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1、第 1 页 共 21 页2019-2020 学年江苏省扬州市高一下学期期末数学试题一、单选题1直线310 xy的倾斜角为（）A6B3C23D56【答案】A【解析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由直线310 xy，则3333yx，设直线的倾斜角为，所以3tan3，所以6.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.2已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若60,3Aa，则sinsinbcBC等于（）A12B3C32D2【答案】D【解析】利用正弦定理可求sinsinbcBC的值.【详解】因为6
2、0,3Aa，故32sinsinsinsinsin32abcbcABCBC.第 2 页 共 21 页故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，注意在ABC中，sinsinsinsinsinsinabcabcABCABC，最后一个关系式应用了比例的性质（等比定理）.3已知以4,3C为圆心的圆与圆221xy相内切，则圆C的方程为（）A224336xy=B224316xyC224336xyD224316xy【答案】C【解析】先判断点4,3C在圆221xy的外部，然后设所求圆的半径为r，再由221435r求解.【详解】因为2243251，所以点4,3C在圆221xy的外部，设以4,3C为圆心的圆的半径为：r，
3、则221435r，解得6r，所以所求圆的方程为：224336xy.故选：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4如图，在正方体1111ABCDA B C D中，二面角1DBCD的大小为（）A6B4C3D2第 3 页 共 21 页【答案】B【解析】根据 BC 平面11CDD C，可知1BCCD，同时BCCD，可知二面角1DBCD的平面角为1DCD，即可得结果.【详解】由题可知：在正方体1111ABCDA B C D中，BC 平面11CDD C由1CD平面11CDD C，所以1BCCD，又BCCD所以二面角1DBCD的平面角为1DCD，因为1=CD DD
4、，则1=4DCD故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题.5若128,xxx的方差为3，则1282,2,2xxx的方差为（）A6B2 3C6D12【答案】D【解析】本题可根据128,xxx的方差为3以及方差的计算公式得出结果.【详解】因为128,xxx的方差为3，所以1282,2,2xxx的方差为23 212，故选：D.【点睛】本题考查方差的相关性质，若128,xxx的方差为k，则128,nx nxnx的方差为2kn，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.6 已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的
5、高为（）A5B4 2C2 15D8【答案】B 第 4 页 共 21 页【解析】由题意可求得球的表面积，设圆锥高为h，进而可表示出母线l，由圆锥侧面展开图为扇形，根据扇形面积公式，可求得圆锥的侧面积，加上底面圆的面积，即可表示出圆锥的表面积，结合题意可求得高h 的值.【详解】由题意可得球的表面积2244216Sr，设圆锥的高为h，则圆锥的母线24lh，则圆锥的侧面积2=24Srlh扇，所以圆锥的表面积2242416SrSh锥扇，解得4 2h.故选B.【点睛】本题考查球及圆锥的表面积的求法，需熟记各个几何体的面积公式及求法，属基础题.7已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若2
6、cosaCb，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】C【解析】利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式即可判断.【详解】由2 cos2sincossinaCbACB2sincossin()sin()ACACAC2sincossincoscos sinACACACsincoscossinACACsincoscossin0ACACsin0ACAC.所以ABC的形状一定是等腰三角形.故选：C【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.8 已知平面、平面、平面、直线a以及直线b，则下列命题说法错误的是（）第 5 页 共
7、 21 页A若/,ab，则 abB 若/,ab，则/abC若/,a，则aD若,，则/【答案】D【解析】本题首先可通过线面平行、线面垂直、面面平行的性质判断出选项A、B、C是正确的，然后绘出正方体ABCDEFGH，再然后令平面ABCD是平面、平面ADHE是平面以及平面CDHG是平面，最后结合图像即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为/a，b，所以ab，ab，故 A 正确；B 项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行，所以根据/、a、b可证得/ab，故 B 正确；C 项：因为a，所以a垂直于平面内的两条相交直线，因为/，所以平面内的两条相交直线必与平面内的两条相交直线对应平行，所以a垂
