2020年云南省曲靖市高考(文科)数学二模试卷(解析版).pdf-淘文阁

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1、2020 年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1设集合Ax|x0，Bx|x2+2x150，x Z，则 AB（）A1，2B1，2，3C1，2，3，4D1，2，3，4，52已知复数z 满足 z?（1+i）2，则|z|（）A1B?C2D33已知 cos（?4-）=45，则 sin（?4+）（）A45B35C-45D-354执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A7B9C10D115已知向量?，?，|?|=?，?=(?，?)(?)，若|?+?|=?，则?与?夹角是（）A5?6B2?3C?3D?66函数?(?)=?(?2+1)?3的大致图象是（）ABCD7已知实数a，b满足 0a1

2、，0b 1，则函数 f（x）x3ax2+b2x+1 存在极值的概率为（）A16B 36C13D 338在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi，no）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A6B21C27D549已知实数x，y 满足?-?-?+?-?，zax+by（ab0）的最大值为2，则直线ax+by10过定点（）A（3，1）B（1，3）C（1，3）D（3，1）10设函数f（x）ex+lnx，满足 f（a）f（b）f（c）0（ab c），若 f（x）存在零点x0，则下列选项中一定错误的是（）Ax0（a，c）Bx0（a，b）C

3、x0（b，c）Dx0（c，+）11若双曲线C：?2?2-?2?2=?(?，?)的一条渐近线被圆（x+2）2+y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A2 33B?C?D212已知 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a1，a+b+c3，且csinAcosB+asinBcosC=32a，则 ABC 的面积为（）A 34或3 34B3 33C2 33D 34二、填空题13 若抛物线y22px（p0）的准线经过直线yx+1 与坐标轴的一个交点，则 p14将容量为n 的样本数据分成5 组，绘制频率分布直方图，若第1 至第 5 个矩形的面积之比为 2：4：6：2：1，且

4、最后两组数据的频数之和等于20，则 n 的值等于15关于函数?(?)=?(?+?3)(?)，有下列命题：由 f（x1）f（x2）0 可得 x1x2必是的整数倍；yf（x）在区间(-5?13，?13)上单调递增；yf（x）的图象关于点(-?6，?)对称；yf（x）的图象关于直线?=-?6对称其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）16在几何体PABC 中，PAB 是正三角形，平面PAB平面ABC，且 ABBC2，ABBC，则 PABC 外接球的表面积等于三、解答题17某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验为了解教改实效，期中考试后

5、，分别从两个班中各随机抽取20 名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（）若规定分数在90，110）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4 位同学参加座谈会，要再从这4 位同学中任意选出2 人发言，求这2人来自不同班的概率18已知正项数列an的前 n 项和 Sn满足 4Snan2+2an（）求数列an的通项公式；（）记bn=1(?+1)2，设数列 bn的前 n 项和为 Tn求证：Tn1219 如图所示，平面 PAB平面 ABCD，四边形 ABCD 是

6、边长为4的正方形，APB90，M，N 分别是 CD，PB 的中点（）证明：CN平面 PAM；（）若 PAB60，求四棱锥PABCM 的体积20已知 ABC 的两个顶点坐标是?(-?，?)，?(?，?)，ABC 的周长为8+4?，O是坐标原点，点M 满足?=?（）求点M 的轨迹 E 的方程；（）若互相平行的两条直线l，l分别过定点(-?，?)和(?，?)，且直线l 与曲线 E交于 P，Q 两点，直线l与曲线 E 交于 R，S 两点，若四边形PQRS 的面积为865，求直线 l 的方程21已知函数f（x）xlnx，g（x）=12?（）求函数f（x）在 1?2，?上的最值；（）若对b a0，总有 m

7、g（b）g（a）f（b）f（a）成立，求实数m 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知不等式|2x+1|+|2x1|m+1|对于任意的x R 恒成立（）求实数m 的取值范围；（）若m 的最大值为M，且正实数a，b，c 满足 a+b+cM求证：12?+?+3?+2?+?选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+32?=12?（t 为参数），在以坐标原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 4cos（）若直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段AB 的中点 P 的直角坐标；（）设点M 是曲线 C 上任意一点

