BAC的角平分线AD交BC于D,且AB AD,1作CM AD交AD的延长线于M.求证：AM(AB AC)2分析：此题很多同学可能想到延长线段分析：此题很多同学可能想到延长线段 CMCM，但很快发现与要证明的结，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于论毫无关系。而此题突破口就在于 AB=ADAB=AD，由此我们可以猜想过，由此我们可以猜想过 C C 点点作平行线来构造等腰三角形作平行线来构造等腰三角形.证明：过点证明：过点 C C 作作 CECEABAB 交交 AM
7、AM 的延长线于点的延长线于点 E.E.例题变形例题变形:如图，如图，1 2，B为AC的中点，CM FB于M,AN FB于N.求证：EF 2BM;1FB(FM FN).2(3).(3).模型巩固：模型巩固：【最新整理，下载后即可编辑】练习一、如图 3，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。图 3练习一变形：如图4，在ODC中，EC是DCO的角平分线，且OE CE，D 900，.过点E作EF OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明图 4练习二、如图5，已知ABC 中，CE
8、 平分ACB，且AECE，AEDCAE180 度，求证：DEBCADEBC【最新整理，下载后即可编辑】图5练习三、如图 6，ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB，BE 平分ABC，求证：点 E 是 DC 中点。ADECB图图 6 6A 作AD BD、练习四、如图7（a），BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点1DE(AB BC AC)AE CE，垂足分别是D、E，连接DE.求证:DEBC，2.图图 7 7（a a）图图 7 7（b b）图图7 7（c c）件不变；、如图 7（b），BD、CE分别是ABC的内角平分线，其他条CE为ABC的外角平分线，、如图 7（c），BD
9、为ABC的内角平分线，其他条件不变.则在图 7（b）、图 6（c）两种情况下，DE 与 BC 还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)【最新整理，下载后即可编辑】练习五、练习五、如图如图 8 8，在直角三角形在直角三角形ABC中，中，自自C 90，A的平分线交的平分线交BC于于DC作作CG AB交交AD于于E，交，交AB于于G自自D作作DF AB于于F，求证：，求证：CF DECE1A2GDB图图 8 8练习六、如图练习六、如图9 9 所示，所示，在在ABC中，中，AC AB，M为为BC的中点，的中点，AD是是BAC
10、的的【最新整理，下载后即可编辑】F平分线，若平分线，若CF AD且交且交AD的延长线于的延长线于F，求证，求证MF 1AC AB2ABDFMC图图 9 9练习六变形一：如图练习六变形一：如图 1010 所示，所示，AD是是ABC中中BAC的外角平分线，的外角平分线，CD AD于于D，E是是BC的中点，求证的中点，求证DEAB且且DE 1(AB AC)2AD图图 1010练习六变形二：练习六变形二：如图如图 1111 所示，所示，在在ABC中，中，AD平分平分BAC，AD AB，CM AD于于M，求证，求证AB AC 2AMABECBDMC图图 1111练习七、如图练习七、如图 1212，在，在
11、ABC中，中，B 2C，BAC的平分线的平分线AD交交BC与与D则则【最新整理，下载后即可编辑】有有AB BD AC 那么如图那么如图 1313，已知在已知在ABC中，中，求求ABC 3C，12，BE AE证：证：AC AB 2BEAA12E图图 1212图图 1313练习八、在练习八、在ABC中，中，AB 3AC，BAC的平分线交的平分线交BC于于D，过，过B作作BE AD，E为垂足，求证：为垂足，求证：AD DEBDCBCACD练习九、练习九、AD是是ABC的角平分线，的角平分线，BE AD交交AD的延长线于的延长线于E，EFAC交交AB于于F求证：求证：AF FBAFDCBE3.3.角分
