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1、2019-2020 学年上海市崇明区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12 小题）.1函数 ysin2x 的最小正周期是2已知 an为等比数列，a28，q，则 a53 如图所示，角 的终边与单位圆交于第二象限的点A（，），则 2cos sin 4已知 x，那么 sin（x+）+2sin（x）4cos2x+3tan（x+）5函数 y2cosx1，x 0，的值域为6若 1 弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所在的扇形面积等于7把函数 ysin（x）的图象向右平移个单位，得函数 ysin（x+）（0 2）的图象，则的值等于8已知等腰三角形底角的正弦值等于，则顶角的余弦值等于9已知 f（
2、n）+，则 f（k+1）f（k）+（k N*）10在 ABC 中，若 A120，AB5，BC7，则 ABC 的面积 S11某纯净水制造厂通过过滤来达到净化的目的，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为12已知互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，则这三个数排列成的等差数列是二、选择题13函数 ysin（x）sinx（）A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数14在数列 an中，如果an412n（n N*），那么使这个数列的前n 项和 Sn取得最大值时
3、n 的值为（）A19B20C21D2215在各项均为正数的数列an中，Sn是其前 n 项和，nan+12（n+1）an2+anan+1且 a3，则 tan S4的值等于（）ABCD16已知函数f（x）sin（2x+）在区间 0，a（其中 a0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（）Aa|0aBa|0aCa|ak+，k N*Da|2k a2k+，k N*三、解答题17在等差数列an中，a2 1，2a1+a3 1（）求数列an的通项公式；（）设 an的前 n 项和为 Sn，若 Sk 99，求 k18（1）已知 cos（x），x 0，求 x；（2）已知 sin，求 tan（）的值19已知函数f（x）
4、sin2x+2cos2x1，x R（1）将函数 f（x）化简并表示成yAsin（x+）+k（其中 A0，0，0 2，k R）形式；（2）用五点法列表并作出函数f（x）一个周期内的图象20在数列 an中，已知a11，a22，且 an+1（1+q）anqan1（n 2，q0，1）（1）设 bnan+1an（n N*），证明 bn是等比数列；（2）求数列 an的通项公式；（3）若 a3是 a6与 a9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n N*，an是 an+3与 an+6的等差中项21如图，我国的海监船在D 岛海域例行维护巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东 45方向与它相距16 海里的
5、 B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东14海里处（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4 海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里处，不让其进入D 岛 12 海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值参考答案一、填空题1函数 ysin2x 的最小正周期是【分析】由条件根据函数yAsin（x+）的周期为，可得结论解：函数ysin2x 的最小正周期是，故答案为：2已知 an为等比数列，a28，q，则 a51【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出解：an为等比数列，a28，q，则 a5a2q381，故答案为：13如图所示
6、，角 的终边与单位圆交于第二象限的点A（，），则2cos sin【分析】根据三角函数的定义得出sin和 cos的值，代入原式求解即可解：由三角函数的定义得，sin，cos，故 2cos sin 故答案为：4已知 x，那么 sin（x+）+2sin（x）4cos2x+3tan（x+）2【分析】把x 代入 sin（x+）+2sin（x）4cos2x+3tan（x+），整理后利用特殊角的三角函数值得答案解：x，sin（x+）+2sin（x）4cos2x+3tan（x+）sin（）+2sin（）4cos（2）+3tan（）sin+2sin 4cos+3tan 0+21 40+302故答案为：25函数
