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1、试卷第 1 页，总 6 页2020 年普通高考（天津卷)模拟试数学试题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1已知全集 2,1,0,1,2U，集合 2,0,1,2A，1,0,1 B，则UAC BI（）A0,1B 2,2C 2,1D2,0,22设aR，则“2a”是“2320aa”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件3函数2xxye的图象大致是（）AB试卷第 2 页，总 6 页CD
2、4如图，长方体1111ABCDA B C D的体积是36，点 E在棱1CC上，且12CEEC，则三棱锥E-BCD 的体积是（）A3 B4 C6 D12 5某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t 的值为（）分组频数频率0,0.5)4 0.04 0.5,1)8 0.08 1,1.5)15 a 1.5,2)22 0.22 试卷第 3 页，总 6 页2,2.5)m 0.25 2.5,3)14 0.14 3,3.5)6 0.06 3.5,4)4 0.04 4,4.5)2 0.02 合计100 1.00 A0.15B0
3、.075C0.3D156已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间0,)单调递减，则（）A221loglog23fffB221log2log3fffC2212loglog3fffD2212loglog3fff7 抛物线22(0)xpy p的焦点与双曲线221169xy的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）A152B403C203D8 738已知函数()sincosf xxx，则下列结论错误的是（）A()f x 的最小正周期为2B()yf x的图象关于直线54x对称C74是()f x 的一个零点D()f x 在区间3,2单调递减试卷第 4 页，总 6 页9已知函数22,0()
4、24,0 xxxf xxxx,，若函数()()|1|F xf xkx有且只有 3 个零点，则实数k 的取值范围是（）A90,16B9,16C10,2D19,00,1616第 II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题10i 是虚数单位，复数321ii_.11已知直线250 xy与圆229xy交于点 A,B两点，则线段AB 的长为_.12在432xx的展开式中，常数项是_13 已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3 次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：_；记 X 为该同学在这3 次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为_.14已知0,0a
5、b，则2233224aba ba b的最小值为 _.15如图，在ABCV中，3,2,60ABACBAC，D,E 分别边 AB,AC 上的点,1AE且12AD AEuuu v uuu v，则ADu uu v_，若 P 是线段 DE 上的一个动点，则BP CPuuu v u uu v的最小值为 _.试卷第 5 页，总 6 页评卷人得分三、解答题16在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知223()32acbac（1）求cos B的值（2）若53ab（i）求sin A的值（ii）求sin 26A的值.17 如图，在四棱锥 P 一 ABCD 中，已知5,4,22ABBCACADDC
6、，点 Q 为 AC 中点，PO底面 ABCD,2PO，点 M 为 PC 的中点.（1）求直线PB 与平面 ADM 所成角的正弦值；（2）求二面角D-AM-C 的正弦值；（3）记棱 PD 的中点为 N，若点 Q 在线段 OP 上，且/NQ平面 ADM，求线段 OQ 的长.18已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63，点32 2,3T在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）已短直线2myx与椭交于A、B两点，点P 的坐标为(22,0)，且1PA PBuu u v uuu v,求实数 m 的值.试卷第 6 页，总 6 页19已知数列na是公差为1的等差数列，数列nb是等比数，且347aaa,24
7、5bbb,4234abb数列nc满足212,32,31,3mnmmbnmcbnmanm其中*mN.（1）求na和nb的通项公式（2）记*323131 3331nnnnnnntccccc cnN，求数列nt的前 n 项和.20 已知函数2()2 lnf xxxx，函数2()(ln)ag xxxx，其中aR，0 x是()g x的一个极值点，且02g x.（1）讨论()f x 的单调性（2）求实数0 x和 a 的值（3）证明*2111ln(21)241nknnNk答案第 1 页，总 19 页参考答案1B【解析】【分析】先利用补集的定义求出UC B，再利用交集的定义可得结果.【详解】因为全集 2,1,
8、0,1,2U，1,0,1B，所以 2,2UC B，又因为集合 2,0,1,2A，所以UAC BI 2,2.故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且不属于集合B的元素的集合.2A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简2320aa，再由充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】“2320aa”等价于“1a或2a”，“2a”能推出“1a或2a”，而“1a或2a”不能推出“2a”，所以“2a”是“2320aa”的充分非必要条件，故选：A.答案第 2 页，总 19 页【点睛】判断充分条
9、件与必要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,pq qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3A【解析】【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C、D；利用奇偶性可排除选项B，进而可得结果.【详解】因为2xxye，所以22xxxye，令0y可得，0,2xx，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C、D；又因为函数2xxye即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面
