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1、努力的你，未来可期!精品 2019-2020 学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题 一、单选题 1已知函数()sin()(0,)f xx 的图象如图所示，则的值为（）A4 B2 C2 D3【答案】C【解析】由函数(0)f xsinx，的图象可知：T，2 122f 故选C 2用数学归纳法证明*11111112324nnNnnnn时，由nk到1nk时，不等式左边应添加的项是（）A121k B11211kk C112122kk D112122kk【答案】D【解析】分别写出不等式在 nk，nk+1时的式子，两式相减，即可得到所求结论【详解】当 nk 时，有不等式11111112324kkkkk，当
2、 nk+1 时，不等式为11111123212224kkkk，将上面两式的左边相减可得，由 nk到 nk+1 时，不等式左边应添加的项是11111212212122kkkkk.故选：D【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查数学归纳法的运用，考查由 nk到 nk+1 时，不等式的左边的变化，考查运算能力，属于基础题 3将函数sin(2)3yx图象上的点(,)4Pt向左平移s（0s）个单位长度得到点P，若P位于函数sin 2yx的图象上，则（）A12t，s的最小值为6 B32t，s的最小值为6 C12t，s的最小值为3 D32t，s的最小值为3【答案】A【解析】【详解】由题意得，1sin(2)
3、432t，可得，因为 P位于函数sin 2yx的图象上 所以，可得，s 的最小值为，故选 A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩 特别注意：平移变换时，当自变量 x 的系数不为 1 时，要将系数先提出；翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.4对于数列12,x x，若使得0nmx对一切*nN成立的 m的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数 sinf xxx xR及数列12,y y，努力的你，未来可期!精品 且1006yyyR，若 1*11 22nnnnnnnnfyyyynNfyyy，
4、则当01y 时，下列结论正确的应为（）A数列12,y y的“准最大项”存在，且为2 B数列12,y y的“准最大项”存在，且为3 C数列12,y y的“准最大项”存在，且为4 D数列12,y y的“准最大项”不存在【答案】B【解析】首先求得1y，2y，3y的范围，运用导数判断()f x的单调性，考虑当3n时，数列ny的单调性，即可得到所求m的最小值【详解】1006()yyyR，若111()()(*)()()22nnnnnnnf yyyynNf yyy，当01y，可得16y，2yf（6）16sin6y，322222()sin()cos(2,3)22222yf yyyyy，由()sinf xxx的
5、导数为()1cos0fxx，可得()f x在R上递增，当(2,3)x，2sin(3)3xxxf，可得当3n时，13nnyy，可得3m，数列12,y y的“准最大项”存在，且为3，故选：B【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：判断单调性，以及三角函数的图象和努力的你，未来可期!精品 性质，属于难题 二、填空题 557lim57nnnnn_.【答案】1【解析】由极限公式中分子、分母同时除以7n，可得5()17lim5()17nnn，又由5lim()07nn即可求得结果【详解】5()1577limlim557()17nnnnnnnn，而5lim()07nn 57lim157nnnnn
6、故答案为：1【点睛】本题考查了极限，根据一个大于 1小于 0的数，其指数趋于无穷大时极限为 0，将极限公式变形求结果，属于简单题 6函数22cos31yx的最小正周期为_.【答案】13【解析】由余弦的倍角公式知cos(6)yx，结合最小正周期2|T即可求出最小正周期【详解】22cos31cos(6)yxx 由余弦函数的最小正周期2|T知：2163T 故答案为：13【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查了已知三角函数求最小正周期，首先根据三角恒等变换中的余弦倍角公式化简，再结合三角函数的周期公式求最小正周期 7已知ABC中，a、b、c 分别为A、B、C所对的边.若2222bcabc，则A _
7、【答案】4【解析】2222bcabc 根据余弦定理可得22222cos222bcabcAbcbc(0,)A 4A 故答案为4.8数列 na的前 n项和23nnS，则其通项公式na _.【答案】15,12,2nnn【解析】当1n 时，115a=S；当2n 时，112nnnnaSS；得到答案.【详解】当1n 时，11235a=S；当2n 时，11123232nnnnnnaSS；故15,12,2nnnan 故答案为：15,12,2nnn【点睛】本题考查了数列的通项公式，没有考虑1a的情况是容易发生的错误.9求和：111112123123n _ 【答案】21nn 努力的你，未来可期!精品【解析】易知该
