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1、2018-2019 学年池州市 2017级高二下学期期末考试数学（理）试卷祝考试顺利一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.复数112izi（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A.135iB.135iC.135iD.1 35i【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果【详解】1i13i12i5z，故z的共轭复数13i5z.故选 B.2.已知线性回归方程?0.6ybx相应于点3,6.5 的残差为0.1，则?b的值为（）A.1 B.2 C.0.5D.3【答案】B【解析】【分析】根据线性回归方程估计y，再根据残差定义列方程，解得结果【详
2、 解】因 为 相 对 于 点3,6.5的 残 差 为0.1，所 以?6.50.1y，所 以6.50.130.6b$，解得2b$，故选 B 3.由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（）A.正方体的体积取得最大B.正方体的体积取得最小C.正方体的各棱长之和取得最大D.正方体的各棱长之和取得最小【答案】A【解析】【分析】根据类比规律进行判定选择【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的
3、体积取得最大，故选A.4.在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（）A.两个分类变量关系较强B.两个分类变量关系较弱C.两个分类变量无关系 D.两个分类变量关系难以判断【答案】A【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x中1y的比重明显大于2x中1y的比重，所以两个分类变量的关系较强.故选：A 5.独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0.1 的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（）A.在 100 个男性中约有 90人喜爱喝酒B.若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C.认为性别与是否喜爱
4、喝酒有关判断出错的可能性至少为10%D.认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%【答案】D【解析】【分析】根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率【详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故 A，B 错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为 10%，故 C错误，D正确.选 D.6.将 6 位女生和 2 位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则 2 位男生在同一组的不同的选法数为（）A.70 B.40 C.30 D.20【答案】C【解析】【分析】先确定与 2 位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果【详
5、解】2 位男生在同一组的不同的选法数为222262C C A30，选 C.7.函数()yf x的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A.(1)(2)(2)(1)ffffB.(1)(2)(1)(2)ffffC.(2)(2)(1)(1)ffffD.(2)(1)(2)(1)ffff【答案】B【解析】【分析】根据导数几何意义，结合图象确定选择【详解】1f、2f是x分别为1、2 时对应图像上点的切线斜率,ACADkk，212121ffff，21ff为图像上x为 2 和 1 对应两点连线的斜率ABk，由图可知，1212ffff，故选 B.8.已知1(5,)3XB:，则37()22PX（）A.80243B
6、.40243C.4081D.8081【答案】C【解析】【分析】根据二项分布求对应概率【详解】372322PXP XP X23322355121240CC333381，所以选 C.9.若 0kmn，且,m n kN，则0mn mkn knkCC（）A.2m nB.2mnmCC.2nmnCD.2mmnC【答案】D【解析】【分析】先利用特殊值排除A,B,C，再根据组合数公式以及二项式定理论证D成立.【详解】令0m得，00CCC C1mnmknnknnnk，在选择项中，令0m排除 A，C；在选择项中，令1m，101110CCCCCC2mnmknnnknnnnnkn排除 B，00()!()!()!()!