9、(?4+?)=?(?4-?)=45故选：A4执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A7B9C10D11【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S 的值，当S lg11 时，满足条件，退出循环，输出i 的值为 9，从而得解解：模拟程序的运行，可得：?=?，?=?13=-?-?，否；?=?，?=?13+?35=?15=-?-?，否；?=?，?=?15+?57=?17=-?-?，否；?=?，?=?17+?79=?19=-?-?，否；?=?，?=?19+?911=?111=-?-?，是，输出i9，故选：B5已知向量?，?，|?|=?，?=(?，?)(?)，若|?+?|=?，则?与?夹角是

10、（）A5?6B2?3C?3D?6【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解解：由题意可得|?|1，因为|?+?|=?，所以?+?+?=12，即 8+4?=12，所以?=1，设向量?与?夹角，所以 cos=?|?|?|=12，因为 0，所以 =?3故选：C6函数?(?)=?(?2+1)?3的大致图象是（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，以及极限思想进行判断即可解：f（x）f（x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当 x0 时，f（x）0，排除 D，当 x+，f（x）+0，排除 C，故选：A7已知实数a，b满足 0a1，0b 1，则函数 f（x）x3

11、ax2+b2x+1 存在极值的概率为（）A16B 36C13D 33【分析】由函数f（x）x3ax2+b2x+1 存在极值可得f（x）3x22ax+b20 存在变号零点，结合二次函数的性质及与面积有关的几何概型即可求解解：由函数f（x）x3ax2+b2x+1 存在极值可得f（x）3x2 2ax+b20 存在变号零点，故 4a212b20 即（a-?）（a+?）0，因为 0a1，0b1 表示的图形是边长为1 的正方形，而（a-?）（a+?）0 所对应的平面区域如图所示的阴影部分的三角形，故函数 f（x）x3ax2+b2x+1 存在极值的概率P=12 13311=36故选：B8在九章算术中，将四个

12、面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi，no）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A6B21C27D54【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3 和 4 为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S=12?+12?+12?+12?，27，故选：C9已知实数x，y 满足?-?-?+?-?，zax+by（ab0）的最大值为2，则直线ax+by10过定点（）A（3，1）B（1，3）C（1，3）D（3，1）【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解

13、的坐标，代入目标函数得到a，b 的关系；再代入直线ax+by1 0 由直线系方程得答案解：画出不等式组?-?-?+?-?表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解，联立?-?=?+?-?=?，解得 C（6，2），所以 6a+2b2，即 3a+b1；所以 b13a，代入 ax+by10，得 ax+y3ay 10，即 a（x 3y）+y10，由?-?=?-?=?，解得?=?=?所以直线ax+by10 必过定点（3，1）故选：A10设函数f（x）ex+lnx，满足 f（a）f（b）f（c）0（ab c），若 f（x）存在零点x0，则下列选项中一定错误的是（）Ax0（

14、a，c）Bx0（a，b）Cx0（b，c）Dx0（c，+）【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可解：函数f（x）ex+lnx 的定义域为 x|x0，函数是增函数，满足 f（a）f（b）f（c）0（a bc），说明f（a），f（b），f（c），有 1 个是负数一定是 f（a）两个正数或3 个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a，c），在（a，b），在（c，+），不可能在（b，c）故选：C11若双曲线C：?2?2-?2?2=?(?，?)的一条渐近线被圆（x+2）2+y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A2 33B?C?D2【分析】通过圆的圆心与双

15、曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可解：设双曲线C：?2?2-?2?2=?(?，?)的一条渐近线不妨为：bx+ay0，圆（x2）2+y24的圆心（2，0），半径为：2，双曲线 C：?2?2-?2?2=?(?，?)的一条渐近线被圆（x2）2+y24 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：?-?=2?2+?2，解得：4?2-4?2?2=3，可得 e24，即 e2故选：D12已知 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a1，a+b+c3，且csinAcosB+asinBcosC=32a，则 ABC 的面积为（）A 34或3 34B3 33C2 33D

