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1、北师大版八年级下学期期末考试数学试题时间：120分钟总分：120 分一、选择题1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.若 ab，则下列结论不一定成立的是（）A.a-1b-1 B.ab33C.22abD.-2a-2b 3.下列从左到右的变形，是因式分解的是()A.2(ab)2a2b B.221(ab)(ab)1abC.2224(2)xxxD.22282(2)(2)xyxyxy4.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条边的中线的交点5.下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的
2、是()A.AB CD，AD=BCB.ABCD，B D C.AB=CD,AD=BCD.ABCD，AB CD 6.一个多边形的内角和比其外角和的2 倍多 180，那么这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形7.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ACBC，且AB10，AD6，则OB的长度为（）A.213B.4C.8D.4138.若解关于x的方程2x5m1x22x时产生增根，那么常数m 的值为（）A.4 B.3 C.-4 D.-1 9.如图，在平行四边形ABCD 中，连接 AC，按以下步骤作图：分别以点A，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，
3、作直线MN 交 CD 于点 E，交 AB 于点 F若 AB=5，BC=3，则 ADE的周长为 _10.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，且ABx 轴.直线 y=-x 从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在 x 轴上平移的距离m 的函数图象如图，那么平行四边形ABCD 的面积为（）A.4 B.4 2C.8 2D.8 二、填空题11.若分式242xx的值为 0，则 x_12.不等式组x11242332xx的最小整数解是_.13.如图，在 ABC 中，B=70，BAC=30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 EDC，当点 B 的对
4、应点D恰好落在 AC 边上时，CAE 的度数为 _.14.如图，在RtABC 中 BAC90，D，E 分别是 AB，BC的中点，F 在 CA 的延长线上FDA B，AC6，AB8，则四边形AEDF 的周长为 _15.如图，在Rt ABC 中，ACB=90，B=30，BC=3点 D 是 BC 边上的一动点（不与点B、C 重合），过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，将 B 沿直线 DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点 F处当 AEF 为直角三角形时，BD 的长为 _三、解答题16.先化简2221xxxx（21x1x）,然后再从 2x2 的范围内选取一个合适的x 的整数值代入求值17.如图
5、，在 ABC 中，AD 平分 BAC，且 BD=CD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F.（1）求证：AB=AC；（2）若 BAC=60 ，BC=6，求 ABC 的面积.18.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为A（-3，1），B（-1，3），C（0，1）.（1）将 ABC 以点 C 为旋转中心旋转180，画出旋转后的A1B1C；（2）平移 ABC，若点 A 的对应点 A2的坐标为（-5，-3），画出平移后的 A2B2C2；（3）若 A2B2C2和A1B1C 关于点 P中心对称，请直接写出旋转中心P的坐标.19.已知：如图，E、F 是?ABCD 的对角线AC 上的两点，
6、AFCE求证：（1）ABE CDF；（2）EDBF20.某文具商店的某种毛笔每支售价25 元，书法练习本每本售价5 元，该商店为促销正在进行优惠活动：活动 1：买一支毛笔送一本书法练习本；活动 2：按购买金额的九折付款.某学校准备书法兴趣小组购买这种毛笔20 支，书法练习本x（x20）本.（1）写出两种优惠活动实际付款金额y1（元），y2（元）与 x（本）之间的函数关系式；（2）请问：该校选择哪种优惠活动更合算？21.如图，在四边形ABCD 中，AD BC，AC 与 BD 交于点 E，点 E 是 BD 的中点，延长CD 到点 F，使 DFCD，连接 AF，（1）求证：AECE；（2）求证：四边
7、形ABDF 是平行四边形；（3）若 AB2，AF4，F30，则四边形ABCF 的面积为22.倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B 两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是 A 种健身器材的1 5倍，用 7200 元购买 A 种健身器材比用5400 元购买 B 种健身器材多10 件（1）A，B 两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B 两种健身器材共50 件，且费用不超过 21000 元，请问：A 种健身器材至少要购买多少件？23.如图，已知等边ABC，点 D 在直线 BC 上，连接AD，作 ADN=60，直线 DN
