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1、2018-2019 学年沈阳市郊联体2017 级高二下学期期末考试数学（理）试卷祝考试顺利一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.）1.若复数z满足12izi，则在复平面内，复数z对应的点的坐标是（）A.12，B.21，C.12，D.21，【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【详解】由题意 i z 1+2i，iz（i）（1+2i）?（i），z2i 则在复平面内，z所对应的点的坐标是（2，1）故选：D 2.若集合120Axxx，ln0Bxx，则 ABI（）A.12xxB.11xxC.12xxD.21xx【答
2、案】A【解析】【分析】分别化简集合 A和B，然后直接求解ABI即可【详解】12012Ax xxxx，ln01Bxxx x，12ABxx.3.函数24412xfxx的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可【详解】函数2441()2xf xx是偶函数，排除选项B，当 x=2 时，f（2）=15320，对应点在第四象限，排除A，C；故选：D 4.平面与平面平行的条件可以是（）A.内有无穷多条直线都与平行B.内的任何直线都与平行C.直线a，直线 b，且/,/abD.直线/,/aa，且直线a不在平面内，也不在平面内【答案】B【
3、解析】【分析】根据空间中平面与平面平行的判定方法，逐一分析题目中的四个结论，即可得到答案【详解】平面 内有无数条直线与平面 平行时，两个平面可能平行也可能相交，故 A不满足条件；平面 内的任何一条直线都与平面 平行，则能够保证平面 内有两条相交的直线与平面 平行，故 B满足条件；直线 a?，直线 b?，且 a，b，则两个平面可能平行也可能相交，故C不满足条件；直线 a，a，且直线 a 不在 内，也不在 内，则 与 相交或平行，故 D错误；故选：B.5.某快递公司的四个快递点,A B C D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆 10 辆因业务发展需要，需将,A B C D四个快递点
4、的快递车辆分别调整为 5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整 1 辆快递车辆，则A.最少需要 8 次调整，相应的可行方案有1 种B.最少需要 8 次调整，相应的可行方案有2 种C.最少需要 9 次调整，相应的可行方案有1 种D.最少需要 9 次调整，相应的可行方案有2 种【答案】D【解析】【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解【详解】（1）AD 调 5 辆，D C 调 1 辆，BC 调 3 辆，共调整：5139 次，（2）AD 调 4 辆，AB 调 1 辆，BC 调 4 辆，共调整：4149 次，故选：D 6.设函数()44xf x，则函数4xf的
5、定义域为（）A.(,1B.(,4C.01（，D.0 4（，【答案】B【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0 求得 f（x）的定义域，再由4x在 f（x）的定义域内求解 x 的范围得答案【详解】由 44x0，可得 x1由14x，得 x4函数 f（4x）的定义域为（，4 故选：B7.设0a，0b，则“lg()0ab”是“lg()0ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由lg()0ab，可推出1ab，可以判断出,a b中至少有一个大于1.由lg()0ab可以推出1ab，,a b与 1 的关系不确定，这样就可以选出正确答
6、案.【详解】因为lg()0ab，所以1ab，0a，0b，显然,a b中至少有一个大于1，如果都小于等于 1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于 1不符.由lg()0ab，可得1ab，,a b与 1 的关系不确定，显然由“lg()0ab”可以推出lg()0ab，但是由lg()0ab推不出lg()0ab，当然可以举特例：如23ab，符合1ab，但是不符合1ab，因此“lg()0ab”是“lg()0ab”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，由1ab，0a，0b，判断出,a b中至少有一个大于1，是解题的关键.8.已知 3ae，33log 5log 2
7、b，2ln3c，则a，b，c的大小关系为（）A.acbB.bcaC.cabD.cba【答案】C【解析】【分析】根据3logyx的单调性判断,a b的大小关系，由1ac 判断出三者的大小关系.【详解】由3log1ae，335loglog2bae，ln31c，则 cab.故选 C.9.已知函数()f x和(2)f x都是定义在R上的偶函数，当0,2x时，()2xf x，则20192f（）A.2B.2 2C.3 22D.2【答案】B【解析】【分析】由()f x和(2)f x都 是 定 义 在R上 的 偶 函 数，可 推 导 出 周 期 为4，而20192f20192f(42521.5)(1.5)ff