12、线，分两边，对称全等要记全角分线，分两边，对称全等要记全BE【最新整理，下载后即可编辑】两个图形的辅助线都是在射线OAOA上取点B B，使OB=OAOB=OA，从而使，从而使OACOBC.OBC.（1 1）.例题应用：例题应用：、在在ABCABC 中，中，BAC=60BAC=60，C=40C=40，APAP 平分平分BACBAC 交交 BCBC 于于 P P，BQBQ 平分平分ABCABC 交交 ACAC 于于 Q Q，求证：，求证：AB+BP=BQ+AQAB+BP=BQ+AQ。思路分析思路分析：1 1）题意分析）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2 2）解题思路）解题思
13、路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。解答过程解答过程：证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，【最新整理，下载后即可编辑】又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP
14、=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。【最新整理，下载后即可编辑】如图（5），过P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 从而得以解决。小结：小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角
15、形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示，在、如图所示，在ABC中，中，AD是是BAC的外角平分线，的外角平分线，P是是AD上异于点上异于点A的任意一点，试比较的任意一点，试比较PB PC与与AB AC的大小，并说明理由的大小，并说明理由【最新整理，下载后即可编辑】EAPAPBCD【解析】PB PC AB AC，理由如下BCD如图所示，在AB的延长线上截取AE AC，连接PE因为AD是BAC的外角平分线，故CAP EAP在ACP和AEP中，AC AE，CAP EAP，AP公用，因此AC
16、PAEP，从而PC PE在BPE中，PB PE BE，而BE BA AE AB AC，故PB PC AB AC变形：在变形：在ABC中，中，AB AC，AD是是BAC的平分线的平分线P是是AD上任意一点上任意一点求证：求证：AB AC PB PCAAPEPDCB【解析】在AB上截取AE AC，连结EP，根据SAS证得AEPACP，PE PC，BDCAE AC又BEP中，BE PB PE，BE AB AC，AB AC PB PC（2 2）、模型巩固：、模型巩固：练习一、.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，CDABBD，B 的平分线交 AC 于点 E，求证：点 E 恰好在 BC 的垂直平分线上
17、。AEB【最新整理，下载后即可编辑】DC练习二、如图，已知ABC 中，ABAC，A100，B 的平分线交 AC 于 D，求证：ADBDBCADCB练习三、如图，已知ABC 中，BCAC，C90，A 的平分线交BC 于 D，求证：ACCDABCDAB练习四、已知：在ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于D,DFBC,交AC于E,交AB于F,求证：EFBF CE练习五、在ABC中，AB 2AC,AD平分BAC，E是AD中点，连结CE，求【最新整理，下载后即可编辑】证：BD 2CE变式：变式：已知：在ABC中，B 2C,BD平分ABC，AD BQ于D,求证：BD1AC2练习六、已知：如图，在
18、四边形 ABCD 中，ADBC,BC=DC,CF 平分BCD,DFAB,BF 的延长线交 DC 于点 E.求证：（1）BF=DF；(2)AD=DE.ADEFBC练习七、已知如图，在四边形 ABCD 中，AB+BC=CD+DA，ABC 的【最新整理，下载后即可编辑】外角平分线与CDA 的外角平分线交于点 P.求证：APB=CPD练习八、如图，在平行四边形 ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F 分别是 AD，AB 边上的点，且 BE、DF 交于 G 点，BE=DF，求证：GC 是BGD 的平分线。A AF FG GE ED DB BC C练习九、如图，在ABC 中，ACB 为直角，CMA