8、交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CFAB 交直线 DN 于点 F.（1）当点 D 在线段 BC 上，NDB 为锐角时，如图.判断 1 与 2 的大小关系，并说明理由；过点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M，求证：CF+BE=CD；（2）当点D 在线段 BC 的延长线上，NDB 为锐角时，如图，请直接写出线段CF，BE，CD 之间的数量关系；当点 D 在线段 CB 的延长线上，NDB 为钝角或直角时，如图，请直接写出线段CF，BE，CD 之间的数量关系.答案与解析一、选择题1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】如果一个图形绕着某一点旋转1
9、80，能够根原来的图形重合，这样的图形称为中心对称图形，根据定义判断即可【详解】A 选项是中心对称图形；B 选项是中心对称图形；C 选项不是中心对称图形；D 选项是中心对称图形故选 C【点睛】本题考查判断中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解题的关键2.若 ab，则下列结论不一定成立的是（）A.a-1b-1B.ab33C.22abD.-2a-2b【答案】C【解析】【分析】不等式两边同时加减一个数，或同时乘除一个不为0 的数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘除一个不为 0 的数，不等号改变方向，根据不等式的性质判断即可【详解】A不等式ab 两边同时减1，a-1b-1 一定成立；B不等式ab两
10、边同时除以3，ab33一定成立；C不等式ab两边同时平方，不一定不成立，可举反例：12，但是2212；D不等式ab 两边同时乘以-2，-2a-2b 一定成立故选 C【点睛】本题考查不等式的性质，熟记不等式两边同时加减一个数，或同时乘除一个不为0 的数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘除一个不为0 的数，不等号改变方向，是解题的关键3.下列从左到右的变形，是因式分解的是()A.2(ab)2a2bB.221(ab)(ab)1abC.2224(2)xxxD.22282(2)(2)xyxyxy【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出
11、.【详解】解：由因式分解的定义可知：A.2(ab)2a2b，不是因式分解，故错误；B.221(ab)(ab)1ab，不是因式分解，故错误；C.2224(2)xxx，左右两边不相等，故错误；D.22282(2)(2)xyxyxy是因式分解；故选 D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.4.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条边的中线的交点【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离
12、相等，到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点故选：A【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等5.下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是()A.AB CD，AD=BCB.ABCD，B D C.AB=CD,AD=BCD.ABCD，AB CD【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可【详解】解：A.不能判定四边形ABCD 是平行四边形，四边形可能是等腰梯形，故此选项符合题意；B.ABCD，可得 A+D=180，因为 B D，A+B=180，所以 AD BC，根据两组
13、对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；D.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；故选 A【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形6.一个多边形的内角和比其外角和的2 倍多
14、 180，那么这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解【详解】设这个多边形的边数为n，由题意得2 1802 360180gn解得：7n故选 C【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式2 180gn，以及外角和360，是解题的关键7.如图，?ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点O，ACBC，且 AB10，AD6，则 OB 的长度为（）A.213B.4C.8D.413【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AC 的长，进而可求出OB 的长【详解