8、直于平面内的两条相交直线，a，故 C 正确；D 项：如图所示，绘出正方体ABCDEFGH，令平面ABCD是平面，平面ADHE是平面，平面CDHG是平面，则满足，但是/不成立，故D 错误，故选：D.【点睛】本题考查直线与直线、平面与平面之间位置关系的判断，考查两直线平行或垂直的判定，考查两平面垂直或平行的判定，考查推理能力，可结合图形解题，是简单题.9在ABC中，点D在边BC上，且满足223tan2tan30ADBDCDBA，则B的大小为（）A6B3C4D512第 6 页 共 21 页【答案】C【解析】根据题意画出图形，设1DAC，在相应三角形中应用正弦定理得到等量关系式，化简得到tan3tan
9、BA，与已知条件联立，求得tan1B，利用三角形内角的取值范围，求得角的大小.【详解】设1DAC，因为ADBD，所以BADB，因为2ADBDCD，2BDADCDCD，1=AB，()CAB，sinsin()tantan2sin1sin()tantanADCABABCDABAB，化简得tan3tanBA，又因为23tan2tan30BA，所以有23tan6tan30BB，解得tan1B，又因为(0,)B，所以4B，故选：C.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，属于简单题目.二、多选题10已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b
10、 c，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A22120a,b,BB2345a,b,BC3,3,60bcBD2 3,10,60abB【答案】BD 第 7 页 共 21 页【解析】直接利用正弦定理求出相应角的正弦值，再根据大边对大角得到结论.【详解】A.因为22120a,b,B，由正弦定理得：sinsinabAB，所以2120624asin Bsinsin Ab，因为ab，所以120AB即 A 为锐角，只有一解；B.因为2345a,b,B，由正弦定理得：sinsinabAB，所以245633asin BsinsinAb，因为 ab，所以45AB，即 A 为锐角或钝角，有两解；C.因为3,3,60b
11、cB，由正弦定理得：sinsincbCB，所以360132c sinBsinsinCb，因为bc，所以60CB，即 C 为锐角，有一解；D.因为2 3,10,60abB，由正弦定理得：sinsinabAB，所以sin2 3sin603 10sin1010aBAb，因为 ab，所以60AB即 A 为锐角或钝角，有两解.故选：BD【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形解的个数问题，还考查了运算求解，分析问题的能力，属于中档题.第 8 页 共 21 页11已知直线l与圆22:240C xyxya相交于,A B两点，弦AB的中点为0,1M，则实数a的取值可为（）A1B2C3D4【答案】AB【解析】考虑
12、M点在圆内时实数a的取值范围，从而可得正确的选项.【详解】圆C的标准方程为：22125xya，故5a.又因为弦AB的中点为0,1M，故M点在圆内，所以2201125a即3a.综上，3a.故选：AB.【点睛】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.12 如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，6AP，ABa.若在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为3.则实数a的值为（）A1B2C3D4【答案】ABC【解析】由题，可算得2 3AQ，在直线BC
13、上存在两个不同点Q，使得直线PQ 与平面 ABCD 所成角都为3，等价于在直线BC 上有两个点到点A的距离为2 3，由此即可确定a 的取值范围.【详解】假设在直线BC 上有一点Q，使得直线PQ 与平面 ABCD 所成角为3，此时，易得第 9 页 共 21 页3PQA，在Rt APQ中，由于6AP，可得2 3AQ.所以，在直线BC 上存在两个不同点Q，使得直线PQ 与平面 ABCD 所成角都为3，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为2 3，由此可得02 3a.故选：ABC【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的存在性问题，考查学生分析问题的能力和转化能力，体现了数形结合的数学思想.三、填空