19、B 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DEAB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.A AMMD DC CB BT TE E练习十、如图所示，已知练习十、如图所示，已知ABC中，中，AD平分平分BAC，E、F分别在分别在BD、AD【最新整理，下载后即可编辑】上上DE CD，EF AC 求证：求证：EFABAFBEDC【补充】【补充】如图，如图，在在ABC中，中，AD交交BC于点于点D，点点E是是BC中点，中点，EFAD交交CA的延长线于点的延长线于点F，交，交AB于点于点G，若，若BG CF，求证：，求证：AD为为BAC的角平分的角平分线线FGBAEDC
20、4.4.中考巡礼：中考巡礼：（1 1）.如图如图 1 1，OPOP 是是AOBAOB 的平分线，的平分线，请你利用图形画一对以请你利用图形画一对以 OPOP 为所为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。下列问题。、如图如图 2 2，在在ABCABC 中，中，ACBACB 是直角，是直角，B=60B=600，ADAD、CECE 是是BACBAC、BCABCA 的角平分线，的角平分线，相交于点相交于点 F F，请你判断并写出请你判断并写出 EFEF 与与 DFDF 之间的数之间的数量的关系。量的关系。
21、、如图、如图 3 3，在，在ABCABC 中，中，ACBACB 不是直角，而（不是直角，而（1 1）中的其他条件不）中的其他条件不变，请问，变，请问，（1 1）中的结论是否任然成立）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由。请说明理由。【最新整理，下载后即可编辑】y yE ED DA AMMx xO OB BC CCMBEEOAEDFDFAFCBNA图 1图 2图 3（2 2）.如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，B B（-1-1，0 0），C C（1 1，0 0）D D 为为 y y 轴上轴上的一点，的一点，点点 A A 为第二象限
22、内一动点，为第二象限内一动点，且且BAC=2BAC=2BDOBDO，过点过点 D D 作作 DMDMACAC 于于 MM，、求证：、求证：ABD=ABD=ACDACD；、若点、若点 E E 在在 BABA 的延长线上，求证：的延长线上，求证：ADAD 平分平分CAECAE；、当点、当点 A A 运动时，运动时，（AC-ABAC-AB）/AM/AM 的值是否发生变化？若不变，求其的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。值；若变化，请说明理由。【最新整理，下载后即可编辑】二、等腰直角三角形模型二、等腰直角三角形模型1.1.在斜边上任取一点的旋转全等：在斜边上任取一点的旋转全等：操作过
23、程：操作过程：0（1 1）.将将ABDABD 逆时针旋转逆时针旋转90，使ACMACMABDABD，从而推出，从而推出ADMADM为等腰直角三角为等腰直角三角形形.（但是写辅助线时不能这样写）（但是写辅助线时不能这样写）（2 2）.过点过点 C C 作作MCBC，连连 AMAM 导出上述结论导出上述结论.2.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连操作过程：连 AD.AD.（1 1）.使使 BF=AEBF=AE（AF=CEAF=CE），导出，导出BDFBDFADE.ADE.【最新整理，下载后即可编辑】（2 2）.使使EDF
24、+EDF+BAC=BAC=180，导出BDFBDFADE.ADE.（1 1）、例题应用：、例题应用：0.解解 析析：方方 法法 一一：过过 点点C C作作，方方 法法 二二：.证明：证明：方法一：方法一：连接连接AMAM，证明证明MDEMDEMAC.MAC.特别注意证明特别注意证明MDE=MDE=MAC.MAC.【最新整理，下载后即可编辑】方法二：过点方法二：过点MM作作MNMNECEC交交ECEC于点于点N N，得出，得出MNMN为直角梯形为直角梯形的中位线，从而导的中位线，从而导出出MECMEC为等腰直角三角形为等腰直角三角形.（2 2）、练习巩固：）、练习巩固：已知：如图所示，已知：如图