15、】四边形ABCD 是平行四边形，BC=AD=6，OA=OC，ACBC，AB=10，22221068ACABBC，142AOCOAC，2222642 13OBBCOC；故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键8.若解关于x 的方程2x5m1x22x时产生增根，那么常数m 的值为（）A.4B.3C.-4D.-1【答案】D【解析】【分析】方程两边同乘2x，将分式方程化为整式方程，解整式方程，再由增根为2，建立关于m 的方程求解即可【详解】2x5m1x22x252xmx解得3xm原分式方程的增根为2 3=2m=1m故选：D【点睛】本题
16、考查分式方程的增根问题，熟练掌握解分式方程，熟记增根的定义建立关于m 的方程是解题的关键9.如图，在平行四边形ABCD 中，连接 AC，按以下步骤作图：分别以点A，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN 交 CD 于点 E，交 AB 于点 F若 AB=5，BC=3，则 ADE的周长为 _【答案】8【解析】【详解】解：由做法可知MN 是 AC 的垂直平分线，AE=CE.四边形 ABCD 是平行四边形CD=AB=5，AD=BC=3.AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=5+3=8，ADE 的周长为8.10.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABC
17、D 在第一象限，且ABx 轴.直线 y=-x 从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在 x 轴上平移的距离m 的函数图象如图，那么平行四边形ABCD 的面积为（）A.4B.4 2C.8 2D.8【答案】D【解析】【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4 时，直线经过点A，当移动距离是7 时，直线经过D，在移动距离是8时经过 B，则 AB=8-4=4，当直线经过D 点，设交 AB 与 N，则2 2DN，作 DM AB 于点 M利用三角函数即可求得DM 即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解【详解】根据图象可以得到当移动的距离是4 时，直线
18、经过点A，当移动距离是7 时，直线经过D，在移动距离是 8 时经过 B，则844AB，如图所示，当直线经过D 点，设交AB 与 N，则2 2DN，作DMAB于点 MyxQ与x轴形成的角是45，/AB x轴，45DNM，则 DMN 为等腰直角三角形，设DMMN0 x x由勾股定理得2222 2xx，解得=2x，即 DM=2 则平行四边形的面积是：428AB DM故选：D【点睛】本题考查一次函数与几何综合，解题的关键利用l 与 m的函数图像判断平行四边形的边长与高二、填空题11.若分式242xx的值为 0，则 x_【答案】x=2【解析】分析:根据分式值为0 的条件:分子为 0,分母不等于0,可得2
19、4020 xx,即可解得2x.详解:因为分式242xx的值为 0,所以24020 xx,解得:2,2xx,所以2x.故答案为:2x.点睛:本题主要考查分式值为0 的条件,解决本题的关键是要熟练运用分式值为0 的条件列出方程和不等式进行求解.12.不等式组x11242332xx的最小整数解是_.【答案】-2【解析】【分析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再从解集中找到最小整数解【详解】解不等式1124x得32x，解不等式2332xx得3x不等式组的解集为332x不等式组的最小整数解为-2 故答案为：-2【点睛】本题考查求不等式组的最小整数解，熟练掌握解不等式，并由“大小小大取中间”确定不等
20、式组的解集是解题的关键13.如图，在 ABC 中，B=70，BAC=30，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到EDC，当点 B对应点 D恰好落在 AC 边上时，CAE 的度数为 _.【答案】50【解析】【分析】由旋转可得 CDE=B=70 ，CED=BAC=30 ，CA=CE，则 CAE=CEA，再由三角形的外角性质可得 CDE=CAE+AED 可求出 CAE 的度数【详解】ABC 绕点 C 顺时针旋转得到EDC CDE=B=70，CED=BAC=30 ，CA=CE，CAE=CEA，则 AED=CEA-30 又 CDE=CAE+AED 即 CAE+CAE-30=70解得 CAE=50 故答案为
21、：50【点睛】本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是利用旋转的性质得到旋转后的角度，并利用三角形的外角性质建立等量关系14.如图，在RtABC 中 BAC90，D，E 分别是 AB，BC 的中点，F 在 CA 的延长线上FDA B，AC6，AB8，则四边形AEDF 的周长为 _【答案】16【解析】【分析】根据勾股定理先求出BC 的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE 和 AE 的长，进而由已知可判定四边形AEDF 是平行四边形，从而求得其周长【详解】解：在RtABC 中，AC 6，AB 8，BC10，E 是 BC 的中点，AEBECE=12BC=5，BAE B，FDA B，F