14、题13口袋中有若干红球?黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为_.【答案】0.8【解析】首先求摸出蓝球的概率，再根据互斥事件和的概率求解.【详解】口袋里摸出红球，摸出黄球，摸出蓝球是互斥事件，所以从口袋中摸出蓝球的概率是10.40.20.4，所以摸出红球或蓝球的概率是0.40.40.8P.故答案为：0.8【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.14已知点(1,3)A与直线:l340 xy，则点A关于直线l 的对称点坐标为_.【答案】(5,1)【解析】设点(1,3)A关于直线340 xy的对称点(,)A a b，利用垂直及中点在轴上这两个条件
15、，求出,a b的值即可.第 10 页 共 21 页【详解】设点(1,3)A关于直线340 xy的对称点(,)A a b，则由3(3)11133+4022baab，解得5,1ab，故点(5,1)A，故答案为：5,1.【点睛】本题主要考查了求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上两个条件及中点坐标公式，属于中档题.15 如图，为测量两座山顶之间的距离MC，已知山高5 2kmBC，7.5kmMN，从观测点A分别测得M点的仰角30,MANC点的仰角45CAB以及60MAC，则两座山顶之间的距离MC_km.【答案】5 7【解析】根据已知分别在,RtAMN RtABC中，求出,AM A
16、C，在AMC中，用余弦定理，即可求解.【详解】在RtAMN中，30,2157.5,MMANAMMNN，在Rt ABC中，45,2105 2,CABACBBCC，在AMC中，2222cosMCAMACAMACMAC2211510215 1017525 7()MCkm.第 11 页 共 21 页故答案为：5 7.【点睛】本题考查解三角形实际应用问题，涉及直角三角形边角关系以及余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.16如图，三棱锥BACD中，平面BCD平面ACD，0660CDBDC，若32BCBDACAD，则该三棱锥的体积的最大值为_.【答案】6 3【解析】利用余弦定理以及三角形的面积公式
17、求出BCD的面积，再以CD为x轴，CD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设出点,A x y，由2ACAD，利用两点间的距离公式求出y的最大值，由棱锥的体积公式即可求解.【详解】在BCD中，由0660CDBDC，3BCBD，设BDx，则3BCx，由余弦定理可得2233626cos60 xxx，解得3x，所以1139 3sin 603 62222BCDSDC DB，过A作APCD，垂足为P，因为平面BCD平面ACD，所以AP平面BCD，即AP为三棱锥BACD的高，以CD为x轴，CD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，第 12 页 共 21 页则3,0C，3,0D，设,A x y，由2ACAD，则22
18、22323xyxy，整理可得22221090,516xyxxy，当5x时，y取得最大值4，所以三棱锥的体积的最大值为146 33BACDBCDVS，故答案为：6 3【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、锥体的体积公式，属于中档题.四、解答题17已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，2coscoscosA cBbCa（1）求角A；（2）若2 3a，ABC的面积为3，求ABC的周长.【答案】（1）3；（2）2 32 6.【解析】(1)首先可以根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换将2coscoscosA cBbCa转化为1cos2A，然后根据0,A即可求出角的值；(2)首先可根据解三角
19、形面积公式得出4bc，然后根据余弦定理计算出2 6bc，即可求出ABC的周长.【详解】(1)由已知及正弦定理得：第 13 页 共 21 页2cosA sinC cosBsinBcosCsin A，2cossinsinABCA，因为,A B C是ABC的内角，所以sinsinsinBCAA，2cossinsinAAA，因为sin0A，所以1cos2A，因为0,A，所以3A，(2)因为1sin2ABCSbcA，所以1sin323bc，4bc，由已知及余弦定理可知：2 3a，2222cosabcbcA，故21222cos3bcbcbc，解得2 6bc，ABC的周长为2 32 6.【点睛】本题考查三角
20、恒等变换以及解三角形的相关公式的使用，考查的公式有sinC cosBsinBcosCsin BC、2222cosabcbcA、1sin2ABCSbcA，考查正弦定理边角互化的应用，考查化归与转化思想，是中档题.18已知矩形ABCD的两条对角线相交于点1,0E，AD边所在直线的方程为220 xy.点2,1F在AB边所在直线上.求：（1）AB边所在直线的方程；（2）CD边所在直线的方程.【答案】（1）240 xy；（2）220 xy.【解析】（1）由ABCD为矩形，得ADAB，故12ABk，点2,1F在AB边所在直线上，点斜式写出AB边所在直线的方程；（2）方法一：设直线CD的方程为20 xym.