25、所示，RtRtABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC 90，O O为为BCBC中点，若中点，若MM、N N分别分别在线段在线段ACAC、ABAB上移动，且在移动中保持上移动，且在移动中保持AN=CM.AN=CM.、是判断是判断OMNOMN的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论.、当当MM、N N分别在线段分别在线段ACAC、ABAB上移动时，四边形上移动时，四边形AMONAMON的面积如何变化？的面积如何变化？思路：两种方法：思路：两种方法：【最新整理，下载后即可编辑】在正方形在正方形 ABCDABCD 中，中，BE=3BE=3，EF=5EF=5，DF=4DF=4，求，求BAE
26、=BAE=DCFDCF为多少度为多少度.提示如右图：提示如右图：3.3.构造等腰直角三角形构造等腰直角三角形（1 1）、利用以上的）、利用以上的 1 1 和和 2 2 都可以构造等腰直角三角（略）都可以构造等腰直角三角（略）；（2 2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：如下图：图图 3-13-1图图 3-23-2操作过程：在图操作过程：在图3-23-2 中，先将中，先将ABDABD以以BDBD所在的直线为对称轴作对称所在的直线为对称轴作对称【最新整理，下载后即可编辑】三角形，再将此三角形沿三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一
27、个正方形边长的长度单位，水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使使A A与与MM，D D与与E E重合重合.0，B2，1，C0,3，求求例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，A1，OCA+OCA+OCBOCB的的度数度数.4.4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：图图 4-14-1图图 4-24-2例题应用：例题应用：【最新整理，下载后即可编辑】思思路路：构构造造正正方方形形ACBMACBM，可可以以构构造造出出等等边边APMAPM，从从而而造造出出，又根据又根据故而得到故而得到，可得可得，再由于再由于
28、，从而得从而得 证证.例题拓展：例题拓展：若若ABCABC 不是等腰直角三角不是等腰直角三角形，即形，即，而是，而是，其他条件不变，求证：其他条件不变，求证：2=22=21.1.练习巩固：在平面直角坐标系中，练习巩固：在平面直角坐标系中，A A（0,30,3），点，点B B的纵坐标为的纵坐标为 2 2，点，点C C的纵坐标为的纵坐标为 0 0，当，当A A、B B、C C三点围成等腰直角三角形时，求点三点围成等腰直角三角形时，求点B B、C C的坐标的坐标.（1 1）、当点、当点B B为直角顶点：为直角顶点：【最新整理，下载后即可编辑】图图 1 1（2 2）、当点）、当点A A为直角顶点：为直
29、角顶点：图图3 3（3 3）、当点）、当点C C为直角顶点：为直角顶点：图图 5 56 6【最新整理，下载后即可编辑】图图 2 2图图4 4图图三、三垂直模型（弦图模型）三、三垂直模型（弦图模型）.由由ABEABEBCDBCD导出导出由由ABEABEBCDBCD导导由由ABEABEBCDBCD 导出导出ED=AE-CDED=AE-CD出出EC=AB-CDEC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CDBC=BE+ED=AB+CD1.1.例题应用：例题应用：例例 1.1.已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC 90，D D为为ACAC中中点，点，AFAF
30、BDBD于于E E，交，交BCBC于于F F，连接，连接DF.DF.求证：求证：ADB=ADB=CDF.CDF.【最新整理，下载后即可编辑】思路：思路：方法一方法一:过点过点C C作作MCMCACAC交交AFAF的延长线于点的延长线于点M.M.先证先证ABDABDCAMCAM，再证再证 CDFCDFCMFCMF即可即可.方法二：过点方法二：过点A A作作AMAMBCBC分别交分别交BDBD、BCBC于于H H、MM.先证先证ABHABHCAFCAF，再证再证CDFCDFADHADH即可即可.方法三：方法三：过点过点A A作作AMAMBCBC分别交分别交BDBD、BCBC于于H H、MM.先证先