10、入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4B【解析】【分析】答案第 3 页，总 19 页由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为119BC CD CC，结合长方体1111ABCDA B C D的体积是 36可得结果.【详解】因为长方体1111ABCDA B C D的体积是36，点E在棱1CC上，且12CEEC，所以136BC CD CC，三棱锥E-BCD的体积是1132BC CDEC111121136432399BC CDCCBC CD
11、CC故选：B.【点睛】本题主要考查柱体的体积与锥体的体积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5C【解析】【分析】由频率和为1 可求得0.15a，再除以组距即可得结果.【详解】因为 0.04+0.08+a+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1，所以0.15a，又因为组距等于0.5，所以 t的值为0.150.30.5，故选：C.【点睛】直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的答案第 4 页，总 19 页乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等
12、处横坐标表示中位数.6C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出22loglo2g 3，再利用函数()f x 的单调性与奇偶性可得结果.【详解】因为()f x 是定义在R上的偶函数，所以2221loglog 3log 33fff，根据对数函数的单调性可得2223log1l g2olog，根据指数函数的单调性可得01022，所以22loglo2g 3，因为()f x 在区间0,)单调递减，所以222log 3logfff，即2212loglog3fff故选：C.【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间,0,0,1,1,）；二是利
13、用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7B【解析】【分析】答案第 5 页，总 19 页先求出抛物线22(0)xpy p的焦点与双曲线221169xy的右焦点，再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.【详解】抛物线22(0)xpy p的焦点为0,2pF，双曲线221169xy的右焦点为15,0F，所以110FFpk，又因为双曲线的渐近线为34yx=?，所以134011043FFpkp，故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的焦点，考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之间的关系，属于基础题.8D【解析】【分析】利用辅助角公式化简()2sin4f xx，再利
14、用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可.【详解】()sincos2 sin4f xxxx，对于A，()f x 的最小正周期为221，正确；对于B，54x时，1y为最小值，()yf x的图象关于直线54x对称，正确；对于C，74x时，0y，74是()f x 的一个零点，正确；答案第 6 页，总 19 页对于D，()f x 在区间3,2上不是单调函数，错误，故选：D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因
15、此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.9D【解析】【分析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线240 xyxx相切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数()()|1|F xf xkx有且只有 3 个零点时实数k的取值范围.【详解】答案第 7 页，总 19 页0k时，1ykx过0,1，设1ykx与240 xyxx切于11124,xxx，因为24yx，214kx，则111211241489,0316xxxkxx画出fx的图象，由图可知，当90,16k时，yfx与1ykx有三个交点k0时
16、，11ykxykx，1ykx过0,1，设1ykx与240 xyxx切于22224,xxx，因为24yx，所以224kx，可得222222241411801616xxxkkxx，画出fx的图象，由图可知，当10,16k，即1,016k时，yfx与1ykx有三个交点，综上可得，19,00,1616k时，yfx与1ykx有三个交点，即1F xfxkx有三个零点.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数
17、的数量关系提供了“形”的直观性 归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质答案第 8 页，总 19 页101522i【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】32132151112iiiiiii1522i，故答案为：1522i.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
18、出错，造成不必要的失分.114【解析】【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果.【详解】因为229xy的圆心为0,0，半径3r，0,0到直线250 xy的距离5514d，所以线段AB的长为2 954，故答案为：4.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式2121lkxx，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直答案第 9 页，总 19 页角三角形，利用勾股定理求解.128【解析】【分析】写出432xx的展开式的通项公式，让x的指数为零，求出常数项.【详解】因为432xx的展开式的通项公式为：4 44