8、，即可计算.【详解】因为(2)fx都是定义在R上的偶函数，所以(2)(2)fxf x，即()(4)f xfx，又()f x为偶函数，所以()()(4)f xfxfx，所以函数周期4T，所以20192f20192f(4 252 1.5)(1.5)2 2ff，故选 B.10.函数f x（）在区间 1 5，上的图象如图所示，0()()xg xf t dt，则下列结论正确的是（）A.在区间 0 4（，）上，g x（）先减后增且0g x（）B.在区间 0 4（，）上，g x（）先减后增且0g x（）C.在区间 0 4（，）上，g x（）递减且0g x（）D.在区间 0 4（，）上，g x（）递减且0g
9、x（）【答案】D【解析】【分析】由定积分，微积分基本定理可得：0 xf（t）dt 表示曲线 f（t）与 t 轴以及直线 t0 和 t x 所围区域面积，当 x 增大时，面积增大，0 xf t dt 减小，g（x）减小，故 g（x）递减且 g（x）0，得解【详解】由题意 g（x）0 xf（t）dt，因为 x（0，4），所以 t（0，4），故 f（t）0，故0 xf（t）dt的相反数表示曲线f（t）与t轴以及直线t0 和tx所围区域面积，当 x 增大时，面积增大，0 xf t dt 减小，g（x）减小，故 g（x）递减且 g（x）0，故选：D 11.已知函数()lnfxxx，若f x（）在1xx和
10、212xxxx处切线平行，则（）A.2212512xxB.12128x xC.1232xxD.121112xx【答案】A【解析】【分析】求 出 原函 数的 导函 数，可 得1212111122xxxx，得 到121112xx，则121116x x，由 x1x2，利用基本不等式求得x12+x22512【详解】由 f（x）xlnx，得 f（x）112xx（x0），1212111122xxxx，整理得：212112122xxxxx xx x，则121112xx，1212111122xxx x，则121116x x，x1x2256，x1x2，x1x22562212xx 2x1x2512故选：A12.定
11、义在(1,)上的函数f x（）满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x恒有22fxf x（）（）成立；（2）当(1,2x时，2f xx（）；记函数()()(1)g xf xk x，若函数()g x 恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是（）A.1,2)B.1,2C.4,23D.4,23【答案】C【解析】【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）x+2b，x（b，2b，又因为 f（x）k（x1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可【详解】因为对任意的x（1，+）恒有f（2x）2f（x）成立，且当 x（1，2 时，f（x）2x；f（x）2（22x
12、）=4x，x（2，4，f（x）4（24x）=8x，x（4，8，所以 f（x）x+2b，x（b，2b （b 取 1，2，4）由题意得 f（x）k（x1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示只需过（1，0）的直线与线段 AB相交即可（可以与B点重合但不能与 A点重合）kPA20212，kPB404413，所以可得 k 的范围为423k故选：C 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.对不同的0a且1a,函数4 2()3xf xa必过一个定点 A,则点 A的坐标是_.【答案】2,4【解析】【分析】根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求出函数 f（x）必过的定
13、点坐标【详解】根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令 42x0，x2，f（2）0a+34，点 A的坐标是（2，4）故答案为：（2，4）14.已知函数3()log5fxxx的零点0(,1)xa a，则整数a的值为 _.【答案】3【解析】【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.【详解】由题意知：fx在0,上单调递增fx若存在零点，则存在唯一一个零点又313 510f，334log 445log 4 10f由零点存在定理可知：03,4x，则3a本题正确结果：315.过坐标原点 O 作曲线:Cxye的切线 l，则曲线 C、直线 l 与y轴所围
14、成的封闭图形的面积为 _【答案】112e.【解析】【分析】设切点为00 xy，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点0 0，可得切线方程，进而由定积分求面积即可.【详解】设切点为00 xy，因为xye，所以xye，因此在点00 xy，处的切线斜率为0 xke，所以切线 l 的方程为000 xyyexx，即000 xxyeexx；又因为切线过点0 0，所以000 xxeex，解得01x，所以00 xyee，即切点为1e，切线方程为yex，作出所围图形的简图如下：因此曲线 C、直线 l 与y轴所围成的封闭图形的面积为1201111e110222xxSeex dxeexee.16.在平面直角