22、DA BAE，DFAE，D、E 分别是 AB、BC 的中点，DEAC，DE12AC 3，四边形 AEDF 是平行四边形，四边形 AEDF 的周长 2(3+5)16故答案为：16【点睛】本题考查了三角形的中位线，直角三角形的性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握中位线定理、勾股定理及平行四边形的判定定理是解题的关键.15.如图，在Rt ABC 中，ACB=90，B=30，BC=3点 D 是 BC 边上的一动点（不与点B、C 重合），过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，将 B 沿直线 DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点 F处当 AEF 为直角三角形时，BD 的长为 _【答案】1 或 2
23、【解析】【详解】解：据题意得：EFB B30，DF BD，EFEB，DEBC，FED 90 EFD 60，BEF2FED 120，AEF180 BEF 60，在 RtABC 中，ACB 90，B30，BC 3，AC12AB，BAC60，设 ACx，则 AB2x，由勾股定理得：AC2BC2AB2，x232(2x)2解得 x3如图若 AFE90，在 RtABC 中，ACB90，EFD AFC FAC AFC90，FAC EFD 30，CF 12AF，设 CFy，则 AF2y，由勾股定理得CF2 AC2AF2，y2(3)2(2y)2解得 y 1，BDDF 12(BC-CF)1；如图若 EAF90，则
24、 FAC90 BAC30，同上可得 CF 1，BDDF 12(BCCF)2，AEF 为直角三角形时，BD 的长为：1 或 2故答案为 1 或 2点睛：此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及勾股定理的知识此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用三、解答题16.先化简2221xxxx（21x1x）,然后再从2x2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值【答案】4.【解析】【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0 的量，根据不为0的量结合x 的取值范围得出合适的x 的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论【详解】解：原式=2(1)2(1)(1)(1)x xxxxx x=2(1
25、)(1)(1)1x xx xxx=21xx其中2210(1)010 xxx xx，即 x 1、0、1又 2 x2 且 x 为整数，x=2将 x=2 代入21xx中得：21xx=2221=4考点：分式的化简求值17.如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC，且 BD=CD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F.（1）求证：AB=AC；（2）若 BAC=60 ，BC=6，求 ABC 的面积.【答案】（1）见解析；（2）9 3【解析】【分析】（1）由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，利用HL 易证 RtBDE RtCDF，从而得到B=C，然后再用AAS 证明 ABD ACD 即可得证
26、（2）由 BAC=60 和 AB=AC 可得 ABC 为等边三角形，从而得到AB=BC=6，再由勾股定理求出高AD，即可求 ABC 的面积【详解】（1）AD 平分 BAC，DEAB，DFAC DE=DF，BAD=CAD 在 RtBDE 和 RtCDF 中，BD=CD，DE=DF RtBDERtCDF（HL）B=C 在 ABD 和 ACD 中，BAD=CAD，B=C，BD=CD ABD ACD（AAS）AB=AC（2）BAC=60 ，AB=AC ABC 为等边三角形AB=BC=6 又 ABD ACD（已证）ADB=ADC=90 BC=6，BD=CD BD=3 在 RtABD 中，AD=2222A
27、BBD=63=3 3SABC=11BC AD=6 3 3=9 322g【点睛】本题考查全等三角形，等边三角形的判定与性质与勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，得出全等条件是解题的关键18.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为A（-3，1），B（-1，3），C（0，1）.（1）将 ABC 以点 C 为旋转中心旋转180，画出旋转后的A1B1C；（2）平移 ABC，若点 A 的对应点 A2的坐标为（-5，-3），画出平移后的 A2B2C2；（3）若 A2B2C2和A1B1C 关于点 P中心对称，请直接写出旋转中心P的坐标.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）(-1，-1