21、由点E到,AB CD的距离相等，求出m，即得直线CD的方程.方法二：由直线AB、AD的方程联立，求出点A的坐标，求出点A关于点E的对称点C的坐标.由/AB CD，即可求出直线CD的方程.【详解】（1）ABCD为矩形，ADAB.AD边所在的直线方程为：220 xy，第 14 页 共 21 页AB所在直线的斜率为12ABk，21F,在AB边所在直线上，AB边所在直线的方程为1122yx，即240 xy.（2）方法一：ABCD为矩形，/AB CD.设直线CD的方程为20 xym.矩形ABCD的两条对角线相交于点1,0E，点E到,AB CD的距离相等，即131414m，解得2m或4m(舍).CD边所在
22、的直线方程为220 xy.方法二：由方程240 xy与220 xy联立得0,2A，点A关于点E的对称点2,2C./AB CD，CD边所在的直线方程为220 xy.【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.19某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100 分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组0,20)，第二组20,40)，第三组40,60)，第四组60,80)，第五组80,100，得到频率分布直方图，如图所示.（1）求所打分数不低于60 分的患者人数；第 15 页 共 21 页（2）该医院在第二
23、?三组患者中按分层抽样的方法抽取6 名患者进行深入调查，之后将从这 6 人中随机抽取2 人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.【答案】（1）65人；（2）815.【解析】（1）由直方图，求出打分值60 100,的频率，根据总人数为100即可求解.（2）由直方图求出第二组和第三组的人数之比为1：2，利用列举法求出6 人中随机抽取 2 人的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由直方图知，所打分值60 100,的频率为0 0175 200 0150 200 65.，人数为100 0.6565(人)答：所打分数不低于60 分的患者的人数为65人.（2）由直方
24、图知，第二?三组的频率分别为0.1和 0.2，则第二?三组人数分别为10 人和 20 人，所以根据分层抽样的方法，抽出的6 人中，第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2 人，记为,A B；第三组有4 人，记为a b c d,.从中随机抽取2人的所有情况如下：,ab,ac,ad,bc,bd,cdAB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd共 15 种其中，两人来自不同组的情况有：,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd共 8 种两人来自不同组的概率为815答：行风监督员来自不同组的概率为815.【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样、古典概型的概率计算公式，属于基础题
25、.20如图，在直三棱柱111ABCA B C中，12ACBCCCa，2ACB，点D为BC中点，连接1AC?1AC交于点E，点F为1DC中点.第 16 页 共 21 页（1）求证：/EF平面ABC；（2）求证：平面1ACB平面1AC D；（3）求点C到平面1AC D的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）63a.【解析】（1）利用三角形的中位线性质可得/EFAD，然后再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）根据题意可证11A CAC，BC 1AC，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可证出.（3）方法一：利用等体法11CACDCAC DVV即可求解；方法二：利用综合法，作CGA
26、D，垂足为G，连接1C G，作1CHC G，垂足为H，证出CH为点C到平面1AC D的距离，在直角1C CG中，求解即可.【详解】（1）直三棱柱111ABCA B C，四边形11ACC A为平行四边形E为1AC的中点F为1DC的中点，/EFAD又EF平面ABC，AD平面ABC，/EF平面ABC（2）四边形11ACC A为平行四边形，1ACCC平行四边形11ACC A为菱形，即11A CAC三棱柱111ABCA B C为直三棱柱1C C平面ABCBC平面ABC1C CBC，第 17 页 共 21 页2ACBBCACBC1C C，1C CACC，1,C CAC平面11ACC ABC平面11ACC
