【最新】2020届天一大联考皖豫联盟体高三高中毕业班第一次考试数学(理)试题(解析版).pdf-淘文阁

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2、平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A(1,)B(,1)C(,1)D(1,1)【答案】D【解析】化简复数(1)()1(1)ziaiaai，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解【详解】由题意，复数(1)()1(1)ziaiaai，因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a且10a，解得11a.即实数a的取值范围是(1,1)第 2 页共 19 页故选：D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力3“2m”是“函数2()43f xxmx在区间

3、 2,)上单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解【详解】由题意，函数2()43f xxmx的对称轴为2xm，若2m，则24m，函数()f x 在 2,)上递增，充分性成立；若()f x 在区间 2,)上递增，则22m，即1m，不能推出2m，所以必要性不成立，故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力4中秋节，小张买了一盒

4、月饼，里面一共有10 个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2 个，小张从中任取2 个月饼，这2 个月饼的馅不同的概率为()A910B89C45D12【答案】B【解析】根据题，求得基本事件的总数，再由馅相同的情况只有5种，得出不同的情况的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解【详解】由题意，从10 个月饼中任取2 个，共有21045C种情况，其中馅相同的情况只有5 种，可得不同的情况有40 种，第 3 页共 19 页所以所求概率为408459.故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算问题，其中解答中认真审题，熟练应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所有事件的个数

5、是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力5设22019a，2018log2020b，2019log2020c，则（）A acbBabcCbcaDcba【答案】A【解析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a，1b，1c，再结合对数函数的单调性，即可求解【详解】根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a，1b，1c，又因为2001log2018b，20201log2019c，因为20200log20182020log20191，所以2020202011log2018log2019，即 acb.故选：A【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数

6、与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力6已知函数1()tanln(1)1axf xxax为奇函数，则不等式()0fx的解集为()A(1,0)B(1,1)C(0,1)D(0,1)(1,)【答案】C【解析】根据函数()f x 为奇函数，整理得2221ln01a xx，求得1a，得到1()tanln1xf xxx，再结合函数的定义域和单调性，即可求解第 4 页共 19 页【详解】因为函数1()tanln(1)1axf xxax为奇函数，可得fxfx，即1tanln1axxx1tanln1axxx，整理得2221ln01a xx，可得1a，所以1()tanln1xf xxx，从而()

7、f x 的定义域为(1,1)，又因为()tanln(1)ln(1)f xxxx在(1,1)上为增函数，且(0)0f，所以不等式()0f x的解集为(0,1).故选：C【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念及应用，求得函数的解析式，再结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力7若,x y满足约束条件360601xyxyy，则122yx的最小值为()A116B18C1 D2【答案】A【解析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解【详解】由题意，画出约束条件360601xyxyy所表示的可行域

8、，如图所示，其中可得(3,1)A，(5,1)B，(3,3)C，因为1222yxxy，令zxy，当直线yxz经过A时，z 取得最小值，所以 z 的最小值为min314z，第 5 页共 19 页则1222yxxy的最小值为41216.故选：A【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力8已知平面向量,a b cr r r满足|2abrr，abrr，()()acbcrrrr，则(a bcr rr+)的取值范围是()A0,2B0,2 2C0,4D0,8

9、【答案】D【解析】以点O为原点，OAuu u r，OBuuu r分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，根据ACBC，得到点C在圆22(1)(1)2xy，再结合直线与圆的位置关系，即可求解【详解】设,OAa OBb OCcuuu rr uuu rr uuu rr，以点O为原点，OAu uu r，OBuuu r分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)AB，依题意，得ACBC，所以点C在以AB为直径的圆上运动，设点(,)C x y，则22(1)(1)2xy，()22abcxyrrr，由圆心到直线22xyt的距离2222222td，可得0,8t.故选：D【点睛】本题主要考查了

10、向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重第 6 页共 19 页考查了转化思想，以及推理与运算能力9函数2ln xyx图象大致为（）ABCD【答案】C【解析】由函数fx为奇函数，排除A，B，再利用导数求得函数的单调性，排除D，即可求解【详解】由题意，函数2ln xyx的定义域为(,0)(0,)U，且22ln()ln()()xxfxf xxx，所以函数fx为奇函数，排除A，B；当0 x时，函数2ln xyx，则22(1 ln)xyx，当0ex时，0y，函数单调递增，当xe时，0y，函数单调递减，排除D故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记