31、证 RtRtAMFAMFRtRtBMHBMH，得出，得出HFHFAC.AC.由由MM、D D分别为线段分别为线段ACAC、BCBC的中点，可得的中点，可得MDMD为为ABCABC的中位线的中位线从而推出从而推出MDMDABAB，又由于，又由于BAC 90，故而故而MDMDACAC，MDMDHFHF，所以，所以MDMD为为线段线段HFHF的中垂线的中垂线.所以所以1=1=2.2.再由再由ADBADB+1=1=CDFCDF+2 2，则，则【最新整理，下载后即可编辑】ADBADB=CDFCDF.例例 1 1 拓展（拓展（1 1）：已知：如图所示，在：已知：如图所示，在ABCABC中，中，AB=ACA
32、B=AC，AMAM=CNCN，AFAFBMBM于于E E，交，交BCBC于于F F，连接，连接NF.NF.求证：求证：ADB=ADB=CDF.CDF.BM=AF+FNBM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样思路：同上题的方法一和方法二一样.拓展（拓展（2 2）：其他条件不变，只是将：其他条件不变，只是将BMBM和和FNFN分别延长交于点分别延长交于点P P，求证：，求证：PM=PNPM=PN,PBPBPF+AF.PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样思路：同上题的方法一和方法二一样.例例 2.2.如图如图 2-12-1，已知，已知ADADBCBC，ABEABE和和CDFCDF是等
33、腰直角三角形，是等腰直角三角形，EAB=EAB=CDF=CDF=90，【最新整理，下载后即可编辑】AD=2AD=2，BC=5BC=5，求四边形求四边形AEDFAEDF的面积的面积.图图 2-12-1解析：如图解析：如图 2-22-2，过点，过点E E、B B分别作分别作ENENDADA，BMBMDADA交交DADA延延长线于点长线于点N N、M.M.过点过点F F、C C分别作分别作FPFPADAD，CQCQADAD交交ADAD及及ADAD延长线于点延长线于点P P、Q Q.ABEABE和和CDFCDF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EAB=EAB=CDF=CDF=90，AE=ABAE=A
34、B，DF=CD.DF=CD.ENENDADA，BMBMDADA，FPFPADAD，CQCQADAD，NMB=NMB=ENA=ENA=FPD=FPD=DQC=DQC=90.ENA=ENA=MBAMBA，FDP=FDP=QCD.QCD.ENAENAABMABM，FPDFPDDQC.DQC.NE=AMNE=AM，PF=DQ.PF=DQ.NE+PF=DQ+AM=MQ-ADNE+PF=DQ+AM=MQ-AD.90ADADBCBC，CQCQBMBM，BMN=BMN=，四边形四边形BMQCBMQC是矩形是矩形.S四边形EAFD SAED SADF111 ADEN ADFP ADEN FP222BC=MQBC
35、=MQAD=2AD=2，BC=5BC=5NE+PF=5-2=3NE+PF=5-2=31S四边形EAFD23 3.2【最新整理，下载后即可编辑】图图 2-22-22.2.练习巩固：练习巩固：（1 1）、如图（、如图（1 1）-1-1，直角梯形，直角梯形ABCDABCD中，中，ADADBCBC，ADC=ADC=90，l是是ADAD的垂直平分线，的垂直平分线，交交ADAD于点于点MM，以腰，以腰ABAB为边做正方形为边做正方形ABFEABFE，EPEPl于点于点P P.求证：求证：2EP+AD=2CD.2EP+AD=2CD.（1 1）-1-1（1 1）-2-290（2 2）、如图，在直角梯形、如图，
36、在直角梯形ABCDABCD中，中，ABC=ABC=，ADADBCBC，AB=ACAB=AC，E E 是是 ABAB 的中点，的中点，CECEBD.BD.求证：求证：BE=ADBE=AD；【最新整理，下载后即可编辑】求证：求证：ACAC是线段是线段EDED的垂直平分线；的垂直平分线；BCDBCD是等腰三角形吗？请说明理由是等腰三角形吗？请说明理由.四、手拉手模型四、手拉手模型1.1.ABEABE和和ACFACF均为等边三角形均为等边三角形结论：（1）.ABFABFAECAEC0（2 2）.BOE=BAE=BOE=BAE=60（“八字模型证明”）（3 3）.OAOA平分平分EOFEOF拓展：拓展：