16、 34【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sinA 的值，利用余弦定理计算bc，代入面积公式即可求出三角形的面积解：csinAcosB+asinBcosC=32a，sinCsinAcosB+sinAsinBcosC=32sinA，sinA0，sinCcosB+sin BcosC=32，即 sin（B+C）sinA=32，A=?3或 A=2?3若 A=2?3，则 ab，ac，故 2a b+c，与 a 1，b+c2 矛盾A=?3，由余弦定理得a2b2+c22bccosA（b+c）23bc1，bc1，S=12bcsinA=12?32=34故选：D二、填空题13若抛物线y22px（p 0

17、）的准线经过直线yx+1 与坐标轴的一个交点，则 p2【分析】判断抛物线的准线方程，利用直线与x 轴的交点在抛物线的准线上，求解即可解：抛物线 y22px（p0）的准线：x=-?2，经过直线yx+1 与坐标轴的一个交点（1，0），可得：-?2=-?，解得 p2故答案为：214将容量为n 的样本数据分成5 组，绘制频率分布直方图，若第1 至第 5 个矩形的面积之比为 2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则 n 的值等于100【分析】利用频率分布直方图的性质能求出n 的值解：将容量为n 的样本数据分成5 组，绘制频率分布直方图，第 1 至第 5 个矩形的面积之比为2：4：6：2：

18、1，且最后两组数据的频数之和等于20，n=201+22+4+6+2+1=100故答案为：10015关于函数?(?)=?(?+?3)(?)，有下列命题：由 f（x1）f（x2）0 可得 x1x2必是的整数倍；yf（x）在区间(-5?13，?13)上单调递增；yf（x）的图象关于点(-?6，?)对称；yf（x）的图象关于直线?=-?6对称其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】利用特殊值判断；函数的单调性判断；函数的对称中心判断；函数的对称轴判断解：函数?(?)=?(?+?3)(?)，特例：x1=-?6，x2=?3，满足 f（x1）f（x2）0，但是 x1x2不是的整数

19、倍；所以不正确；yf（x）的周期为，-?2?+?3?2，可得-5?12?12是函数的单调增区间，所以函数在区间(-5?13，?13)上单调递增；所以正确；yf（x）可知x=-?6时，f（x）4sin00，所以函数的图象关于点(-?6，?)对称；所以正确；x=-?6时，f（x）4sin00，所以函数的图象关于点(-?6，?)对称；所以yf（x）的图象不关于直线?=-?6对称所以不正确；故答案为：16在几何体PABC 中，PAB 是正三角形，平面PAB平面ABC，且 ABBC2，ABBC，则 PABC 外接球的表面积等于28?3【分析】通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球

20、的半径，即可求解外接球的表面积解：PAB 是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB平面 ABC，所以作GO平面 PAB，AB BC，外接球的球心也在平面 ABC 的重心的垂线上，作OE平面 ABC 交 AC 于 E，O 为外接球的球心，由题意可知EC=?，GD=1332?=33，外接球的半径为：OC=(33)?+(?)?=73外接球的表面积为：4(73)?=28?3故答案为：28?3三、解答题17某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20 名学生的

21、数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（）若规定分数在90，110）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4 位同学参加座谈会，要再从这4 位同学中任意选出2 人发言，求这2人来自不同班的概率【分析】（）根据茎叶图得甲班抽出同学数学分数的中位数为118，乙班抽出同学数学分数的中位数为128乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度（）根据茎叶图可知甲、乙两班数学成绩为良好的

22、人数分别为6、2，用分层抽样法抽出 4 人，则应从甲、乙两班各抽出3 人、1 人设“4 位同学任意选出2 人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A将甲班选出的3 人记为：a、b、c，乙班选出的1 人记为：d利用列举法能求出选出的2 人是来自不同班的同学的概率解：（）根据茎叶图得：甲班抽出同学数学分数的中位数：122+1142=?，乙班抽出同学数学分数的中位数：128+1282=?乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度（）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，若用分层抽样法抽出4

23、人，则应从甲、乙两班各抽出3 人、1 人设“4 位同学任意选出2 人发言，这2 人是来自不同班的同学”为事件A将甲班选出的3 人记为：a、b、c，乙班选出的1 人记为：d则共有“ab、ac、ad、bc、bd、cd”6 种选法，事件 A 包含“ad、bd、cd”3 种故，?(?)=36=12所以，选出的2 人是来自不同班的同学的概率等于1218已知正项数列an的前 n 项和 Sn满足 4Snan2+2an（）求数列an的通项公式；（）记bn=1(?+1)2，设数列 bn的前 n 项和为 Tn求证：Tn12【分析】（）由?=?+?+?=?+?+?+?，两式相减得（an+1+an）（an+1an2）

