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1、2019-2020 学年安徽省宣城市高一下学期期末调研考试数学（理）试题20207 考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150 分，考试时间120 分钟2考生作答时，请将答案答在答题卡上第卷毎小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用直径05 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4本卷命题范围：人教版必修2 第一、二章，必修4 第三章和必修5（除线性规划）第卷（选择题共60 分）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1关于 x 的不等式2(1)10(0)axaxa的解集为（）A11xxaB11 x xxa或C11x xxa或D11xxa2已知1sin 30cos3，则sin 230（）A79B79C4 39D4 393在正三棱柱111ABCA B C中，M 为侧面11ABB A的中心，N 为侧面11ACC A的中心，P 为 BC 的中点，则直线 MN 与直线 AP 所成的角为（）A0B45C60D904数列na的前 n 项和为*(21)nSnnnN，若173aaka，则实数k 等于（）A2 B3 C269D2595人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0.61
3、8 是黄金分割比512m的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72，则2242cos 271mm（）A4 B51C2 D516一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A93B83C10 D1237已知ABC中，角 A，BC 的对边分别为a，b，c，2sinsinsinBCA，13acca则B（）A56B16C3D28已知m，0n，4121mn，则mn的最小值为（）A72B 7 C8 D4 9在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c若tan7C，5 2cos8A，3 2b时，则ABC的面积为（）A3 7B3 72C3 74D3 7810 已知数列na满足：11a，22*
4、1(21)(21)nnnananN 正项数列nc满足：对于每个*nN，21nnca，且21nc，2nc，21nc成等比数列，则21nc的前几项和为（）A1nnB221nnC21nnD121n11ABC中角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a，b，c 成等差数列，且2CA，若 AC 边上的中线792BD，则ABC的周长为（）A15 B14 C16 D12 12 如图，在三棱锥PABC中，PA平面 ABC，ABBC，ADBP，PAAC 若三棱锥PABC外接球表面积为8，则三棱锥PACD体积的最大值为（）A24B12C34D23第卷（非选择题共90 分）二、填空题：本题共4 小题，每小题
5、5 分，共 20 分13若圆台的母线与高的夹角为3，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为_14设nS是等比数列na的前 n 项和，*422nnnSSSnN，且12S，则20202021aa_15已知2*2020,nantnnN tR，若数列na中最小项为第3 项，则t_16在ABC中，coscos3AB，23AB当sinsinAB取最大值时，ABC的外接圆半径为 _三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（本小题满分10 分）已知在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 E，ADE为正三角形，1CE，ACD的面积为3 32（1）
6、求 CD 的长；（2）若12BAC，求ABC的面积18（本小题满分12 分）已知函数26()sincos4343f xxx（1）求函数()f x在区间3,32上的最值（2）若4cos5，3,2，求23f的值19（本小题满分12 分）如图，在三棱锥DABC中，已知BCD是正三角形，AB平面 BCD，ABBCa，E 为 BC 的中点，F 在棱 AC 上，且3AFFC（1）求证：AC平面 DEF（2）若 M 为 BD 的中点，问AC 上是否存在一点N，使MN 平面 DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，请说明理由20（本小题满分12 分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产
7、，为抗击疫情做贡献生产口罩的固定成本为 200 万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x万元，当产量不足90 万箱时，21()402p xxx；当产量不小于90 万箱时，8100()1012180p xxx，若每箱口罩售价100 元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？21（本小题满分12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为 AD 上一点，2AMMD，N 为 PC 中点（1）证明：MN 平面 PAB；（
8、2）求点 A 到平面 PMN 的距离；（3）求直线AN 与平面 PMN 所成角的正切值22（本小题满分12 分）已知等差数列na满足54a，69218aa，数列nb的前 n 项和为nS，满足21nnSb（1）求数列na与nb的通项公式；（2）若任意*nN，1 122(2)2nna ba ba bnt恒成立，求实数t 的取值范围宣城市 20192020 学年度第二学期高一期未调研测试数学（理科）参考答案、提示及评分细则1A 由2(1)10(0)axaxa，得11xxa，故选 A2B 由1sin 30cos3，得131cossincos223，化简得1sin303sin 230sin 26090c
9、os 26021712sin301299，故选 B3D MNBC，APBC，MNAP，故选 D4C(21)nSnn，数列na是首项为1 公差为4 的等差数列，43nan，1259k，得269k，故选 C5C 2222sin 905442cos 7244cos 722sin1442cos5422cos 271cos54cos54cos54cos54mm，故选 C6D 由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2 的正三棱锥砍去一个三棱锥得C 到的几何体1 11111ABCCBC BpPC BACC PABBSSSSSS矩形梯形梯形3114222(21)2512312422故选 D7B 2si