15、坐标系xoy中，对于点,A a b，若函数yfx满足：1,1xaa，都有1,1ybb，就称这个函数是点A的“限定函数”以下函数：12yx，221yx，sinyx，ln2yx，其中是原点 O的“限定函数”的序号是 _已知点,A a b在函数2xy的图象上，若函数2xy是点 A的“限定函数”，则a的取值范围是 _【答案】(1).(2).(,0【解析】【分析】分别运用一次函数、二次函数和正弦函数、对数函数的单调性，结合集合的包含关系可判断是否是原点的限定函数；由指数函数的单调性，结合集合的包含关系，解不等式可得 a 的范围【详解】要判断是否是原点 O的“限定函数”只要判断：1,1x，都有 1,1y，
16、对于12yx，由 1,1x可得1 1,1,12 2y，则是原点 O的“限定函数”；对于221yx，由 1,1x可得1,3 1,1y，则不是原点 O的“限定函数”对于sinyx，由 1,1x可得sin1,sin1 1,1y，则是原点 O的“限定函数”对于ln(2)yx，由 1,1x可得0,ln 3y1,1，则不是原点 O的“限定函数”点A(a,b)在函数2xy的图像上，若函数2xy是点 A的“限定函数”，可得2ab，由1,1,1,1xaaybb，即21,21aay，即112,221,21aaaa，可得11212221aaaa，可得1a，且0a，即0,aa的范围是(,0，故答案为：；(,0.三、解
17、答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在三棱柱111ABCA B C中，1AA底面111A B C，ACAB，4ACAB，16AA，点 E，F分别为1CA与 AB的中点.（1）证明：/EF平面11BCC B.（2）求1B F 与平面 AEF 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）3 13065【解析】【分析】（1）先连接1AC，1BC，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先以1A为原点建立如图所示的空间直角坐标系1Axyz，求出直线的1B F的方向向量1B Fuuu u r与平面AEF的法向量，由向量夹角公式求出向量夹角余弦
18、值，即可得出结果.【详解】（1）证明：如图，连接1AC，1BC.在三棱柱111ABCA B C中，E 为1AC的中点.又因为F为AB的中点，所以1/EFBC.又 EF平面11BCC B，1BC平面11BCC B，所以/EF平面11BCC B.（2）解：以1A为原点建立如图所示的空间直角坐标系1Axyz，则0,0,6A，10,4,0B，2,0,3E，0,2,6F，所以10,2,6B Fuuu u r，2,0,3AEuu u r，0,2,0AFu uu r.设平面AEF的法向量为,nx y zr，则23020n AExzn AFyuu u rruu u rr，令3x，得3,0,2nr.记1B F与
19、平面AEF所成角为，则111sincos,B F nB F nB F nu uu u rruu u u rruuu u rr3 13065.18.已知函数xxmfxee是定义在1,1的奇函数（其中e是自然对数的底数）.（1）求实数m的值；（2）若2120fafa，求实数a的取值范围.【答案】（1）1；（2）102a.【解析】【分析】（1）因为函数yfx是1,1上的奇函数，故可得方程00f，从而可得m的值，然后再对m的值进行验证；（2）根据导数可求出函数1xxfxee为单调递增函数，又由于函数为奇函数，故将不等式2120fafa转化为212aa，再根据函数的定义域建立出不等式组221111211
20、2aaaa，从而得出a的取值范围。【详解】解：（1）xxmfxeeQ是定义在1,1 的奇函数，00f1m，当 m=1时，1xxfxee，1xxfxefxe.（2）1xxfxeeQ,且112?2xxxxeeee，当且仅当0 x时，取“=”，0fx在1,1恒成立，fx在1,1单调递增，又Q函数为奇函数，22122fafafa2211112112aaaa ,102a.19.如图，四边形 ABCD为矩形，平面 ABEF平面 ABCD，/EFAB，90BAF，2AD，1ABAF，点P在线段DF上.（1）求证：AF平面 ABCD；（2）若二面角 DAPC 的余弦值为63，求PF的长度.【答案】（1）见解析
21、；（2）53【解析】【分析】（1）先证明ABAF，又平面 ABEF平面 ABCD，即得 AF平面 ABCD；（2）以 A为原点，以 AB，AD，AF为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得226cos,321411m ABm ABm ABuuu vuu u vu uu v，解方程即得解.【详解】（1）证明：90BAF，ABAF，又平面 ABEF平面 ABCD，平面ABEF I平面 ABCDAB，AF平面ABEF，AF平面 ABCD.（2）以 A为原点，以 AB，AD，AF为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0A，1,0,0B，1,2,0C，0,2,0D，0,0,1F