8、数列的通项12112()123(1)1nann nnn，故该数列的前 n 项和111112123123n 为1111111122(1)()()()2122334111nnnnn 10已知数列 na的前 n项和4nnSt，若 na为等比数列，则t _.【答案】1【解析】由等比数列的前 n 项和4nnSt，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得12484412t，由此可得结果【详解】由等比数列的前 n项和4nnSt，可得首项114aSt，221161612aSStt，332641648aSStt，再由等比数列的定义可得12484412t，解得 t=1，经检验符合题意.故答案为：1.【点睛】本题
9、主要考查等比数列的定义，考查等比数列的项与前 n 项和的关系，属于基础题.11设无穷数列 na的公比为 q，若245limnnaaaa，则q _.【答案】512【解析】推导出3111(1)(1)lim11nnaqaqa qqq，从而|1q，31111qqqq，由此能求出结果【详解】无穷数列na 的公比为q，2limna 45(.naaa)，3111(1)(1)lim11nnaqaqa qqq，|1q，31111qqqq，由0q，整理，得210qq，努力的你，未来可期!精品 由|1q，解得512 故答案为：512【点睛】本题考查等比数列的公比的求法，考查数列极限以及等比数列的求和公式等基础知识，
10、考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 12在各项都为正数的等比数列an中，若 a201822，则2017201912aa的最小值为_.【答案】4【解析】先通过均值不等式求出20172019201720191222aaaa，再由等比数列等比中项即可求解。【详解】an为等比数列，2201720192018aaa 201720192017201912222 44aaaa 当且仅当2017201912aa 220191702aa时，取得等号.2017201912aa的最小值为 4.【点睛】此题考查数列的取值范围问题，注意等比中项和均值不等式的使用，属于较易题目。13在ABC中，角 A、B、C
11、所对的边分别为 a、b、c，2a，2sinsinAC.若B为钝角，1cos24C ，则ABC的面积为_【答案】15 努力的你，未来可期!精品【解析】212124cos Csin C ，0C 10sin4C 2a，2sinAsinC 由正弦定理sinsinaCAC可得：sin24sinaCcaA 212214cos Ccos ，0C 64cosC 由余弦定理可知2222coscababC可得：26120bb 解得2 6b 1sin152ABCSabC 点睛：本题主要考查的知识点是正弦定理和余弦定理直接利用倍角公式求出sinC的值，然后利用2a，2sinAsinC根据正弦定理求出c的值，再由二倍角
12、的余弦函数公式化简已知等式求出cosC的值，由a，c及cosC的值利用余弦定理列出关于b的方程，求出b的值，利用三角形面积公式即可求出答案 14 已知函数 5sin 2,0,0,52fxxx，若函数 3F xf x的所有零点依次记为123,nx x xx且1231nnxxxxx，*nN，若123212222nnxxxxx832nx，则_.【答案】9【解析】由题意，令2,2xkkZ，解得,422kxkZ.函数 f x的最小正周期为22T，0,2，0,5x 当0k 时，可得第一个对称轴42x，当9k 时，可得19542x.函数 f x在0,5上有9条对称轴 根据正弦函数的图象与性质可知：函数 5s
13、in 2f xx与3y 的交点有 9 个点，努力的你，未来可期!精品 即12,x x关于42x对称，23,xx关于342x对称，即122()42xx，2332()42xx，1172()42nnxx.123218322222nnnxxxxxx 317832()4242422 9 故答案为9.点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到1nx与nx的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.三、解答题 15如图，在梯
14、形 ABCD 中，ABa，BCb，12CDa，G为对角线 AC、BD的交点，E、F分别是腰 AD、BC的中点，求向量EF和AG（结果用向量a、b表示）.【答案】34EFa，23AGab.【解析】在梯形 ABCD 中，由 E、F 分别是腰 AD、BC的中点，即有1()2EFDCAB、DGC与BGA相似，结合已知条件及向量的加法的几何应用，即可求EF和AG【详解】在梯形 ABCD中，E、F分别是腰 AD、BC的中点且12CDa 即12DCa，ABa 11 13()()22 24EFDCABDCABa，DGC与BGA相似且相似比为1:2 23AGAC，而ACABBC 故，有23AGab 努力的你，未
15、来可期!精品【点睛】本题考查了向量的几何应用，由几何图形中代表各线段的已知向量，结合相似三角形的线段比例关系、向量的加法三角形法则求目标向量 16已知递增的等差数列 na的首项11a，且1a、2a、4a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式na；（2）设数列 nc对任意*nN，都有1212222nnnccca成立，求122012ccc的值.【答案】（1）nan；（2）20132.【解析】（1）由等比中项的性质列出关于公差 d的方程，解方程可得 d 的值，代入等差数列的通项公式化简；（2）由（1）化简1212222nnnccca，令 n取 n1代入列出一个式子，两个式子相减即可求出 cn，由等