19、331442()()(2)rrrrrrrTCxCxx，所以令44013rr，常数项为114(2)8C.【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力.13492【解析】【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量23,3XB，利用二项分布的期望公式可得结果.【详解】由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为223213943C；X可取 0，1，2，3，3032(0)332117P XC；21321)2(1339P XC223(22)33914P XC答案第 10 页，总 19 页30332(3)327831P XC则随机变量23,
20、3XB，所以2323EXnp，故答案为：4,29.【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布,XB n p），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E Xnp)求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度14 4【解析】【分析】化简原式为2214abba，两次运用基本不等式可得结果.【详解】22332222414aba baba bba22142abba4424abababab，当且仅当22144baabab，即21ab等号成立，答案第 11页，总 19 页所以，2233
21、224aba ba b的最小值为4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.15 1116【解析】【分析】由12uuu r uuu rAD AE利用数量积公式可求|ADuuu r的值为 1，设DP的长为x，则1PEx，2,1BDEC，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得uu
22、u r u uu rBP CP22xx，再利用配方法可得结果【详解】11cos60122AD AEADAEADou uu r uu u ruuu ruu u ruuu rQ，1ADu uu r；又因为1AE且60BAC，ADE为正三角形，1DEADAE，120BDPCEPo，2,1BDEC，设DP的长为x（01x），则1PEx，BP CPBDDPCEEPuu u r uuu ruu u ruuu ruuu ru uu rBD CEBD EPDP CEDP EPuuu r uuu ru uu r uu u ruu u r uuu ru uu r uuu r1112 12 1111222xxxx答
23、案第 12 页，总 19 页22111,241616xxx14x时取等号，BP CPu uu r uuu r的最小值为116.故答案为：1，116.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用16（1）23；（2）（i）55;（ii）4 3310.【解析】【分析】（1
24、）化简原式，直接利用余弦定理求cos B的值即可；（2）（i）由（1）可得5sin3B，再利用正弦定理求sin A的值；（ii）利用二倍角的余弦公式求得5sin5A，可得2 5cos5A，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）在ABC中，由22332acbac，整理得222223acbac，又由余弦定理，可得2cos3B；（2）（i）由（1）可得5sin3B，又由正弦定理sinsinabAB，及已知53ab，可得sin355sin535aBAb；答案第 13 页，总 19 页（ii）由（i）可得23cos212sin5AA，由已知53ab，可得ab，故有AB，A为锐角
25、，故由5sin5A，可得2 5cos5A，从而有4sin 22sincos5AAA,43314 33sin 2sin2coscos2sin666525210AAA.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.17（1）7 5555；（2）11011；（3）43.【解析】【分析】以O为原点，分别以向量,OB OC OPu uu r uuu r uu u r
26、的方向为x轴,y轴,z轴正方向，可以建立空间直角坐标系，（1）求出直线PB的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM的法向量，可求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；（2）由已知可得OB平面AMC，故OBuuu r是平面AMC的一个法向量，结合（1）中平面ADM的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D-AM-C的余弦值，从而可得正弦值；（3）设线段OQ的长为02hh，则点Q的坐标为0,0,h，由已知可得点N的坐标为1,0,1，利用直线NQuuu r与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】依题意，以O 为原点，分别以向量,OB OC OPuuu r uuu r uuu
27、r的方向为x 轴,y 轴,z轴正方向，可以建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,2,0)OABC，(2,0,0),(0,0,2),(0,1,1)DPM.答案第 14 页，总 19 页（1）依题意，可得(2,2,0),(0,3,1)ADAMuuuu ruu u r，设,nx y zr为平面 ADM 的法向量，则00n ADn AMuuu vvuuuu vv，即22030 xyyz，不妨设1y，可得1,1,3nr，又1,0,2PBuuu r，故7 55cos,55|PB nPB nPBnuuu rruuu r ruu u rr，直线 PB 与平面 A
28、DM 所成角的正弦值为7 5555；（2）由已知可得,OBAC OBPO，所以OB平面AMC，故OBuuu r是平面AMC的一个法向量，依题意可得1,0,0OBuu u r，因此有11cos,11|OB nOB nOBnuuu r ruu u r ruuu rr，于是有110sin,11OB nuu u r r，二面角 D-AM-C 的正弦值11011；（3）设线段OQ 的长为02hh，则点 Q 的坐标为0,0,h，由已知可得点N 的坐标为1,0,1，进而可得1,0,1NQhuuu r，由/NQ平面 ADM，故,0NQnNQ nu uu rruu u r r，即1310h，解得40,23h，答
29、案第 15 页，总 19 页线段 OQ 的长为43.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18（1）22193xy；（2）3m.【解析】【分析】（1）根据题意，结合性质222abc，列出关于a、b、c的方程组，求出a、b，即可得椭圆的方程；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向量数量积公式，结合条件1PA PBuu r uu r列方程求解即可.