28、)【解析】【分析】（1）分别将A，B 绕 C 点旋转 180，得到A1，B1，再顺次连接即可得A1B1C；（2）由 A(-3，1)到 A2(-5，-3)是向左平移2 个单位，再向下平移4个单位，将B，C 以同样的方式平移得到B2，C2，再顺次连接即可得A2B2C2；（3）连接 B1B2，CC2，交点即为旋转中心P【详解】（1）如图所示，A1B1C 即为所求；（2）如图所示，A2B2C2即为所求；（3）旋转中心P的坐标为(-1，-1)【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握点的旋转与平移是解题的关键，寻找旋转中心的方法是连接旋转前后对应点，交点即为旋转中心19.已知：如图，E、F 是?ABCD 的对角
29、线AC 上的两点，AFCE求证：（1）ABE CDF；（2）EDBF【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件得到AE CF，根据平行四边形的性质得到DCF BAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BEDF，AEB CFD，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论【详解】证明：（1）AFCE，AFEFCEEF，即 AECF，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD，DCF BAE，在ABE 与 CDF 中，AECF，BAEDCF，ABCD，ABE CDF（SAS）；（2）ABE CDF，BEDF，AEB CFD，BEF DF
30、E，BEDF，四边形 DEBF 是平行四边形，EDBF【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键20.某文具商店的某种毛笔每支售价25 元，书法练习本每本售价5 元，该商店为促销正在进行优惠活动：活动 1：买一支毛笔送一本书法练习本；活动 2：按购买金额九折付款.某学校准备为书法兴趣小组购买这种毛笔20 支，书法练习本x（x20）本.（1）写出两种优惠活动实际付款金额y1（元），y2（元）与 x（本）之间的函数关系式；（2）请问：该校选择哪种优惠活动更合算？【答案】（1）15400yx，24.5450yx；（2）买 20 支毛笔选择活动1，赠送
31、 20 本练习本，剩下(x-20)本练习本选择活动2【解析】【分析】（1）活动 1：20 支毛笔的付款金额，加上(x-20)本练习本的付款金额即可；活动2：将 20 支毛笔和x 本练习本的总金额乘以0.9即可（2）可以任意选择一个优惠活动，也可两个活动同时选择，三种方案进行对比即可【详解】（1）125 205205400yxx225 2050.94.5450yxx（2）第三种方案：买20 支毛笔选择活动1，赠送 20 本练习本，剩下(x-20)本练习本选择活动2，此时实际付款金额325 205200.94.5410yxx显然32yy令13yy，得54004.5410 xx解得20 x因此当20
32、 x时，最优惠的购买方案为：买20支毛笔选择活动1，赠送20本练习本，剩下(x-20)本练习本选择活动2【点睛】本题考查一次函数的应用，理解两种优惠活动的付款金额计算方式是解题的关键21.如图，在四边形ABCD 中，AD BC，AC 与 BD 交于点 E，点 E 是 BD 的中点，延长CD 到点 F，使 DFCD，连接 AF，（1）求证：AECE；（2）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（3）若 AB2，AF4，F30，则四边形ABCF 的面积为【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出ADECBE，根据全等三角形的判定得出ADECBE，根据全等三
33、角形的性质得出即可；（2）根据平行四边形的判定推出即可；（3）求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可【详解】解：（1）证明：点E是 BD 的中点，BEDE，AD BC，ADE CBE，在ADE 和 CBE 中ADECBEDEBEAEDCEB ADE CBE（ASA），AECE；（2）证明：AE CE，BEDE，四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD，AB CD，DFCD，DFAB，即 DFAB，DFAB，四边形 ABDF 是平行四边形；（3）解：过C 作 CHBD 于 H，过 D 作 DQAF 于 Q，四边形 ABCD 和四边形ABDF 是平行四边形，AB2，AF4，F 30，DFAB
34、2，CDAB 2，BD AF4，BDAF，BDC F30，DQ12DF1221，CH12DC1221，四边形 ABCF 的面积 SS平行四边形BDFA+S BDCAFDQ+1BDCH24 1+14 126，故答案为：6【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键22.倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B 两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是 A 种健身器材的1 5倍，用 7200 元购买 A 种健身器材比用5400 元购买 B 种健身器材多10 件（1）A，B 两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材