10、nsinsinBAC，21bac，22213acacbcaac，3cos2B，6B故选 B8A 由4121mn知1411147(1)1(1)1412121212mnmnmnmnmnnm当且仅当2m，2n时等号成立，故选A9B 因为sintan7cosCCC，且22sincos1CC，解得14sin4C，2cos4C，又5 2cos8A，所以14sin8A，故3 7sinsin()sin()8BACAC，因为sinsinabAB，3 2b，故2a，故11143 7sin23 22242ABCSabC，故选 B10 C 由212(21)(21)nnanan和累乘法可以知道2(21)nan，所以22
11、1(21)nncan，又21nc，2nc，21nc成等比数列，所以2241ncn，所以22,1,nnncnn为奇数为偶数，所以22211111111112141(2)12335212121nnnnn故选 C11A 由 a，b，c 成等差数列知2bac，又2CA，所以sinsin22sincosCAAA，所以2223bcabaca，所以32ca，54ba若 AC 边上的中线为792BD，所以2225379242aaa（也可以用余弦定理列方程），所以4a，5b，6c，所以ABC的周长为15故选 A12 D 设ABa，BCb，由三棱锥PABC外接球的表面积为8，得外接球的半径2R，又PA平面 ABC
12、，ABBC，所以22222222(2)8ABBCAPACAPAPR，所以2AP，所以224ab因为PA平面 ABC，ADBP，所以24PBa，224aBDa，过 D 作DEAB，垂足为 E，则DE平面 ABC，所以DEPA，所以DEBDPAPB，所以2224aDEa，22112()2364PACDPABCDABCABCaVVVSPADEaba22244442233 43 26 23abababaabba，当且仅当2abba，即233a，2 63b时，等号成立，三棱锥PACD体积的最大值为2，故选 D134 33设上、下底面半径分别为R、r，圆台高为h，根据轴截面可知tan3Rrh，即43h，所
13、以4 33h14 0 或4 设 等 比 数 列na的 公 比 为q，由422nnnSSS，得422nnnnSSSS，即4321nnnnaaaa，所 以22121nnnnqaaaa，若210nnaa，则1q，此 时12(1)nna；若210nnaa，则1q，此时2na，所以202020210aa或者202020214aa15(5,7)由题意和数列图象可以知道57222t，所以(5,7)t16 2 设sinsinABt，所以222223sin2sinsinsincos2coscoscos22cos()tAABBAABBAB，所以21cos()2tAB，所以当AB时，max1t，23C，此时ABC的
14、外接圆半径为2 32317解：（1）设ADx，则1ACx，3 32ACDS，1133 3sin(1)2222AD ACDACxx2x或3x（舍），即2AD；2分在ACD中，222221,2cos602322 372CDACADAC AD，7CD5分（2）12BAC，23AEB，4ABE在ABE中，由正弦定理得sinsinABAEAEBABE，6AB7 分62sinsinsin12464BAC8 分116293 3sin6 3212244ABCSAB AC10 分18解：26213()sincossincos434322323f xxxxx22sin23x3 分因为3,32x，所以25,336x
15、，23sin,132x4 分所以2226sin,2324x，故函数()f x在区间3,32的最大值为64，最小值为226分（2）因为4cos5，3,2，所以3sin5，所以24sin22sincos25227cos2cossin258 分所以2222sin 2sin 2323323f213224677 6242sin 2cos222242542510012 分19解：（1）取 AC 的中点 H，ABBC，BHAC3AFFC，F 为 CH 的中点E 为 BC 的中点，EFBH则EFACBCD是正三角形，DEBCAB平面 BCD，ABDEABBCB，DE平面ABCDEAC4分DEEFE，AC平面D
16、EF 6分（2）存在这样的点N，当38CNCA时，MN 平面 DEF 连 CM，设CMDEO，连 OF由条件知，O 为BCD的重心，23COCM当23CFCN时，MNOF，313248CNCACA12分20解：（1）当090 x时，2211100402006020022yxxxxx；当90 x时，8100810010010121802001980yxxxxx3分2160200,090281001980,90 xxxyxxx5 分（2）当090 x时，221160200(60)160022yxxx，当60 x时，y 取最大值，最大值为1600 万元；8 分当90 x时，8100810019801
17、98021800yxxxx，当且仅当8100 xx，即90 x时，y 取得最大值，最大值为1800 万元11分综上，当产量为90 万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800 万元12 分21证明：（1）取 PB 中点 G，连接 AG，NG，N 为 PC 的中点，NGBC，且12NGBC，1分又223AMAD，4BC，且ADBCAMBC，且12AMBC，则NGAM且NGAM，2 分四边形 AMNG 为平行四边形，MNAG，又AG平面 PAB，MN平面 PAB，MN 平面 P AB4 分解：（2）取 BC 的中点 H，连接 AH，ABAC，AHBC且5AH，四边形AHCM 是矩形
18、，CMAM，PACM，PA，AM平面 PAM，PAAMA，CM平面 PAM，且5CMAH，过点A 作AF平面 PMN 于 F，则 AF 即为点 A 到平面PMN的距离6 分PACMA PCMVV，1133ACMPCMSPASAF，点 A 到平面 PMN 的距离4 55AF9 分（3）连接 AN，NF，由（2）知ANF即为直线 AN 与平面 PMN 所成的角，在RtPAC中，4PA，3AC，5PC，又 N 是 PC 的中点，1522ANPC，30110NF，直线AN 与平面 PMN 所成角的正切值为8tan6161AFANFNF12 分22解：（1）设数列na的公差为d，则114431818ad
19、ad解得101ad所以1(1)1naandn2 分对于数列nb，当1n时，11121bSb，所以11b当2n时，由21nnSb，可知1121nnSb，-得122nnnbbb，即12nnbb，故nb是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nnb（2）设1 122nnnTa ba ba b，由（1）知，当1n时，10T，5 分当2n时，2211222(2)2(1)2nnnTnn，23121222(2)2(1)2nnnTnn，-得21222(1)2nnnTn6 分22(1)2(2)2212nnnnTnn，(2)22nnTn，当1n时也符合该式，所以(2)22nnTn，7 分故题中不等式可化为(2)2(2)nnnt，(*)8 分当1n时，不等式(*)可化为2t，2t，9分当2n时，不等式(*)可化为0 0，此时tR，10 分当3n时，不等式(*)可化为2nt，因为数列2n是递增数列，所以8t11分综上，实数t 的取值范围是2,812分