30、【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有2223ca，又由222abc，可得223ab=，由点32 2,3T在椭圆上，有228113ab，由此可得229,3ab，椭圆的方程为22193xy；（2）设点 A 的坐标11,x y，点 B 的坐标22,xy,由方程组222193yxmxy，消去y，整理可得2276 2390 xmxm，由求根公式可得212126 239,77mmxxx x，答案第 16 页，总 19 页由点P的坐标为22,0，可得11222 2,2 2,PAxyPBxyuu u ruuu r，故12121212122 22 22 28PA PBxxy yx xxxy yuu u r
31、 uuu r，又11222,2yxm yxmQ，212121222y yx xm xxm，代入上式可得212123(22 2)8PA PBx xmxxmuu u r u uu r，由已知1PA PBuu r uu r，以及，可得223 39(22 2)(6 2)8177mmmm，整理得2690mm，解得3m，这时，的判别式2122521440m，故3m满足题目条件，3m.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,a b c的方程组，解出,a b，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的
32、关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.19（1）1,2nnnan b；（2）262816415315nnn.【解析】【分析】（1）利用341aaa,245bbb,4234abb列方程求出，等差数列的首项、等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据212,32,31,3mnmmbnmcbnmanm得222121243212222232nnnnnnntnnn，再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）设数列na的公差为d，数列nb的公比为q，则1d，答案第 17 页，总 19 页由347aaa，可得11ad，由245
33、bbb，可得24411bqbq，又10,0bqQ，故可得11b，再由4234abb，可得2440qq，解得2q=，1,2nnnan bnN；（2）22212,322,31,3mmnnmcnmmnm，其中nN，222121243212222232nnnnnnntnnn，记4321111,2,2nnnkknknnkkkTtABk，则442122 161221612151515nnnnA，211 2283 322nnBn，故有212141 8232(1)22nnnBnnL，-可得21213283222nnnBnL212 14214nnn262433nn，由此可得6223433nnnB，由3nnnTA
34、B，故可得262816415315nnnnT.【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q.20（1）fx在区间0,单调递增；（2）01,1xa；（3）证明见解析.【解析】答案第 18 页，总 19 页【分析】（1）求出fx，在定义域内，再次求导，可得在区间0,上0fx恒成立，从而可得结论；（2）由0gx，可得20002ln0 xxxa，由02g x可得220000ln20 xxxxa，
35、联立解方程组可得结果；（3）由（1）知22 lnfxxxx在区间0,单调递增，可证明1lnxxx，取*21,21kxkNk，可得2121ln(21)ln(21)2121kkkkkk，而221212212141kkkkk，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数fx的定义域为0,，且()22ln2fxxx，令h xfx，则有21()xh xx，由0hx，可得1x，可知当x变化时，,hxh x的变化情况如下表：x0,11 1,hx-0+h x极小值Z10h xh，即0fx，可得fx在区间0,单调递增；（2）由已知可得函数g x的定义域为0,，且22ln()1axgxxx，由
36、已知得0gx，即20002ln0 xxxa，由02g x可得，220000ln20 xxxxa，联立，消去a，可得20002ln2ln20 xxx，答案第 19 页，总 19 页令2()2(ln)2ln2t xxxx，则2ln22(ln1)()2xxxtxxxx，由（1）知，ln10 xx，故0tx，t x在区间0,单调递增，注意到10t，所以方程有唯一解01x，代入，可得1a，01,1xa；（3）证明：由（1）知22 lnfxxxx在区间0,单调递增，故当1,x时，11fxf，2222 ln1()1()0 xxxf xgxxx，可得g x在区间1,单调递增，因此，当1x时，12g xg，即2
37、1(ln)2xxx，亦即221(ln)xxx，这时10,ln0 xxx，故可得1lnxxx，取*21,21kxkNk，可得2121ln(21)ln(21)2121kkkkkk，而221212212141kkkkk，故2112(ln(21)ln(21)ln(21)41nknkkkk2111ln(21)()241nixnNk.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.