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1、1【三维设计】2013 届高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列六 方程思想在平面向量中的应用2 新人教版平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思考，一是利用“数”的特征，我们可以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问题来解决；二是利用其“形”的特征，可以通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果.典例 (2012江西高考)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2|PB|2|PC|2()A2 B4 C5 D10 1特殊化法该题是一道选择题，可以根据
2、选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果 解析 设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图所示，以C为原点建立平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,4)，因为D为AB的中点，所以D(2,2)因为P为CD的中点，所以P(1,1)，PC(1，1)，PA(3，1)，PB(1,3)2 故|PC|212 12 2，|PA|232(1)210，|PB|2(1)23210，所以|PA|2|PB|2|PC|220210.答案 D 题后悟道 该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现“与两直角边的长度有关”，则该题就不能采用特
3、殊化法进行验证了2向量基底法在ABC中，CA，CB是两直角边，可以先把两个向量CA，CB作为一组基底，然后利用平面向量基本定理表示目标向量，再进行运算即可 解析 如图所示，取相互垂直的两个向量CAa，CBb作为平面向量的基向量，显然ab0.则在ABC中，BAab，因为D为AB的中点，所以CD12(ab)因为P为CD的中点，所以PC12CD1212(ab)14(ab)在CBP中，PBPCCB14(ab)b14a34b，在CAP中，PAPCCA14(ab)a34a14b.所以|PC|2 14ab2116(a2b22ab)116(|a|2|b|2)，|PB|2 14a34b2116a2916b238
4、ab116|a2|916|b|2，|PA|234a14b2916a2116b238ab916|a|2116|b|2.故|PA|2|PB|2|PC|2916|a|2116|b|2116|a|2916|b|2116|a|2|b|210.答案 D 3 题后悟道 利用向量的线性运算和平面向量基本定理，首先用a和b表示出PC，进而求出PA和PB.3坐标法我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证 解析 如图所示，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别作为x轴，y轴建立平面直角坐标系设|CA|a，|CB|b，则A(a,0
5、)，B(0，b)，因为D为AB的中点，则Da2，b2，因为P为CD的中点，则Pa4，b4，PCa4，b4，PB a4，3b4，PA3a4，b4.所以|PC|2 a42 b42a216b216，|PB|2a423b42a2169b216，|PA|23a42 b429a216b216.所以|PA|2|PB|2a2169b2169a216b21610a216b21610|PC|2.所以|PA|2|PB|2|PC|210.答案 D 题后悟道 利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征