11、函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力10已知函数1()sin(0)62f xx，若函数()f x 在区间0,2上有且只有两个零点，则的取值范围为（）A2,23B2,23C142,3D142,3【答案】C 第 7 页共 19 页【解析】设6x，化简函数为1()sin2f x，得到函数()f x 在,6上前三个零点，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，因为02x，可得6626x，设6x，则函数11()sinsin622f xx则函数1()sin2f x在,6上，前三个零点分别是513,666，所以526613266,，解得1423,.故选：

12、C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力11记等比数列na的前n项和为nS，已知11a，42323SSS，设,m n是正整数，若存在正整数(1)ijij，使得,ijma mn na成等差数列，则mn的最小值为()A2 B 3 C4 D8【答案】D【解析】由42323SSS，求得公比2q=，得到12nna-=，再由,ijma mn na成等差数列，结合基本不等式，即可求解【详解】由题意，因为42323SSS，可得43322SSSS，可得342aa，即432aa=，所以等比

13、数列na的公比2q=，所以12nna-=.又由,ijma mn na成等差数列，得11222244 2ijijmnmanamnmnmn，第 8 页共 19 页令2(0)tmn t，则24tt，所以4t，由24mn，得8mn，当且仅当4,2mn时等号成立.所以mn的最小值为8.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列，以及基本不等式的综合应用，其中解答中熟记等差数列、等比数列的通项公式和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理运算能力12 设,a b都是不为1 的正数，函数11()2xxf xab的图象关于1x对称则()f x的零点个数为()A0 B 1 C2 D3【答案】B【解析】

14、由函数()f x 的图象关于1x对称，得到()2xxg xab为偶函数，求得1ab，又根据()0g x，得到函数()g x有且只有一个零点，从而得到函数()f x 只有一个零点【详解】依题意，函数11()2xxf xab的图象关于1x对称，可得()2xxg xab为偶函数，所以()()g xgx，即xxxxabab，所以11xxxxxxxxabababab，所以1xxab，即()1xa b，因对任意x恒成立，所以1ab，所以1ba，可得1()xxxbaa，所以()2220 xxxxg xaaaa，当且仅当0 x时等号成立，所以()g x有且只有一个零点，又因为函数()f x 的零点个数等价于函

15、数()g x的零点个数，所以函数()f x 有且只有一个零点故选：B【点睛】本题主要考查了函数的对对称性的应用，以及函数的零点的个数的判定，其中解答中熟第 9 页共 19 页练应用函数的对称性，以及函数的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力二、填空题13设函数2,0,()1lg,0,xxf xxxx则110ff_.【答案】98【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解【详解】依题意，函数2,0()1lg,0 xxf xxxx，可得得1110100f，所以111lg10021009810100100fff.故答案为：98【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答

16、中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力14已知函数()ln1f xxx的图象上有一点(,2)P m，则曲线()yf x在点P处的切线方程为_.【答案】2yx【解析】利用导数求得fx为增函数，根据(1)2f，求得1m，进而求得(1)2f，得出即在点P处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解【详解】由题意，点(,2)P m在曲线()yf x上，可得()ln12f mmm，又由函数()ln1,0fxxxx，则1()10fxx，所以函数fx在(0,)上为增函数，且(1)2f，所以1m，因为1()1fxx，所以(1)2f，即在点P处的切线的斜率为2，所以曲线

17、()yfx在点(1,2)P的切线方程为22(1)yx，即2yx.故答案为：2yx第 10 页共 19 页【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力15已知三棱锥DABC的外接球半径为2，底面ABC是直角三角形，且斜边AB的长为2 3，则三棱锥DABC的体积的最大值为_.【答案】3【解析】设三棱锥DABC的外接球球心为O，AB的中点为M，得出三棱锥DABC的体积最大时，ABCV是等腰直角三角形，顶点D在MO的延长线上，结合体积公式，即可求解【详解】设三棱锥DABC的外接球

18、球心为O，AB的中点为M，由ABC是直角三角形，且斜边AB的长为2 3，所以ABC外接圆的半径为3r，所以22222(3)1OMRr，当三棱锥DABC的体积最大时，顶点D在底面ABC上的射影恰好为点M，此时13DMR，又22122ACBCAC BC，6AC BC，当且仅当ACBC时，等号成立，此时ABC是等腰直角三角形，且1632ABCS，所以三棱锥DABC的最大体积为13333DABCV.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了组合体的性质的应用，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中得到三棱锥DABC的体积最大时，几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力16已知函数321

