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1、1 第五章第五节数列的综合问题一、选择题1 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Snn90(21nn2 5)(n1,2，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是()A5、6 月B 6、7 月C7、8 月D 8、9 月2已知等差数列an的前n项和为Sn，若OBa100OAa101OC，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A100 B 101 C200 D 201 3在数列 an中，对任意nN*，都有an 2an1an1ank(k为常数)，则称 an 为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断：k
2、不可能为0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为anabnc(a0，b0,1)的数列一定是等差比数列其中正确的判断为()4已知 an 为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A 110 B 90 C90 D 110 5已知x 1，y1，且14lnx，14，lny成等比数列，则xy()A有最大值e B 有最小值e C有最大值e D 有最小值e 6已知数列 an，bn满足a11，且an，an 1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于()A24 B32 C48 D64 二、填空题2 7若数列 an
3、满足1an11and(nN*，d为常数)，则称数列 an 为调和数列 记数列 1xn为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16_.8设 1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为 1 的等差数列，则q的最小值是 _9 已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列 an 满足anf(2n)(nN*)，且a12.则数列的通项公式为an _.三、解答题10已知函数f(x)ax的图象过点(1，12)，且点(n1，ann2)(nN*)在函数f(x)ax的图象上(1)求数列 an 的通项公式；(2
4、)令bnan112an，若数列 bn 的前n项和为Sn，求证：Sn1.5，得 6n9.答案：C 2解析：OBa100OAa101OC且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，a100a1011，S200200a1a2002100(a1a200)1001 100.答案：A 3ABCD解析：若k0 时，则an2an10，因为an2an1可能为分母，故无意义，故k不可能为 0，正确；若等差、等比数列为常数列，则错误由定义知正确答案：D4解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以a27a3a9，又因为公差为2，所以(a112)2(a14)(a116)，解得a120，通项公式为an20(n1)(2)222
5、n，所以S1010a1a1025(20 2)110.答案：D 5解析：14lnx，14，lny成等比数列，14lnxlny，x1，y1，lnx0，lny0.lnx lny2lnxlny 1(当且仅当lnxlny时等号成立)，4 即 lnxlnylnxy的最小值为1，故xy的最小值为e.答案：B 6解析：依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得an2an2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a1022432，a1112532，又因为anan 1bn，所以b10a10a1164.答案：D 二、填空题7解析：由题意知，11xn1
6、11xnd，即xn1xnd，xn 是等差数列，又x1x2x20200，所以x5x16x1x2020.答案：20 8 解析：设a2t，则 1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，t 1，3t2，故q的最小值是33.答案：33 9解析：令x2，y2n 1，则f(xy)f(2n)2f(2n 1)2n1f(2)，即f(2n)2f(2n1)2n1a1，即an2an1 2n，an2nan12n11，所以数列 an2n 为等差 数列，由此可得ann2n.答案：n2n三、解答题10解：(1)函数f(x)ax的图象过点(1，12)，a12，f(x)(12)x.又点(n1，ann2)(n N*)在函数f
7、(x)ax的图象上，从而ann212n1，即ann22n1.(2)由bnn122nn22n2n12n得，Sn325222n12n，则12Sn3225232n12n2n12n 1，两式相减得：12Sn322(12212312n)2n12n 1，5 Sn52n52n，Sn5.11解：(1)当n6 时，数列 an 是首项为 120，公差为 10 的等差数列，an 12010(n1)13010n；当n7 时，数列 an是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a670，所以an 70(34)n6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an13010n，n6，7034n6，n7.(2)设Sn表示数列 an
8、的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当 1n6 时，Sn 120n5n(n 1)，An 1205(n1)1255n；当n7 时，由于S6 570，故SnS6(a7a8an)570703441 (34)n6 780210(34)n 6，An78021034n6n.因为 an是递减数列，所以An是递减数列，又A87802103428824764 80，A9780210343976799680，所以须在第9 年初对M更新12解：(1)设数列 an的公比为q(q0)，由题意有a1a1q210a1q2a1q440，a1q2，an 2n，6 bnn.(2)c113，cn1cnn2n，当n2时，cn(cncn 1)(cn 1cn 2)(c2c1)c1 112222n12n1，12cn12122223n12n.相减整理得：cn111212n2n 12n13n12n 13，故cn3.(3)令f(n)1bn11bn21bnn1n11n212nf(n 1)f(n)12n112n21n112n112n20，f(n 1)f(n)数列 f(n)单调递增，f(n)minf(1)12.由不等式恒成立得：k1012，k5.故存在正整数k，使 不等式恒成立，k的最大值为4.