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1、用心 爱心 专心1【三维设计】2013 高考数学一轮复习第 10 节 函数模型及其应用我来演练一、选择题1某企业去年销售收入1 000 万元，年成本为生产成本500 万元与年广告成本200 万元两部分若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不 纳税已知该企业去年共纳税120 万元则税率p%为()A10%B12%C25%D 40%解析：利润300 万元，纳税300p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为20010002%180(万元)，纳税 180p%万元，共纳税 300p%180p%120(万元)，p%14 25%.答案：C 2生产一定数量的商品的全部费
2、用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)12x22x20(万元)一万件售价是20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36 万件B18 万件C22 万件D9 万件解析：利润L(x)20 xC(x)12(x18)2142，当x18 时，L(x)有最大值答案：B 3某商店已按每件80 元的成本购进某商品1 000 件，根据市场预测，销售价为每件100 元时可全部售完，定价每提高1 元时销售量就减少5 件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()A100 元B110 元C150 元D190 元解析：设售价提高x元，则依题意y(1 000 5x)(20
3、x)5x2900 x20 000 用心 爱心 专心2 5(x90)260 500.故当x90 时，ymax60 500，此时售价为每件190 元答案：D 4已知A、B两地相距 150 千米，某人开汽车以60 千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留 1 小时后再以50 千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是()Ax60tBx60t50tCx60t0t2.51505tx3.5Dx60t0t2.5，1502.5 t3.5150 50t 3.53.5 t6.5解析：到达B地需要150602.5 小时，所以当 0t2.5 时，x60t；当 2.5 t
4、3.5 时，x150；当 3.5 t6.5 时，x150 50(t3.5)答案：D 5某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之 间关系的是()Ay100 xBy50 x250 x100 Cy502xDy100log2x100 解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型答案：C 二、填空题6 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_解
5、析：依题意知：20 xxy824y，即x54(24y)，阴影部分的面积Sxy54(24 y)y54(y224y)，用心 爱心 专心3 当y12 时，S有最大值为180.答案：180 7(2011浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000 万元，则x的最小值是 _解析：七月份的销售额为500(1 x%)，八月份的销售额为500(1 x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860 500 2 500(1
6、x%)500(1 x%)2，根据题意有3 860 500 2500(1 x%)500(1x%)2 7 000，即 25(1x%)25(1 x%)266，令t1x%，则 25t225t660，解得t65或者t115(舍去)，故 1x%65，解得x20.答案：20 三、解答题8某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000 元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)400 x12x20 x40080 000 x400.其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解：(1)设每月产
7、量为x台，则总成本为20 000 100 x，从而f(x)12x2300 x20 0000 x40060 000 100 xx400.(2)当 0 x400 时，f(x)12(x300)225 000，当x300 时，有最大值25 000；当x400 时，f(x)60 000 100 x是减函数，f(x)60 000 100400 25 000.当x300 时，f(x)的最大值为25 000.用心 爱心 专心4 每月生产300 台仪器时，利润最大，最大利润为25 0 00 元9当前环境问题已成为世界关注的焦点，2009 年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出
8、租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说污染非常小现有以下数据：当前汽油价格为2.8 元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约跑12 千米；当前液化气价格为3 元/千克，一千克液化气平均可跑1516 千米；一辆出租车日平均行程为200 千米请根据以上数据回答问题：(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5 000 元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱？解：(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为W元，由题意可知，W2002
9、.8t12140t3(t0，tN)，2003t16W2003t15，即 37.5tW40t(t0，tN)，又140t340t，即WW，所以使用液化气比使用汽油省钱(2)设 37.5t5 000 140t3，解得t545.5，又t0，tN，所以t546.设 40t5 000 140t3，解得t750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t546,750且tN时，省出的钱可以等于改装设备花费的钱10某人要做一批地砖，每块地砖(如图 1 所示)是边长为0.4 米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，且CECF，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEF
10、D的三种材料的每平方米价格之比依次为321.若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.用心 爱心 专心5(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？解：(1)证明：图 2 是由四块图1 所示地砖组成，由图1 依次逆时针旋转90，180，270后得到，EFFGGHHE.CFE为等腰直角三角形四边形EFGH是正方形(2)设CEx，则BE 0.4 x，每块地砖的费用为W，制成CFE、ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，W12x23a12(0.4 x)0.4 2a 0.16 12x2120.4 0.4 xaa(x20.2x0.24)a(x0.1)20.23(0 x0.4)，由a0，当x0.1 时，W有最小值，即总费用最省答：当CECF0.1 米时，总费用最省