19、()13f xxax的图象在区间(0,2)上与x轴恰好有1 个公共点，则实数a的取值范围为_.【答案】3611,212【解析】求得2()2(2)fxxaxx xa，令()0fx，得0 x或2xa，当0a第 11 页共 19 页时，根据函数的单调性和(0)10f，不符合题意，得到0a，进而得出fx在(0,2)a上单调递减，在(2,)a上单调递增，结合题意，利用函数的性质，分类讨论，即可求解【详解】由题意，函数321()13f xxax，则2()2(2)fxxaxx xa，令()0fx，得0 x或2xa，当0a时，()f x 在(0,2)上单调递增，因为(0)10f，不符合题意，故0a，当(0,

20、2)xa时，0fx；当(2,)xa时，0fx，所以fx在(0,2)a上单调递减，在(2,)a上单调递增，因为函数fx的图象在区间(0,2)上与x轴恰好有1 个公共点，当(2)0f时，即1(2)84103fa，解得1112a；当022a且(2)0fa时，可得338(2)4103faaa，解得362a，综上可得，实数a的取值范围是362a或1112a.故答案为：3611,212.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力三、解答题17设a为实数，1212:2222 20aaap，:(

21、0,)qx，不等式210 xax恒成立.（1）若P为真命题，求实数a的取值范围；（2）若()pq为真命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）1,12；（2）1,1,22第 12 页共 19 页【解析】（1）由命题P为真命题，得到关于实数a不等式，结合指数的运算性质，即可求解；（2）由命题q为真命题，结合基本不等式求最值，得到2a，再由()pq为真命题，得出p为假命题且q为真命题，列出不等式组，即可求解【详解】（1）由命题P为真命题，即12122222 222220aaaaa，解得222a，可得112a，即实数a的取值范围是1,12.（2）若命题q为真命题，由(0,)x，不等式210 xax恒

22、成立，即21xax在(0,)x上恒成立，即1axx对(0,)x恒成立，当(0,)x时，1122xxxx，当且仅当1xx，即1x时等号成立，所以q为真命题时，可得2a，又因为()pq为真命题，则p为假命题且q为真命题，所以1122aaa或，解得12a,或12a剟.所以实数a的取值范围是1,1,22.【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力18已知函数321()33f xxmxnx，其导函数()fx是偶函数，且(3)0f.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若

23、函数()2yfx的图象与x轴有三个不同的交点，求实数的取值范围.【答案】（1）31()433f xxx；（2）7 25,66【解析】（1）由()fx是偶函数，根据()fxfx，求得所以0m，再由(3)0f，解得4n，即可得到函数的解析式；第 13 页共 19 页（2）由（1），求得2()4fxx，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()yf x与直线2y有三个不同的交点，得出725233，即可求解【详解】（1）由题意，函数321()33f xxmxnx，则2()2fxxmxn，因为()fx是偶函数，则()fxfx，可得2222xmxnxmxn，所以0m，又因为(3)0f，所以1270933

24、03n，解得4n，所以函数的解析式为31()433f xxx.（2）由（1）可得函数31()433fxxx，则2()4fxx，令2()40fxx，解得2x.当2x或2x时，()0fx，所以()fx 在(,2)，(2,)上分别单调递增，当22x时，()0fx，所以()fx 在(2,2)上单调递减，所以()f x 的极大值为25(2)3f，()f x 的极小值为7(2)3f又由曲线()yfx与直线2y有三个不同的交点，所以725233，即72566，故实数的取值范围是7 25,66.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极

25、值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力19如图，在平面直角坐标系xOy中，已知定点(1,0)Q及动点(2cos,2sin)(0)P，以PQ为斜边作一等腰直角三角形PRQ（原点O与点R分别在直线PQ的两侧）.第 14 页共 19 页（1）当3时，求2|OR；（2）求四边形OPRQ面积的最大值.【答案】（1）532；（2）524【解析】（1）当3时，得到点P的坐标为(1,3)，在ORQ中，由余弦定理，即可求得2|OR的值（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ的面积为52 sin44S，结合三角函数的性质，即可求解【详解】（1）在直角坐标系xOy中，已知定点(1,0)Q及动点(2co

27、用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力20已知等差数列na满足54a，69218aa，数列nb的前n项和为nS满足21nnSb.（）求na和nb的通项公式；（）若*nN，1 122(2)2nna ba ba bntL恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（）1nan，12nnb；（）2,8.【解析】（）根据题设条件，列出方程组求得1,a d的值，即可得到得出数列na的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列nb是首项为 1，公比为 2 的等比数列，即可求出数列的通项公式；（）由（）可得1(1)2nnna bn，利用乘公比错位相减法，即可求解【详解】