24、0，再由 an 0 得 an+1an2，然后求出a1，说明数列 an为等差数列，进而求得通项公式；（）由an2n?=1(2?+1)21(2?-1)(2?+1)=12(12?-1-12?+1)，进而证明结论解：（）?=?+?，?+?=?+?+?+?，由得，?+?=?+?-?+?+?-?，即（an+1+an）（an+1an2）0，因为 an+1+an0，所以 an+1an2 又由?=?+?解得 a1 2，故数列 an为等差数列，公差d2故 an2（n1）2 2n；（）证明：an2n，?=1(2?+1)21(2?-1)(2?+1)=12(12?-1-12?+1)，所以?12(?-13)+12(13

25、-15)+12(15-17)+?+12(12?-1-12?+1)=12-14?+21219 如图所示，平面 PAB平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为4的正方形，APB90，M，N 分别是 CD，PB 的中点（）证明：CN平面 PAM；（）若 PAB60，求四棱锥PABCM 的体积【分析】（）取线段AP 的中点 E，连接 EN，EM，由三角形中位线定理结合已知可得四边形CNEM 为平行四边形，得到CNEM再由直线与平面平行的判定可得CN平面 PAM；（）过 P 作 POAB，垂足为 O由平面与平面垂直的性质得到PO平面 ABCD 求出 PO 的值，再由棱锥体积公式求得四棱锥P ABCM

26、的体积【解答】（）证明：取线段AP 的中点 E，连接 EN，EM，则 EN AB 且?=12?在正方形ABCD 中，M 是 CD 的中点，CMAB 且?=12?CMEN，且 CMEN，则四边形CNEM 为平行四边形，CNEMCN?平面 PAM，EM?平面 PAM，CN平面 PAM；（）解：过P 作 POAB，垂足为 O平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB，PO?平面 PAB，PO平面 ABCD 又 PAO PAB60，?=12?=?，四棱锥 PABCM 的高?=?=?，故四棱锥P ABCM 的体积为：?-?=1312(?+?)?=?20已知 ABC 的两个顶点坐标是?(

27、-?，?)，?(?，?)，ABC 的周长为8+4?，O是坐标原点，点M 满足?=?（）求点M 的轨迹 E 的方程；（）若互相平行的两条直线l，l分别过定点(-?，?)和(?，?)，且直线l 与曲线 E交于 P，Q 两点，直线l与曲线 E 交于 R，S 两点，若四边形PQRS 的面积为865，求直线 l 的方程【分析】（）推出|AB|+|AC|8|BC|，说明点 A 的轨迹是以B，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）求出方程设M（x，y），A（x0，y0）由?=?，转化求解点M 的轨迹 E 的方程（）当直线l 的斜率不存在时，求出四边形PQRS 的面积为?，不符合要求当直线 l 的斜率存在时，可设直

28、线l 的方程为?=?(?+?)，直线 l的方程为?=?(?-?)，联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理弦长公式，点到直线的距离，表示三角形的面积，然后求解即可解：（）由已知，得|AB|+|AC|8|BC|，所以，点A 的轨迹是以B，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）因为，2a 8，?=?，所以，a4，b2，所以，点A 的轨迹方程为?216+?24=?(?)设 M（x，y），A（x0，y0）由?=?得，?=?=?，又?0216+?024=?故，点 M 的轨迹 E 的方程为(2?)216+(2?)24=?，即?24+?=?(?)（）由题意可知，当直线 l 的斜率不存

29、在时，易求得?(-?，12)，?(-?，-12)，?(?，-12)，?(?，12)这时，四边形PQRS 的面积为?，不符合要求当直线 l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为?=?(?+?)，则直线 l的方程为?=?(?-?)由?=?(?+?)，?24+?=?，消去 y 得(?+?)?+?+?-?=?，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则?+?=-83?21+4?2，?=12?2-41+4?2故，|?|=?+?|?-?|=?+?(?+?)?-?=4(1+?2)1+4?2，又，两条平行直线l，l间的距离?=23|?|1+?2由椭圆的对称性知：四边形PQRS 为平行四边形，其面积?=|?|?=