7、y2cosx1，x 0，的值域为 1，1【分析】由已知结合余弦函数的性质即可求解解：由 x 0，可得 cosx 0，1，故 y 1，1即函数的值域1，1，故答案为：1，16若 1 弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所在的扇形面积等于2【分析】由弧度的定义可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可解：由弧度定义得，所以 r2，所以 Slr?2?22故答案为：27把函数 ysin（x）的图象向右平移个单位，得函数 ysin（x+）（0 2）的图象，则的值等于【分析】通过函数的图象平移变换结合函数的解析式可得答案，解：把函数y sin（x）的图象向右平移个单位，得函数 y1 sin（x）
8、sin（x）sin（x（2）sin（x+）的图象，由题意所得函数图象为ysin（x+）（0 2）的图象可知，则 的值等于，故答案为：，8已知等腰三角形底角的正弦值等于，则顶角的余弦值等于【分析】先设出三个角，利用诱导公式求得cosA cos2B，再利用余弦的二倍角公式求得答案解：设三角形的定角为A，底角为B，C，则 sinBsinC，cosAcos（2B）cos2B（1 2sin2B）（12），故答案为：9已知 f（n）+，则 f（k+1）f（k）+（k N*）【分析】根据题意分别求出f（k），f（k+1），即可求出解：f（n）+，f（k）+，f（k+1）+则 f（k+1）f（k）+f（k）+
9、故答案为：10在 ABC 中，若 A120，AB5，BC7，则 ABC 的面积 S【分析】用余弦定理求出边AC 的值，再用面积公式求面积即可解：据题设条件由余弦定理得|BC|2|AB|2+|AC|22|AB|AC|cosA即 49 25+|AC|22 5|AC|（），即 AC|2+5|AC|240 解得|AC|3故 ABC 的面积 S53sin120故应填11某纯净水制造厂通过过滤来达到净化的目的，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为14【分析】先列出指数关系式，再两边取对数可得答案解：由题意列式（120%）n5%，两边取对数得n13.4故
10、 n14故答案为：1412已知互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，则这三个数排列成的等差数列是4，1，2 或 2，1，4【分析】可设a，b，c 互不相等，结合等差数列和等比数列的中项性质，解方程可得所求结论解：设 a，b，c 互不相等，若 a，b，c 为等比数列，可得b2ac，又 abc 8，解得 b 2，ac4，又由等差数列的中项性质可得a22c 或 2+c2a，解得或（舍去），或，则这三个数排列成的等差数列为4，1，2 或 2，1，4故答案为：4，1，2 或 2，1，4二、选择题13函数 ysin（x）sinx（）A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但
11、不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【分析】将函数化简，利用奇奇偶性的定义域判断即可解：函数 yf（x）（sinxcosx）sinx cosx，f（x）cos（x）cosxf（x），函数 y是偶函数故选：B14在数列 an中，如果an412n（n N*），那么使这个数列的前n 项和 Sn取得最大值时 n 的值为（）A19B20C21D22【分析】令an412n0 解得 n20.5，所以数列的前20 项大于 0，第 21 项小于 0，21 项后面的小于0所以数列的前20 项的和最大解：令 an412n0 解得 n 20.5，所以数列的前20 项大于 0，第 20 项后面的小
12、于0所以数列的前20 项和最大故选：B15在各项均为正数的数列an中，Sn是其前 n 项和，nan+12（n+1）an2+anan+1且 a3，则 tan S4的值等于（）ABCD【分析】nan+12（n+1）an2+anan+1，化为：nan+1（n+1）an（an+1+an）0，由数列an中各项均为正数，可得，进而得出结论解：nan+12（n+1）an2+anan+1，化为：nan+1（n+1）an（an+1+an）0，数列 an中各项均为正数，nan+1（n+1）an0，解得 an，S4（1+2+3+4）tan S4tantan故选：D16已知函数f（x）sin（2x+）在区间 0，a（
13、其中 a0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（）Aa|0aBa|0aCa|ak+，k N*Da|2k a2k+，k N*【分析】求出原函数的单调增区间，可得f（x）的一个增区间为，再由函数 f（x）在区间 0，a（其中 a0）上单调递增，可得a 的取值范围解：由，得，k Z取 k0，得，则函数数f（x）sin（2x+）的一个增区间为，函数 f（x）sin（2x+）在区间 0，a（其中 a0）上单调递增，0a故选：A三、解答题17在等差数列an中，a2 1，2a1+a3 1（）求数列an的通项公式；（）设 an的前 n 项和为 Sn，若 Sk 99，求 k【分析】（）设等差数列an的公差为d，