35、的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B 两种健身器材共50 件，且费用不超过 21000 元，请问：A 种健身器材至少要购买多少件？【答案】（1）A，B 单价分别是360 元，540元；（2）34 件【解析】【分析】（1）设 A 种型号健身器材的单价为x 元/套，B种型号健身器材的单价为15x 元/套，根据“B 种健身器材的单价是 A 种健身器材的15 倍，用 7200元购买 A 种健身器材比用5400 元购买 B 种健身器材多10 件”，即可得出关于x，y 的分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A 种型号健身器材m 套，则购买B 种型号的健身器材(50m)套，根据总价单价数量结合这
36、次购买两种健身器材的总费用不超过21000 元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论【详解】解：（1）设 A 种型号健身器材的单价为x 元/套，B 种型号健身器材的单价为15x 元/套，根据题意，可得：72005400101.5xx，解得：x360，经检验 x360是原方程的根，1.5360540(元)，因此，A，B 两种健身器材的单价分别是360 元，540 元；（2）设购买A 种型号健身器材m 套，则购买B 种型号的健身器材(50m)套，根据题意，可得：360m+540(50m)21000，解得：m1333，因此，A 种型号健身器材至少购买34 套【点睛】本题考查的知
37、识点是分式方程以及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键23.如图，已知等边ABC，点 D 在直线 BC 上，连接AD，作 ADN=60，直线 DN 交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CFAB 交直线 DN 于点 F.（1）当点 D 在线段 BC 上，NDB 为锐角时，如图.判断 1 与 2 的大小关系，并说明理由；过点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M，求证：CF+BE=CD；（2）当点D 在线段 BC 的延长线上，NDB 为锐角时，如图，请直接写出线段CF，BE，CD 之间的数量关系；当点 D 在线段 CB 的延长线上，NDB 为钝角或直角时，
38、如图，请直接写出线段CF，BE，CD 之间的数量关系.【答案】（1）1=2，理由见解析，证明见解析；（2）BE=CD+CF，CF=CD+BE【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质和ADN=60，易得 1+ADC=120，2+ADC=120，所以 1=2；由条件易得四边形BCFM 为平行四边形，得到 BM=CF，BC=MF，再证明 MEF CDA，得到 ME=CD，利用等量代换即可得证；（2）过 F作 FHBC，易得四边形BCFH 为平行四边形，可得 HF=BC，BH=CF，然后证明 EFH DAC，得到 CD=EH，利用等量代换即可得BE=CD+CF；过 E 作 EGBC，易得四边形BCGE
39、 为平行四边形，可得EG=BC，BE=CG，然后证明EFG ADC，得到 CD=FG，利用等量代换即可得CF=CD+BE【详解】（1）1=2，理由如下：ABC 为等边三角形 ACB=60 2+ADC=120 又 AND=60 1+ADC=120 1=2 MFBC，CFBM 四边形 BCFM 为平行四边形BM=CF，BC=MF=AC，BCMF 1=EFM=2，EMF=ABC=60 在 MEF 和 CDA 中，EFM=2，MF=AC，EMF=ACD=60 MEF CDA（ASA）ME=CD ME=BM+BE=CF+BE=CD 即 CF+BE=CD（2）BE=CD+CF，证明如下：如图，过F作 FH
40、BC，CFBH，FHBC，四边形 BCFH 为平行四边形HF=BC=AC，BH=CF ABC 为等边三角形 ABC=ACB=60 CAD+ADC=60，DBE=120，ACD=120 又 AND=60，即 BDN+ADC=60 CAD=BDN BD HF HFE=BDN=CAD，EHF=ACD=120 在 EFH 和 DAC 中，EHF=ACD，HF=AC，HFE=CAD EFH DAC（ASA）EH=CD BE=BH+EH=CF+CD 即 BE=CD+CF；CF=CD+BE，证明如下：如图所示，过E作 EG BC，EGBC，CGBE 四边形 BCGE 为平行四边形，EG=BC=AC，BE=CG，AND=60，ACD=60 ADC+CDE=120，ADC+DAC=120 CDE=DAC 又 CDEG GEF=CDE=DAC，EGF=DCF AECF DCF=ABC=60 EGF=ABC=60 在 EFG 和 ADC 中，GEF=DAC，EG=AC，EGF=ACD=60 EFG ADC（ASA）FG=CD CF=CG+FG=BE+CD 即 CF=CD+BE【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据“一线三等角”模型找到全等三角形，正确作出辅助线，利用等量代换找出线段关系