30、83|?|1+?21+4?2=865，解得，k 1 或?=147故，直线l 的方程为?=(?+?)或?=147(?+?)21已知函数f（x）xlnx，g（x）=12?（）求函数f（x）在 1?2，?上的最值；（）若对b a0，总有 mg（b）g（a）f（b）f（a）成立，求实数m 的取值范围【分析】（）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；（）由mg（b）g（a）f（b）f（a）等价于mg（b）f（b）mg（a）f（a），构造函数?(?)=?(?)-?(?)=?2?-?，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值解：（）因为，f（x）lnx+1

31、单调递增，令 f（x）lnx+10 得，?=1?当?(1?2，1?)时，f（x）0，f（x）单调递减；当?(1?，?)时，f（x）0，f（x）单调递增所以，?(?)?=?(?)极小值=?(1?)=-1?；又?(1?2)=-2?2，f（e）e；故，?(?)?=?(1?)=-1?，f（x）maxf（e）e（）因为，mg（b）g（a）f（b）f（a），等价于 mg（b）f（b）mg（a）f（a），令?(?)=?(?)-?(?)=?2?-?，因为 ba0，总有 mg（b）g（a）f（b）f（a）成立，所以，h（x）在（0，+）上单调递增问题转化为h（x）mxlnx 10 对 x（0，+）恒成立，即?

32、+1?对 x（0，+）恒成立令?(?)=?+1?，则?(?)=-?2由?(?)=-?2=?得，x1当 x（0，1）时，（x）0，（x）递增，当x（1，+）时，（x）0，（x）递减，（x）max（1）1，故 m 的取值范围是：1，+）一、选择题23已知不等式|2x+1|+|2x1|m+1|对于任意的x R 恒成立（）求实数m 的取值范围；（）若m 的最大值为M，且正实数a，b，c 满足 a+b+cM求证：12?+?+3?+2?+?【分析】（）利用绝对值不等式的性质得|2x+1|+|2x 1|2，把不等式|2x+1|+|2x1|m+1|对于任意的x R 恒成立转化为|m+1|2，求解绝对值的不等式

33、得答案；（）由（）可得 a+b+c1，配凑使用柯西不等式，得12?+?+3?+2?=12(?+?)+(?+?)(12?+?+32?+?)，则结论得证【解答】（）解：|2x+1|+|2x1|（2x+1）（2x1）|2，不等式|2x+1|+|2x1|m+1|对于任意的x R 恒成立转化为|m+1|2，解得 3m1，m 的取值范围是 3，1；（）证明：M1，a+b+c1，又 a，b，c 均为正实数，配凑使用柯西不等式，得12?+?+3?+2?=12(?+?)+(?+?)(12?+?+3?+2?)12(?+?12?+?+?+?3?+2?)?=12(?+?)?=?+?当且仅当3(2?+?)?+2?=?+

34、2?2?+?时上式等号成立12?+?+3?+2?+?选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+32?=12?（t 为参数），在以坐标原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 4cos（）若直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段AB 的中点 P 的直角坐标；（）设点M 是曲线 C 上任意一点，求MAB 面积的最大值【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（）利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（）曲线 C 的直角坐标方程为

35、（x 2）2+y24，将直线 l 的参数方程?=?+32?=12?代入曲线C 的直角坐标方程得：(?+32?-?)?+(12?)?=?，化简得?+?-?=?，设 A，B 的参数分别为t1，t2，由韦达定理得：?+?=-?，于是?=?1+?22=-32设 P（x0，y0），则?=?+32(-32)=94?=12(-32)=-34故，点 P 的直角坐标为?(94，-34)（）由（）知：?+?=-?，t1?t2 3所以，|?|=|?-?|=(?+?)?-?=?又直线 l 的普通方程为?-?-?=?，圆心 C（2，0）到直线 l 的距离为?=|2-3|12+(3)2=12，圆半径 r2所以，点M 到直线 l 的距离的最大值为?=?+?=52因此，MAB 面积的最大值为：?=12|?|?=12?52=5154

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