37、条件：条件：ABCABC和和CDECDE均为等边三角形均为等边三角形结论：结论：（1 1）、AD=BEAD=BE（2 2）、ACB=ACB=AOBAOB（3 3）、PCQPCQ为等边三为等边三角形角形（4 4）、PQPQAEAE（5 5）、AP=BQAP=BQ（6 6）、COCO平分平分AOEAOE（7 7）、OA=OB+OCOA=OB+OC【最新整理，下载后即可编辑】（8 8）、OE=OC+ODOE=OC+OD（7 7），（8 8）需构造等边三角形证明）需构造等边三角形证明）2.ABDABD和和ACEACE均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形结论：结论：（1 1）、BEBE=CDCD（2 2
38、）BEBECDCD3.3.ABEFABEF和和ACHDACHD均为正方形均为正方形结论：结论：（1 1）、BDBDCFCF（2 2）、BDBD=CFCF变形一：变形一：ABEFABEF和和ACHDACHD均为正方形，均为正方形，ASASBCBC交交FDFD于于T T，求证：求证：MM为为FDFD的中点的中点.SABC SADF.方法一：方法一：方法二：方法二：方法三：方法三：变形二：变形二：ABEFABEF和和ACHDACHD均为正方形，均为正方形，T T为为FDFD的中点，的中点，求证：求证：ASASBCBC【最新整理，下载后即可编辑】4 4当以当以 ABAB、ACACF FH HG GP
39、P360180n为边构造正多边形时，总有：为边构造正多边形时，总有：1 1=2=2=.E EI IJ J1 1H HG GP PA AB BC CD DE EF FI IB BA AC CD D2 2K K五、双垂直五、双垂直+角平分线模型角平分线模型结论：结论：AE=AFAE=AF拓展：若拓展：若APAP平分平分BADBAD，其他条件不变，求证：，其他条件不变，求证：APAPCFCF【最新整理，下载后即可编辑】六、半角模型六、半角模型且1800.12条件：条件：思路：思路：（1 1）、延长其中一个补角的线段、延长其中一个补角的线段（延长（延长CDCD到到E E，使，使ED=BMED=BM，连
40、连AEAE或延长或延长CBCB到到F F，使，使FB=DNFB=DN，连连AFAF）结论：结论：MN=BM+DNMN=BM+DNCCMN 2ABAMAM、ANAN分别平分分别平分BMNBMN和和DNMDNM（2 2）、对称（翻折）、对称（翻折）【最新整理，下载后即可编辑】思路思路:分别将分别将ABMABM和和ADNADN以以AMAM和和ANAN为对称轴翻折，但一定为对称轴翻折，但一定要证明要证明0MM、P P、N N三点共线三点共线.（B+B+D D=180且且AB=ADAB=AD）例题应用：例例题应用：例1 1、在正方形、在正方形ABCDABCD中，若中，若MM、N N分别在边分别在边BCB
41、C、CDCD上移上移动，且满动，且满足足MN=BMMN=BM+DNDN，求证：，求证：.MAN=MAN=45.CCMN 2AB.AMAM、ANAN分别平分分别平分BMNBMN和和DNM.DNM.思路同上略思路同上略.例例 1 1 拓展：在正方形拓展：在正方形ABCDABCD中，已知中，已知MAN=MAN=45，若若MM、N N分别在边分别在边CBCB、DCDC的延长线上移动，的延长线上移动，.试探究线段试探究线段MNMN、BMBM、DNDN之间的数量关系之间的数量关系.求证：求证：AB=AH.AB=AH.【最新整理，下载后即可编辑】提示如图：提示如图：例例 2.2.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，B+B+D D=180，AB=ADAB=AD，若，若E E、F F分别在边分别在边BCBC、CDCD且且上，满足上，满足1EAF BAD.2EF=BEEF=BE+DF.DF.求证：求证：提示：提示：练习巩固：如图，在四边形练习巩固：如图，在四边形ABCDABCD中，中，B=B=D D=90，AB=ADAB=AD，若，若E E、F F分别分别在边在边BCBC、CDCD1EAF BAD.2上的点，上的点，且且.求证：求证：EF=BEEF=BE+DF.DF.【最新整理，下载后即可编辑】提示：提示：【最新整理，下载后即可编辑】