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1、数轴与相反数（提高）【学习目标】1熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用；2理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简；5.通过例子，体会数形结合的思想.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位有km、m、dm、cm等（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但
2、一经选定就不能改动2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）“0 的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；（4）求一个数的
3、相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-(-4)=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4.要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“”，仍然与原数相同，如55，（5）5.（2）在一个数的前面添上一个“”，就成为原数的相反数.如（3）就是 3 的相反数，因此，（3）3.【典型例题】类型一、数轴的概念1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的
4、大街上，小明家位于学校西边 30 米处，书店位于学校东边100 米处，小明从学校沿这条大街向东走了40 米，接着又向西走了100 米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20 米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可.举一反三：【变式】如图为北京地铁的部分线路假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位
5、长现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为_，古城站表示的数为_；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为_【答案】3，-5，8类型二、相反数的概念2（2016?哈尔滨模拟）在数轴上到表示3 的点距离为5 个单位长度的正数是（）A 2 B 8 C 2 或 8 D5【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个，分别在该点的两侧，本题正确选项必须符合两个条件，所以借助数轴分析即可求解.【答案】B【解析】解：因为在数轴上到表示3 的点距离为5 个单位长度的点有两个:A 和 B，如下图所示：而点 A表示的数为2，点 B表示的数为8，又因为 8 为正数，故正确答案选:B.【
6、总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系，借助数轴分析求解比较好举一反三：【变式 1】(1)如果 a 13，那么 a _；(2)如果a 5.4，那么 a _；(3)如果 x 6，那么 x_；(4)x9，那么 x_.【答案】（1）13；（2）；（3）6；（4）-9【变式 2】4 的倒数的相反数是（）A 4 B4 CD【答案】D【变式 3】填空：(1)(2.5)的相反数是；(2)是-100 的相反数；(3)是的相反数；(4)的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数；（6）a 和互为相反数.（7）_的相反数比它本身大，_ 的相反数等于它本身【答案】(2.5)；100；1.
7、1；-8.2；-a；负数；0 3已知互为相反数，则【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.【总结升华】若互为相反数，则或.举一反三：【变式】已知与互为相反数，求的值.【答案】因为互为相反数的两个数的和为0，所以，解得：.类型三、多重符号的化简4化简：（1）+（+3）；（2）（|3|）【解析】解：（1）原式=+3=3=3；（2）原式=（3）=+3=3=3【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单即数一下数字前面有多少个负号若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负5.44141155155,m n2223mnmn0mn0202,m n0mnmn21m17
8、2mm1(21)(7)02mm4m举一反三：【变式】当+6前面有 2011 个正号时，化简结果为：；当+6 前面有 2011个负号时，化简结果为：；当+6前面有 2012 个负号时，化简结果为：.【答案】6；-6；6 类型四：利用数轴比较大小5若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“”或“”填空p_q；p_0；p_q；p_q；【答案】;【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p,-q均表示在数轴上，如下图：然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0 的正数，而原点左边的点表示小于0 的负数，可得上述答案.【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都
9、大于0；负数都小于 0；正数大于一切负数.举一反三：【变式】（2015?东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）A.点 B与点 D B.点 A与点 C C.点 A与点 D D.点 B与点 C【答案】C.类型五、数形结合的应用6点 A在数轴上，若将A向左移动4 个单位长度，再向右移动2 个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律：左减右加【答案与解析】解：如图所示，B点表示 A点移动后的位置则AB 2因为 A、B表示一对相反数所以原点 O是 AB的中点，AO OB，所以 A点表示 1【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.