7、mmn mkn knkknknCCnmmkknk000!2()!()!mmmmkmkmmnmnmnkkknmCCCCCnmmkmk,故选 D 10.某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7 次，有 4 次命中且恰有 3 次连续命中的概率为（）A.3761()2CB.2741()2AC.2741()2CD.1741()2C【答案】B【解析】【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7 次有 4 次命中且恰有 3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【详解】因为射击7 次有 4次命中且恰有 3 次连续命中有24A种情况，所以所求概率为7
8、241A2.选 B.11.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）学生序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米）1.96 1.68 1.82 1.80 1.60 1.76 1.74 1.72 1.92 1.78 30 秒跳绳（单位：次）63 75 60 62 72 70 63 在这 10名学生中进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有 6 人，则以下判断正确的为（）A.4 号学生一定进入 30 秒跳绳决赛B.5 号学生一定进入 30 秒跳绳决赛C
9、.9 号学生一定进入 30 秒跳绳决赛D.10 号学生一定进入 30 秒眺绳决赛【答案】D【解析】【分析】先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果【详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10 号的 8 个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10 号有 6 个学生进入30 秒跳绳决赛，在这8 个学生的 30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7 号学生的成绩依次排名为 1，2，3 名，1 号和 10 号成绩相同，若 1 号和 10 号不进入 30 秒跳绳决赛，则 4 号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的只有5人，矛
10、盾，所以 1，3，6，7，10 号学生必进入 30 秒跳绳决赛.选 D.12.已知随机变量2,1XN，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC中随机投掷 1 点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量2,N，则0.6826P，220.9544P.A.0.1359 B.0.7282 C.0.8641 D.0.93205【答案】D【解析】【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答案【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：1(01)220.13592PXPXPX，故所求的概率为0.135910.932052P.故选 D.二、填空
11、题。13.由曲线cosyx，,x y坐标轴及直线2x围成的图形的面积等于 _。【答案】1【解析】【分析】根据定积分求面积【详解】20cossin10120Sxdxx.14.621(2)xx的展开式中的常数项为 _。【答案】240【解析】【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果【详解】616211C2rrrrrTxx31261 C2rrrrx，令3120r得，4r，所以6212xx的展开式中的常数项为44461C2240.15.在如图的数表中，仅列出了前6 行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n（3n）行左起第 3 个数为 _。【答案】262nn【解析】【分析】
12、根据题意先确定每行最后一个数，再求结果【详 解】依 排 列 规 律 得，数 表 中 第1n行 最 后 一 个 数 为(1)123(1)2n nnL第3n n行左起第 3 个数为2(1)6322nnnn.16.若存在一个实数t，使得()F tt成立，则称t为函数()F x的一个不动点，设函数()(1)xg xee xa（,aR e为自然对数的底数），定义在 R上的连续函数()f x满足2()()fxf xx，且当0 x时，()fxx，若存在01|()(1)2xxf xfxx，且0 x为函数()g x 一个不动点，则实数a的最小值为_。【答案】e2【解析】【分析】先 构 造 函 数2112fxfx
13、x，研 究 其 单 调 性 与 奇 偶 性，再 化 简 不 等 式1()(1)2f xfxx，解得0 x取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出a的范围，即得最小值.【详解】由2fxfxx，令2112fxfxx，则1fx为奇函数，当0 x时，10fxfxx，所以1fx在,0上单调递减，所以1fx在 R上单调递减，因为存在0112xx fxfxx，所以10101fxfx，所以001xx，即012x.因为0 x为函数g x一个不动点，所以g xx在12x时有解，令1ee,2xh xg xxxa x，因为当12x时，12eeee0 xh x，所以函数h x在1,2x时单调递减，且x时，h x，所以
14、只需11ee022ha，得e2a.三、解答题（解答应写出文字说明、解答过稃或演算步骤。）17.在复平面内，复数222(34)zaaaai（其中 aR）.（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a的取值范围。【答案】（1）1a或 4；（2）2a；（3）2,4【解析】【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z为实数，所以2340aa，所以1a或 4；（2）因为复数z为纯虚数，所以2220340aaaa，所以2a（3）因为z对应的点在第四象限，所
15、以2220340aaaa解不等式组得，24a，即a取值范围是2,4.18.为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各 50名，其中每人每天的健身时间不少于1 小时称为“健身族”，否则称其为非健身族”，调查结果如下：健身族非健身族合计男性40 10 50 女性30 20 50 合计70 30 100（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70 分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据
16、以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中 nabcd.参考数据：20P Kk0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0k0.455 0.708 1.321 3.840 5.024 6.635【答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【解析】【分析】（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断【详解】（1）随机抽样的 100名居民每人每天的平均健身时间为1.24