16、比数列的前 n 项和公式求出122012ccc的值【详解】（1）设递增的等差数列an的公差为 d，则 d0，a1、a2、a4成等比数列，a22a1a4，（1+d）21（1+3d），解得 d1，数列an的通项公式为：an1+n1n；（2）由（1）得，1212222nnnccca，则122222nncccn+1，当 n2 时，11221222nncccn，得，12nnc，所以 cn2n，当 n1时，122ca，则 c14不满足上式，所以122012ccc4+22+23+20122 2201220132 1 221 2【点睛】本题考查等比中项的性质，等差数列的通项公式，以及等比数列的前 n 项和公式
17、，注意检验首项，是易错题，属于中档题 努力的你，未来可期!精品 17某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数()f n可近似地用函数()cos()f nAwnk来刻画，其中正整数n表示月份且1,12n，例如1n 表示 1 月份，A和k是正整数，0w，(0,).统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差 400 人；2月份该地区从事旅游服务工作的人数为 100人，随后逐月递增直到 8月份达到最多.（1）试根据
18、已知信息，求()f n的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在 400 或 400 以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.【答案】(1)2200cos30063f nn；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为 12的周期函数，进而求得w，利用规律可求得三角函数解析式中的振幅A，k和，则函数的解析式可得；（2）利用余弦函数的性质根据题意求得2cos()63n的范围，进而求得n的范围，再根据1,12n，*nN，进而求得n的值.试题解析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为 12 的周期
19、函数，所以6w.该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8月份和最少的 2月份相差 400 人，2月份该地区从事旅游服务工作的人数为 100 人 500100AkkA，解得200300Ak.最少的 2 月份该地区从事旅游服务工作的人数为 100 人 200cos(2)3001006，即cos()13.0,23 2()200cos()30063f nn（2）令()cos()400f nAwnk 努力的你，未来可期!精品 21cos()632n 126,122()nkkkZ 1,12n 6,10n 6,7,8,9,10n 答：一年中6,7,8,9,10月是该地区的旅游“旺季”.18对于任意n*N，若数
20、列 nx满足11nnxx，则称这个数列为“K数列”.（1）已知数列：1，|1|m，2m是“K 数列”，求实数m的取值范围；（2）设等差数列na的前n项和为nS，当首项1a与公差d满足什么条件时，数列nS是“K数列”？（3）设数列na的前n项和为nS，11a，且11232nnSSa，n*N.设1(1)nnnncaa，是否存在实数，使得数列 nc为“K 数列”.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2m或3m ；(2)11ad且0d；(3)536.【解析】【详解】（1）由题意可得211111mmm.23mm 或（2）1(1)2nn ndSna，数列 nS是“K数列”；11n
21、nSS 11na 11and对*nN恒成立 0d 11ad且0d （3）11232nnSSa 努力的你，未来可期!精品 11232(2)nnSSa n 123(2)nnaa n 2123aa也成立 123(1)nnaa n 132nnaa 数列 na是公比为32的等比数列 11a 13()2nna 133()(1)()22nnnnc 由题意得：11nncc，即111353()(1)()12222nnn.当n为偶数时，12152()32n恒成立，536；当n为奇数时，12152()32n恒成立，112.综上，536.19 已知数列 na的前 n项和nA满足*1112nnAAnnNn，且11a，数
22、列 nb满足*2120nnnbbbnN，32b，其前 9 项和为 36.（1）当 n为奇数时，将na放在nb的前面一项的位置上；当 n为偶数时，将nb放在na前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a，1b，2b，2a，3a，3b，4b，4a，5a，5b，求该数列的前 n项和nS；（2）设1nnncab，对于任意给定的正整数2k k，是否存在正整数 l、m klm，使得kc、lc、mc成等差数列？若存在，求出 l、m（用 k表示），若不存在，请说明理由.努力的你，未来可期!精品【答案】（1）222,243,4141,414nnnknSnknnk，*kN；（2）存在；21lk，2452mkk.