28、（）设等差数列na的公差为d，因为54a，69218aa，可得114431818adad，解得101ad，所以1(1)1naandn，对于数列nb，当1n时，11121bSb，解得11b.当2n时，1121nnSb，21nnSb，两式相减，得122nnnbbb，即12nnbb，所以nb是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nnb.（）由（）可得1(1)2nnna bn.令1 122nnnTa ba ba bL，当1n时，10T.当2n时，12211222(2)2(1)2nnnTnnL，则23121222(2)2(1)2nnnTnnL.第 16 页共 19 页两式相减，得231222

29、2(1)2nnnTnL22(1)2(2)2212nnnnn，得(2)22nnTn，而1n时也符合该式，所以(2)22nnTn，故题中不等式可化为(2)2(2)nnnt.（），当1n时，不等式（）可化为2t，解得2t；当2n时，不等式（）可化为00，此时tR；当3n时，不等式（）可化为2nt，因为数列2n是递增数列，所以8t，综上，实数t的取值范围是2,8.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能

30、力及基本计算能力等.21已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，上顶点为A，12AF F的面积为1，且椭圆C的离心率为22.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M在椭圆上且位于第二象限，过点1F作直线11lMF，过点2F作直线22lMF，若直线12,ll的交点N恰好也在椭圆C上，求点M的坐标.【答案】（1）2212xy；（2）233,33【解析】（1）根据题设条件，列出,a b c的方程组，结合222acb，求得,a b c的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设00,Mxy，分01x和01x两种情况讨论，当01x时，联立12,ll的方程组，取得20001,xNx

31、y，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】第 17 页共 19 页（1）由椭圆C的上顶点为A，12AF F的面积为1，且椭圆C的离心率为22，可得222221212cac bbcabc，解得2,1,1abc，所以椭圆C的标准方程为2212xy.（2）由（1）知，椭圆的方程2212xy，可得1(1,0)F，2(1,0)F，设00,Mxy，则00 x，00y.当01x时，2l与1l相交于点2F不符合题意；当01x时，直线1MF的斜率为001yx，直线2MF的斜率为001yx，因为11lMF，22lMF，所以直线1l的斜率为001xy，直线2l的斜率为001xy，所以直线1l的方程为00

32、1(1)xyxy，直线2l的方程为001(1)xyxy，联立1l和2l的方程，解得0 xx，2001xyy，所以20001,xNxy，因为点,M N在椭圆C上，由椭圆的对称性，可知20001xyy，所以22001xy或22001xy，由方程组22002200112xyxy，解得002 3333xy，而方程组22002200112xyxy无解（舍去），所以点M的坐标为2 33,33.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能第 18 页共 19 页较好的考查考生的逻辑思维能力、

33、运算求解能力22已知函数()2ln1f xxax，其中aR.（）讨论函数()f x 的单调性；（）已知(0,1)a，1,ex，设函数2()1()2f xaxg xx的最大值为M，求证：1M.【答案】（）见解析；（）证明见解析.【解析】（）求得函数的导数2()fxax，分0a和0a两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；（）由（）可知()f x 在1,e上单调递增，结合零点的存在定理，得到存在唯一0(1,)xe，使得00fx，进而得出()g x的单调性和最值00201ln,(1,)xMxex，再结合函数21ln(),(1,)xxxex的单调性，即可求解【详解】（）由题意，函数()2ln1,0f x

34、xaxx，则2(),0fxa xx，当0a时，()0fx，所以函数()f x 在(0,)上单调递增；当0a时，当20,xa时，()0fx，当2xa，+时，()0fx，所以函数()f x 在20,a上单调递增，在2,a上单调递减（）依题意得22()1ln()2f xaxxaxg xxx，则332ln1()()xaxf xg xxx，因为当01a时，由（）可知()f x 在1,e上单调递增，又因为(1)10,()10faf eae，所以存在唯一0(1,)xe，使得0002ln10fxxax.当01xx时，()0fx，()0g x，()g x在01,x上单调递增；第 19 页共 19 页当0 xx

35、e时，()0f x，()0gx，()g x在0,x e上单调递减；因此()g x在0 xx处取得最大值，且最大值为000002200ln1ln,(1,)xaxxMg xxexx，设21ln()(1,)xxxex，则3332ln32ln31()0 xexxxx，所以()x在(1,)e上递减，所以21ln1()(1)11x，即1M【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题

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