17、00.8 101.5 300.7201.15100小时，由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15 小时，因为 1.15 小时76小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；（2）由联立表可得，22n adbcKabcdacbd2100 40 2030 104.7623.8407030 50 50，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.19.现将甲、乙两个学生在高二的6 次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三
18、对应的考试成绩预计为10 x（若10 x100.则取10 x为 100）.若已知甲、乙两个学生的高二6 次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义X为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.（I）试预测：在将要进行的高三6 次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）（）求X分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（I）先依题意预测出高三的6 次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可;（）由题意先写出随机变量X的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望.【详解】（I）由已知，预测高三的6 次考试成绩如下：第 1 次考试
19、第 2 次考试第 3 次考试第 4 次考试第 5 次考试第 6 次考试甲78 86 89 96 98 100 乙81 85 92 94 96 100 甲高三的 6 次考试平均成绩为788689969810019166，乙高三的 6 次考试平均成绩为818592949610019163所以预测：在将要进行的高三6 次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91.（）因为X为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，所以X=0，1，2，3 所以106P X，116P X，21263P X，21363P X.所以X的分布列为X0 1 2 3 P16161313所以1111110
20、12366336E X20.已知函数2()3lnfxaxxax，其中a为常数.（1）证明：函数()f x的图象经过一个定点A，并求图象在 A点处的切线方程；（2）若2()13f，求函数()f x在1,e 上的值域.【答案】（1）证明见解析，11yaxa；（2）3ln 2,2【解析】【分析】（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出1a，再利用导数求函数值域.【详解】（1）因为223ln13lnfxaxxaa xxxx，所以()12f=-，所以函数fx的图像经过一个定点1,2A，因为223fxaxx，所以切线的斜率11kfa
21、，.所以在 A点处的切线方程为211yfax，即11yaxa；（2）因为23fa，213f，所以1a，故23ln1fxxxx，则212xxfxx，由0fx得1x或2x，当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x1 1,22 2,eefx0 0 fx2单调减3ln 2单调增24ee从而在1,e上fx有最小值，且最小值为23ln 2f，因为()12f=-，2ee4ef，所以21ee2eff，因为2xx在0,上单调减，e2.72，所以22e22.722e2.72220.72 2.720.7202.722.72，所以1ffe，所以最大值为()12f=-，所以函数fx在1,e上的值域为3ln 2,2.2
22、1.（1）求方程12345xxxx的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有 4 个“安检”入口，每个入口每次只能进1 个旅客求个小组 4 人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.【答案】（1）56；（2）840 种，计算过程见解析【解析】【分析】（1）利用隔板法求结果（2）将问题转化为不定方程非负整数解问题，再利用隔板法求结果详解】（1）若定义12341234:,fx xx xyyyy，其中11,2,3,4iiyxi，则 f 是从方程12345xxxx的非负整数解集到方程12349yyyy的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程12349yyyy正整数解得个数是38C56从而方程12345xxx
23、x的非负整数解得个数也是56；（2）设 4 名旅客中分别有1234,z zzz个人在第 1 号，第 2 号，第 3 号，第 4 号安检口通过，则12344zzzz，由（1）的思路得，此不定方程非负整数的个数为37C，所以不同的进站方法数为4347AC840.22.已知函数1()ln2xefxx.（1）证明：函数()fx在1(,2)2内存在唯一零点；（2）已知1()()()2xef xh xaxaR，若函数()h x有两个相异零点12,x x，且12x xb（b 为与x无关的常数），证明：2be.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数确定()fx单调性，再利用
24、零点存在定理证明结论，（2）先求()h x，再结合恒成立转化证明212x xe，即需证1212lnln2xxa xx，根据条件1212lnlnxxa xx消a，令121xtx，转化证(1)ln21ttt，即需证2(1)ln1ttt，这个不等式利用导数易证.【详解】（1）11222xxexefxexeex，令2xg xexe，则(1)0 xgxxe在1,22上恒成立，所以，2xg xexe 在1,22上单调递减，12022ege，22220gee，根据零点存在定理得，函数g x在1,22存在唯一零点，当1,22x时，2e0 x，所以2g xfxex在1,22存在唯一零点；（2）因为1ln2xef
25、xx，12xefxh xaxaR，所以lnh xxax aR，不妨设120 xx，因为120h xh x，所以11ln0 xax，22ln0 xax，所以1212lnlnxxa xx，1212lnlnxxa xx，因为1 0 x，20 x，而要求满足12x xb的 b 的最大值，所以只需证明212x xe.所以2121212lnln22x xexxa xx1212112122122lnln2lnxxxxxxxxxxxx12112221ln1xxxxxx（*）令12xtx，则1t，所以（*）21ln01ttt，令21ln,11tk tttt，则22214(1)0(1)(1)tktttt t，所以k t在1,上单调递增，即(1)0k tk综上，2be.