27、A1AC平面11ACC A，BC1AC，11A CAC，1BCACC，,BC1AC平面1ACB，1AC平面1A CB，1AC平面1AC D，平面1AC D平面1ACB（3）法一：(等体积法)连接DE，设点C到平面1AC D的距离为h1C C平面ABC，CA,CD平面ABC，11C CCA,C CCD，1C C为三棱锥1CACD高，在直角1C CA中，12ACCCa，122ACa.在直角1C CD中，12CDa,CCa，15CDa.在直角ACD中，2CDa,ACa，5ADa，2ACDSa.在等腰1AC D中，11522DADCa,ACa，3DEa，126DACSa11CACDCAC DVV，11
28、1133ACDAC DC CShS222636aahaa点C到平面1AC D的距离为63a第 18 页 共 21 页方法二：(综合法)作CGAD，垂足为G，连接1C G，作1CHC G，垂足为H.1C C平面ABC，AD平面ABC1C CADCGAD，1CGC CC，1CG,C C平面1C CGAD平面1C CGCH平面1C CGADCH1CHC G，1ADC GG，1C G,AD平面1AC D，CH平面1AC D，即CH为点C到平面1AC D的距离，在直角ACD中，25aCG；在直角1C CG中，1225aC Ca,CG，1122653245aaC CCGCHaC Ga点C到平面1AC D的
29、距离为63a.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离，属于中档题.21如图，我炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设于,C D.已知ACD为正三角形.当目标出现于B时，测得1BC千米，2BD千米.第 19 页 共 21 页（1）若测得60DBC，求ABC的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？【答案】（1）34；（2）目标B是在我方炮火射程范围内.【解析】（1）在BCD中，由余弦定理求得CD，则有222BDCDBC，得到2BCD，然后由1sin223ABCSCACB求解.（2）设CBD,CDB，在
30、BCD中，由余弦定理得到2254cosCDAD，在ABD中，由余弦定理得到22223ABBDADBDADcos，将 BD，AD 代入利用三角恒等变换化简得到2546ABsin，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）在BCD中，由余弦定理得：2222CDBCBDBD BC cosDBC，21423CD，222BDCDBC，2BCD，1313sin2234ABCS.（2）设CBD,CDB在BCD中，254cosCD，1CDsinsin，第 20 页 共 21 页sinsinCD，在ABD中，22223ABBDADBDADcos，9422 3cosAD cosAD sin，294212 3cosA
31、Dsinsin229422 3cosADsinsin，942 22 3coscossin，5496sin(当且仅当23时，AB取到最大值)max3AB4，在射程范围内.答：目标B 在我方炮火射程范围内.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22已知圆2221:()(0)Cxayrr，圆心1C在直线240 xy上，且直线340 xy被圆1C截得的弦长为2 3.（1）求圆1C的方程；（2）过圆222:(6)4Cxy上任一点00,Q xy作圆1C的两条切线，设两切线分别与y轴交于点M和N，求线段MN长度的取值范围.【答案】（1）22(2)4xy
32、；（2）422,63.【解析】（1）由圆心在直线上可知a，利用弦心距、半径、半弦长的关系即可求出半径，得到圆的方程；（2）设切线方程为00yk xxy，求出 M，N，表示出210MNkk x，利用圆心到切线的距离等于半径可得002221kkxyk，化简可得1212,kkk k，代入210MNkk x，换元02xt，求值域即可.【详解】（1）圆心1,0Ca在直线240 xy上2a第 21 页 共 21 页圆心1C到直线340 xy的距离24113d直线340 xy被圆1C截得的弦长为22321r，即2r圆1C的方程22(2)4xy（2）设过点Q的圆1C的切线方程为00yk xxy，则002221
33、kkxyk，整理?化简成关于k的方程22200000044240 xxkyx yky，判别式2222200000000042444161664yx yyxxxyx，220000002004216166424yx yxyxkxx.直线00yyk xx与y轴的交点为000,ykx设01002 00,0,Myk xNyk x，则210MNkk x，而21,kk是方程的两根，则220002100444xyxMNkkxx，又220064xy，000004 1632162|4,844xxMNxxx令022,6xt t，21616|66tMNttt由于函数6tt在区间2,6是单调递减，所以maxmin4|6,|2 23MNMN，422,63MN【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法，圆的弦的性质，圆的切线，点到直线的距离，考查了推理能力，运算能力，属于难题.