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1、20192019 年年 1111 月份温州市普通高中月份温州市普通高中高考高考适应性测试适应性测试数学试题一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分1.已知全集U 1,2,3,4，A 1,3，UB 2,3，则AI B（）A1B3C4D1,3,4x 02.设实数x,y满足不等式组y 0，则z x 2y的最大值为（）3x 4y 12 0A0B2C4D63.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）1Acm361Bcm331Ccm322Dcm3311正视图11侧视图俯视图x2y24.若双曲线C221a 0,b 0的离心率为3，则该双曲线的渐近线方
2、程为（）ab12Ay 2xBy 2xCy Dy xx225.已知a，b是实数，则“a 1且b 1”是“ab1 ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6.函数fxy12的图象可能是（）x 1x 1yyy1-1O 1x1-1O 1x1-1O 1x1-1O 1xABCD7.在四面体ABCD中，BCD是等边三角形，ADB 则的取值范围是（）A0,6B0,4C0,3D0,22，二面角B ADC的大小为，ABCD8.已知随机变量满足P 01 p，P1 p，其中0 p 1，令随机变量 E，则（）AE EBE EDD DCD Dx2y29.如 图，P为 椭 圆E1:2
3、21a b 0上 的 一 动 点，过 点P作 椭 圆abx2y2E2:220 1的两条ab切线PA，PB，斜率分别为k1，k2若k1k2为定值，则（）A14B24C12D22yAOPBx10.已知数列xn满足x1 2，xn12xn1nN N*，给出以下两个命题：命题p：对任意都有1 xn1 xn；命题q：存在r0,1，使得对任意nN N*，都有xn rn11 则nN N*，（）Ap真，q真Bp真，q假Cp假，q真Dp假，q假二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题4 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 6 分分11.若复数z满足2 i iz 1 2i i，其中i i为虚数单位，则z，z
4、xy12.直线1与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB；以线段AB为直径的圆的方程42为13.若对xR R，恒有x7 a 1 xa0 a1x L a5x5 a6x6，其中a,a0,a1,L,a5,a6R R，则a，a5214.如图所示，四边形ABCD中，sinBAC AC AD CD 7，ABC 120，的面积为，BD5 3，则ABC14ABDC15.学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6 种水果，西梅数量不多，只够一人购买甲、乙、丙、丁 4 位同学前去购买，每人只选择其中一种，这 4 位同学购买后，恰好买了其中 3 种水果，则他们购买水果的可能情况有种c c满足a a 1，b b
5、3，c c a a与c c b b的夹角为16.已知平面向量a a，b b，a ab b 0，则c cb b a a6的最大值为17.设函数fx x3 x a 3，若fx在1,1上的最大值为 2，则实数a所有可能的取值组成的集合是三、解答题：三、解答题：5 5 小题，共小题，共 7474 分分18.（本题满分 14 分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b 3，sin A asin B 2 3（1）求角A的值；（2）求函数fx cos2x A cos2x（x0,）的值域219.（本题满分 15）如图，已知四棱锥P ABCD，BCAD，平面PAD平面PBA，且DP DB，A
6、B BP PA AD 2BC（1）证明：AD 平面PBA；（2）求直线AB与平面CDP所成角的正弦值DCPAB20.（本题满分 15）已知等差数列an的首项a11，数列2an的前n项和为Sn，且S1 2，S2 2，S3 2成等比数列（1）求通项公式an；aa1an（2）求证：nnL n1（nN*）；naaan 12n121.（本题满分15）如图，过F的直线交抛物线于Ax1,y1，F是抛物线y2 2pxp 0的焦点，Bx2,y2两点，其中y1 0，y1y2 4过点A作y轴的垂线交抛物线的准线于点H，直线HF交抛物线于点P，Q（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值yHPOFBQ22
7、.（本题满分 15）已知实数a 0，设函数fx eax ax（1）求函数fx的单调区间；1a（2）当a 时，若对任意的x1,，均有fxx21，求a的取值范围22Ax注：e 2.71828L为自然对数的底数参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号答案1A2D3B4A5A6B7C8D9C10B二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.112i，5；122 5，x2 y2 4x 2y 0131，1；1415 3，8；415600；165；173,52 32 3,199三、解答题：本