22、，0,2,1FDuu u v，1,2,0ACu uu v，1,0,0ABuuu r由题知，AB平面 ADF，1,0,0ABuu u r为平面 ADF 的一个法向量，设01FPFDuu u vuuu v，则0,2,1P，0,2,1APu uu v，设平面 APC 的一个法向量为,x y zm，则00m APm ACu uu vuuu v，21020yzxy，令1y，可得22,1,1m，226cos,321411m ABm ABm ABuu u vuuu vu uu v，得13或1（舍去），53PF.20.已知函数()ln1fxxax，其中a为实常数.（1）若当0a时，()f x在区间 1,e 上
23、的最大值为1，求a的值；（2）对任意不同两点11,A xfx，22,B xfx，设直线 AB 的斜率为 k，若120 xxk恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)2a(2)(,22【解析】【分析】（1）1()(0)fxa xx讨论1a与 0，1，e 的大小关系确定最值得a 的方程即可求解；（2）原不等式化为1212120fxfxxxxx，不妨设120 xx，整理得221122fxxfxx，设22()()ln1g xf xxxxax，当0 x时，()0g x，得2210 xax，分离22112xaxxx，求其最值即可求解a 的范围【详解】（1）1()(0)fxa xx，令1()0fxax，则10
24、 xa.所以fx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.当101a，即1a时，fx在区间 1,e 上单调递减，则max()(1)1f xfa，由已知，11a，即2a，符合题意.当11ea时，即11ae时，fx在区间上单调递增，在上单调递减，则max1()lnfxfaa，由已知，ln1a，即ae，不符合题意，舍去.当1ea，即10ae时，fx在区间 1,e 上单调递增，则，由已知，21ae，即3ae，不符合题意，舍去.综上分析，2a.（2）由题意，1212fxfxkxx，则原不等式化为1212120fxfxxxxx，不妨设120 xx，则1212120 xxxxfxfx，即2212120 xx
25、fxfx，即221122fxxfxx.设22()()ln1g xf xxxxax，则2121()2xaxg xxaxx，由已知，当120 xx时，不等式12g xg x恒成立，则()g x在(0,)上是增函数.所以当0 x时，()0g x，即2210 xax，即22112xaxxx恒成立，因为1222xx，当且仅当12xx，即22x时取等号，所以min122 2xx.故a的取值范围是(,22.21.设函数()(1)1xxf xxeae.（1）求函数()f x的单调区间；（2）若函数()f x在(0,)上有零点，证明：2a.【答案】（1）在(1,)a上是增函数，在(,1)a上是减函数；（2）2a
26、.【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求fx，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数fx的单调区间；（2）采用分离参数法，得11xxaxe，根据fx在0,上存在零点，可知11xxaxe有解，构造11xxg xxe，求导gx，知gx在0,上存在唯一的零点，即零点k 满足0gk，进而求得2,3g k，再根据11xxaxe有解，得证2a【详解】（1）解：函数fx的定义域为,，因为11xxfxxeae，所以1xfxxa e 所以当1xa时，0fx，fx在1,a上是增函数；当1xa时，0fx，fx在,1a上是减函数所以fx在1,a上是增函数，在,1a上是减函数（2）证明：由题意可得，当0 x
27、时，0fx有解，即1111111xxxxxx exxexaxeee有解令11xxg xxe，则2221111xxxxxeexxegxee设函数2,10 xxh xexhxe，所以 h x 在 0,上单调递增又213 0,24 0hehe，所以h x在0,上存在唯一的零点故gx在0,上存在唯一的零点设此零点为k，则1,2k当0,xk时，0gx；当,xk时，0gx所以g x在0,上的最小值为g k又由0g k，可得2kek，所以112,31kkg kkke，因为ag x在0,上有解，所以2ag k，即2a22.选修 4-5：不等式选讲设311fxxx的最小值为 k.（1）求实数 k 的值；（2）设
28、m，nR，224mnk，求证：2211312mn.【答案】（1）2k；（2）见详解.【解析】【分析】(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.【详解】（1）42,1,31124,11,42,1,xxfxxxxxxx当1x时，fx取得最小值，即12kf.（2）证明：依题意，2242mn，则22416mn.所以22111mn22221114116mnmn2222411561nmmn1352 462，当且仅当2222411nmmn，即22m，20n时，等号成立.所以2211312mn.【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解.已知mnab或paqb(,m n p q是正常数，,a bR)的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值.