23、【解析】（1）根据通项公式与求和公式的关系求出nan，利用等差数列基本量运算求得1nbn，利用分类讨论思想求出结果（2）由（1）可知：121ncn，若对于任意给定的正整数(2)k k存在正整数l，()m klm，使得kc，lc，mc成等差数列，利用分类讨论思想和整除问题，结合反证法可得结果【详解】（1）因为1112nnAAnn，于是数列nAn 是首项为 1，公差为 的等差数列，所以1122nAnn，则：(1)2nn nA，当2n时，1nnnaAAn，又因为11a，所以nan，又因为2120nnnbbb，于是数列 nb是等差数列，设 nb的前n 项和为nB，由于95936Bb，则：54b，由于：
24、32b，则：5322dbb，解得：1d 努力的你，未来可期!精品 所以：2(3)1nbnn；当n为奇数时，将na放在nb的前面一项的位置上；当n为偶数时，将nb放在na前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a，1b，2b，2a，3a，3b，4b，4a，5a，5b，则：数列na的前n项和(1)2nn nB 当2nk时，22(1)(1)22nkkkk kk kSSABk 当43nk时，2432122(21)(23)(1)463nkkkSSABkkkkkk 当41nk时，241212(21)(21)42nkkkSSABkkkkkk；进一步整理得：222(2)463(23)42(41)nknkkk
25、nkSkknk（2）由（1）可知：121ncn，若对于任意给定的正整数(2)k k存在正整数l，()m klm，使得kc，lc，mc成等差数列 则：2lmkccc，即：211212121lkm，解得：222(21)1421421klklkmkklkl，即：2(21)1421kmkkl 则对于任意的正整数(2)421k kkl能整除2(21)k，且4210kl 由于当2k时，21k 中存在多个质数 所以：421kl只能取 1 和21k 或2(21)k 若421 1kl 时，则21lk，2452mkk 于是，2473(43)(1)0mlkkkk，努力的你，未来可期!精品 符合klm 若42121k
26、lk 时，kl出现矛盾，则舍去 若2421(21)klk，则：2mk，于是0m，出现矛盾，故舍去 综上所述：当2k时，存在正整数21lk，2452mkk，满足klm，使得kc，lc，mc成等差数列【点睛】本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题 20 已知数列 na的各项均为正数，其前n项和为nS，且满足241nnSa，数列 nb满足12b，24b，且等式211nnnbbb对任意2n 成立.（1）将数列 na与 nb的项相间排列构成新数列1122,nna b a ba b，设该新数列
27、为 nc，求数列 nc的通项公式和前 2n项的和2nT；（2）对于（1）中的数列 nc的前 n项和nT，若nnTc对任意*nN都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2,212,2nnn nkcnk，*kN，21222nnTn；（2）1.【解析】（1）由24(1)nnSa，1n 时，2114(1)aa，解得1a2n时，144()nnnaSS，化为：11()(2)0nnnnaaaa，可得12nnaa，利用等差数列的通项公式可得na，数列 nb满足12b，24b，且等式211nnnbbb对任意2n成立，利用等比数列的通项公式可得nb，进而得出nc，分组求和可得2nT；（2）由nnTc，结合（1）对
28、n分奇数偶数两种情况讨论，分别转化为不等式恒成立，结合数列的单调性即可得出【详解】努力的你，未来可期!精品（1）由24(1)nnSa，1n 时，2114(1)aa，解得11a 2n时，221144()(1)(1)nnnnnaSSaa，化为：11()(2)0nnnnaaaa，数列na的各项均为正数，10nnaa，12nnaa，数列na为等差数列，首项为 1，公差为 2 12(1)21nann 数列 nb满足12b，24b，且等式211nnnbbb对任意2n成立 数列 nb是等比数列，首项为 2，公比为422 2nnb 2,212,2nnn nkcnk，*kN 212(121)2(21)2222 1nnnnnTn（2）nnTc，2nk时，21222kkk的最小值，212222()222kkkkkf k，2k时单调递减，22225()222f k 1k 时，f（1）142322 32 21nk时，11nnnTcc的最小值，同理可得：1 综上可得：实数的取值范围是1【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单努力的你，未来可期!精品 调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题