8、大题共5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18()由正弦定理，得asin B bsin A 3sin A，则sin Aasin B 4sin A 2 3，得sin A 又A为锐角，故A 3，2；321cos2x31cos2x22()f(x)cosxcos x3221333sin 2x cos 2xsin2x，22223因0 x于是22x，故，3332333sin2x1，因此 fx，422333即f(x)的值域为,.4219（I）证明：分别取PA，PB的中点M，N，连结AN，DN，BM.因DP DB，N为PB的中点，故PB DN.同理，PB AN，BM故PB平面DNA
9、.故PB AD.因平面PAD平面PBA，平面PAD I平面PBA PA，PPA.DCMNBABM 平面PBA，BM PA，故BM则BM平面PAD.AD.又PB，BM是平面PBA中的相交直线，故AD平面PBA.（II）法一：设直线AB和DC交于点Q，连结PQ，则PQPA.因面ADP 面ABP，故PQ 面PAD，则面PQD 面PAD.DG取PD的中点G，连结AG，QG，则AG面PQD，C所以AQG就是直线AB与平面PCD所成角.不妨设AB2，则在RtAGQ中，AG=2，AQ4，故sinAQGAG2，AQ4PBQA所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为2.4zD法二：由（I）知，AD 面ABP，又
10、BCAD，故BC 面PAB.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设AB2，则A(0,0,0)，B(1,3,0)，C(1,3,1)，xPCAByD(0,0,2)，P(2,0,0)，uuu vuuu vuuu v则AB(1,3,0)，CD(1,3,1)，PD(2,0,2).设n n(x,y,z)是面PCD的一个法向量，uuu rn nCD 0，x3y z 0，则uuu，即，r2x2z 0n nPD 0取x=1，则n n (1,0,1).设直线AB与平面PCD所成的角为，uuuvuuuv|ABn n|12则sin|cosAB,n nv|uuu，|AB|n n|13 114所以直线AB与平面
11、PCD所成角的正弦值为2.42an1aad20解答：（I）记d为an的公差，则对任意nN N，a 2n1n 2，2n即2n为等比数列，公比q 2 0.由S1 2，S22，S3 2成等比数列，得(S22)(S12)(S32)，即2(1q)2 (2 2)2(1 q q)2，解得q 2，即d 1.所以an a1(n1)d n，即an n(nN N)；ad222（II）由（I），即证：111nL n(1)(nN N).n112n下面用数学归纳法证明上述不等式.当n 1时，不等式显然成立；假设当n k(k N N)时，不等式成立，即111kL k(1)，k 112k则当n k 1时，1111k1.L k
12、(1)k 112kk 1k 1k1k 1k22k k22k 1)k 1(1)0，因 k(1k 1k 2k 1k 2故k(1k1k 1)k 1(1).k 1k 2k 1于是1111k 1L k 1(1)，(k 1)112kk 1即当n k 1时，不等式仍成立.综合，得111nL n(1)(nN N).n112n所以aa1ann(nL n)1(nN N).na1a2ann121解答：（I）易得直线AB的方程为(y1 y2)y 2px y1y2，代入(p,0)，得y1y2 p2 4，所以p 2；22yy12y2（II）点A(,y1)，B(,y2)，则H(1,y1)，直线PQ:y 1(x1)，4422
13、代入y 4x，得y1x(2y116)x y1 0.22224(y124)设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，则|PQ|x3 x42.y12设A，B到PQ的距离分别为d1，d2，由PQ:y1x 2y y1 0，得2y13y1y2y13|2y1 y1(2y2 y1)|y1(y22y2 y1)|44d1d2422y14y14y134y13|2y|1|2y1 y2|4y1(y124)24，222y144y1y14y14因此SAPBQ(y124)51|PQ|(d1d2).322y14(x24)4(x26)(x24)5(x 0)，则f(x)设函数f(x)，x7x6可得，当x(0,6)时，f(x)单调递减
14、；当x(6,)时，f(x)单调递增，从而当y16时，S取得最小值12f(6)25 15922解答：（I）由f(x)aea a(e1)=0，解得x 0若a 0，则当x(0,)时，f(x)0，故f(x)在(0,)内单调递增；当x(,0)时，f(x)0，故f(x)在(,0)内单调递减若a 0，则当x(0,)时，f(x)0，故f(x)在(0,)内单调递增；当x(,0)时，f(x)0，故f(x)在(,0)内单调递减综上所述，f(x)在(,0)内单调递减，在(0,)内单调递增（II）f(x)axaxa2a(x 1)，即eax(x1)2（）22a1令x 0，得1，则 a222当x 1时，不等式（）显然成立，
15、当x(1,)时，两边取对数，即ax2ln(x1)ln令函数F(x)2ln(x1)axlna恒成立2a，即F(x)0在(1,)内恒成立222a(x1)2由F(x)a=0，得x 1 1x1x1a22故当x(1,1)时，F(x)0，F(x)单调递增；当x(1，+)时，F(x)0，aaF(x)单调递减.2aa2aln a2lna22a1令函数g(a)a2ln，其中 a2，221a1则g(a)1 0，得a 1，aa1故当a(,1)时，g(a)0，g(a)单调递减；当a(1,2时，g(a)0，g(a)单调2因此F(x)F(1)2ln递增又g()ln42a123 0，g(2)0，21 a2时，g(a)0恒成立，因此F(x)0恒成立，21a即当 a2时，对任意的x1,)，均有f(x)(x21)成立22故当