14、依题意，得到关于首项与公差的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）利用等差数列的求和公式，易得Sn n2+2n，由 Sk k2+2k 99 即可求得k的值解：（）设等差数列an的公差为d，依题意，得，4解得 a1 1，d 26所以数列 an的通项公式为an a1+（n1）d 2n+38（）Sn n2+2n10令 Sk k2+2k 99，即 k22k99012解得 k11，或 k 9（舍去）1318（1）已知 cos（x），x 0，求 x；（2）已知 sin，求 tan（）的值【分析】（1）由 x 的范围求得x的范围，再由已知三角函数值求角，进一步可得x值；（2）由已知求得tan，然后展开
15、两角差的正切求解解：（1）由 x 0，得 x，又 cos（x），x，得 x；（2）sin，cos，则 tan ，tan（）19已知函数f（x）sin2x+2cos2x1，x R（1）将函数 f（x）化简并表示成yAsin（x+）+k（其中 A0，0，0 2，k R）形式；（2）用五点法列表并作出函数f（x）一个周期内的图象【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求解；（2）利用五点法作函数yAsin（x+）的图象，列表作图即可解：（1）f（x）sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x（sin2x+cos2x）sin（2x+）（2）由（1）可知 f（x）sin（2x+）五点法列表如
16、下：x2x+02y000描点，连线作图如下：20在数列 an中，已知a11，a22，且 an+1（1+q）anqan1（n 2，q0，1）（1）设 bnan+1an（n N*），证明 bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）若 a3是 a6与 a9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n N*，an是 an+3与 an+6的等差中项【分析】（1）an+1（1+q）anqan1（n2，q0，1）a3（1+q）a2qa1q+2可得q，又 b1a2a1，b2a3a2，可得q即可证明（2）由（1）可得：bnan+1anqn1（q1）n2 时，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1
17、）+a1及其等比数列的求和公式即可得出（3）a3是 a6与 a9的等差中项，可得2a3a6+a9，利用求和公式化为：q6+q320，解得 q另一方面，利用等比数列的求和公式证明：an+3+an+62an0 即可得出结论【解答】（1）证明：an+1（1+q）anqan1（n 2，q0，1）a3（1+q）a2qa1q+2q，又 b1a2a1 1，b2a3a2 q，qq0，n N*bn是等比数列，首项为1，公比为q（2）解：由（1）可得：bn an+1 anqn1（q1）n2 时，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1qn2+qn3+q+1+1+1（n 1时也成立）an+1（3）证
18、明：a3是 a6与 a9的等差中项，2a3 a6+a9，+，化为：q6+q320，解得 q3 2（q31 舍去）q另一方面：an+3+an+62an+1+1+220，an+3+an+62an对任意的n N*，an是 an+3与 an+6的等差中项21如图，我国的海监船在D 岛海域例行维护巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东 45方向与它相距16 海里的 B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东14海里处（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4 海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里处，不让其进入D 岛 12 海里内的海域，
19、试确定海监船航向，并求其速度的最小值【分析】（1）根据余弦定理即可求得DB；（2）过点 B 作 BC AD，C 为垂足，AC 和以点 D 为圆心、以12 为半径的圆相交于点E，则由题意可得，我海监船在点E 处拦截住外国船只时，我海监船的速度v 取得最小值求得ACBC、DC 的值，再求得CE、AE、BE 的值，可得外国船只沿正南方向航行的时间，从而求得我海监船的速度v，再求得 EAC 的值即可解：（1）根据余弦定理可得：DB2AD2+AB2 2AD?ABcosA（14）2+1622 14 16200，则 BD 10（海里）；（2）过 B 作 BCAD 于 C，则 AC BCAB8，所以 CD ADAC6，以 D 为圆心，12 为半径作圆交BC 于点 E，连接 AE，DE，则 CE6，BE2，AE10，所以 EAC arcsin，外国船只到达点E 的时间 t，所以，海盗船速度v20，所以，海盗船就以北偏东arcsin方向，速度大于20 海里/小时，才能拦截