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1、数学试卷一、选择题1.若全集0,1,2,3,4U且2,3,则集合A的真子集共有()A.3 个B.5 个C.7 个D.8 个2.设复数z满足1,i zi 则z的共轭复数z()A.1122iB.1122iC.1122iD.1122i3.设等比数列na满足121312,6aaaa,则12naaa 的最大值为()A.32 B.128 C.64 D.256 4.若函数211fxx g mxx为偶函数,则m()A.1?B.1C.1?或1D.05.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所
2、示,即最终输出的0 x,则一开始输入的x的值为()A.34 B.1516 C.78 D.31326.已知2,3,4,3AB且2APPBu uu ru uu r,则P点的坐标为()A.6,9B.(3,0)C.6,9D.2,37.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.16 16 2B.32 16 2C.48D.6438.设变量,x y满足约束条件02220 xyxyy,则目标函数3zxy 的最大值为()A.4 B.6 C.8 D.10 9.若当x时,函数3sin4cosfxxx取得最大值,则cos()A.35B.45C.35D.4510.在三棱
3、锥PABC中,平面PAB平面,ABC CA平面,2 3,4,PAB PAPBABAC则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A.24B.32C.48D.6411.已知12,F F是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点,点1F关于渐近线的对称点恰好落在以2F为圆心2,|OF|为半径的圆上,则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.3?12.已知函数10,xfxeaxaxa a若有且仅有两个整数(1,2)ix i，使得0ifx，则a的取值范围为()A.1,1)21eB.21,1)2eC.211(,22eD.11(,21 2e二、填空题13.已知向量ar与br的夹角为120,且(24
4、),5abrr则向量ar在向量br方向上的投影为.14.62xyxy的展开式中,43x y 的系数为 _(用数字作答).15.已知点M抛物线24yx上的一点,F为抛物线的焦点,点A在圆22:(3)(1)1Cxy上,则MAMF的最小值 _ 16.如图,在ABC中,90,223ABCACCBo,P是ABC内一动点,120BPC?,则AP的最小值为.三、解答题17.设等差数列na的公差为d,前n项和为nS,已知579,49aS.1.求数列na的通项公式;2.令2nnnba,求数列nb的前n项和.18.在四棱锥PABCD中,平面PAD平面,2ABCD PAPD,四边形ABCD是边长为2的菱形,60,A
5、E是AD的中点.1.求证:BE平面PAD;2.求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.19.已知,?A B为椭圆22221xyab上的两个动点,满足90AOBo.1.求证:原点O到直线AB的距离为定值;2.求11OAOB的最大值;3.求过点O,且分别以,OA OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程.20.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:温度/xC212324272932产卵数/y个61120275777经计算得:611266iixx,611336iiyy,61()()557iiixxyy,621()84iixx,621()39
6、30iiyy线性回归模型的残差平方和621()236.64iiiyy,8.06053167e,其中,iix y分别为观测数据中的温度和产卵数,1,2,3,4,5,6i1.若用线性回归模型,求y关于x的回归方程?ybxa(精确到0.1);2.若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为0.23030.06?xye,且相关指数20.9522.R试与1中的回归模型相比,用2R说明哪种模型的拟合效果更好.用拟合效果好的模型预测温度为35 Co时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).附:一组数据1122,?,?.,?nnx yxyxy其回归直线?ybxa的斜率和截距的最小二乘估计为121()()()?nii
7、iniixxyybxx,?aybx;相关指数22121()1()niiiniiyyRyy.21、已知函数(为常数).1.讨论函数的单调区间;2.当时,设的两个极值点,恰为的零点,求的最小值.22.已知曲线C的极坐标方程是4cos.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是1cossinxtyt(t是参数)1.将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;2.若直线l与曲线C相交于,A B两点,且14AB,求直线的倾斜角的值.23.已知函数21fxxxR1.解不等式1fx;2.设函数1g xfxfx的最小值为m,且,0,abma b求41ab的范围.参考答案
8、1.答案：C 解析：由已知得0,1,4A，故其真子集有,0,1,4,0,1,0,4,1,4,共有7个。2.答案：B 解析：3.答案：C 解析：4.答案：C 解析：5.答案：B 解析：6.答案：C 解析：7.答案：B 解析：8.答案：C 解析：9.答案：B 解析：10.答案：B 解析：11.答案：D 解析：12.答案：B 解析：13.答案：5解析：14.答案：10 解析：15.答案：3 解析：16.答案：131解析：17.答案：1.在等差数列na中,由717749,Saa得:47,a又59a,公差12,1da,数列na的通项公式21 nannN2.2(21)2nnnnban令数列nb的前n项和为
9、nT1231123252(23)2(21)2nnnTnn,231121232(25)2(23)2(21)2nnnnTnnn,23112122(222221)2228(21)2nnnnnnTnn)-(;123 26nnTn.解析：18.答案：1.连接BD,由2,PAPDE是AD的中点,得PEAD,由平面PAD平面ABCD,可得PE平面,ABCD PEBE,又由于四边形ABCD是边长为2的菱形,60A,BEADBE平面PAD.2.以E为原点,EA EB EP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,0,0,3,1,0,0,0,3,0,2,3,0,PABC1,0,3,0,3,3,2,3,3,PAPBPCu
10、 u u ruu u ruuu r令平面PAB的法向量为,nx y zr则30330PA nxzPB nyzuu u rruuu rr,取1?y,得(3,1,1)nr,同理可得平面PBC的一个法向量为0,1,1,mu r所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为:10cos,.5m nm nmnu rru r ru rr解析：19.答案：1.当直线AB的斜率不存在时,由yx代入椭圆方程可得:22221xxab,解得22abxab,此时原点O到直线AB的距离为22abab.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为1122,.ykxt A xyB xy联立222222ykxtb xa ya
11、 b,化为222222 22220,0,ba kxa ktxa ta b则22 22212122222222,a kta ta bxxx xba kba k,1212121290.0AOBx xy yx xkxtkxto,化为22121210,kx xkt xxt化为22 22222 22222222(1)()20ka ta ba k ttba kba k,化为2222221ta bkab,原点O到直线AB的距离2221tabdkab.综上可得:原点O到直线AB的距离为定值22abab.2.由 1 可得221122abOA OBABab,22abOA OBABab,2211OAOBOAOBab
12、OAOBOA OBABab2222222OAOBababababOAOB,当且仅当OAOB时取等号.11OAOB的最大值为222abab.3.如图所示,O过点,且分别以,OA OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足:,OPPA OPPB.因此,P A B三点共线.由 1 可知:原点O到直线AB的距离为定值22abab.分别以,OA OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为222222a bxyab.解析：20.答案：1.y关于x的线性回归方程为6.638 6?1.yx2.由所给数据求得的线性回归方程为6.638 6?1.yx,相关指数为6221621()236.641110.06020.9
13、3983930()iiiiiyyRyy因为0.93980.9522,所以回归方程0.23030.06?xye比线性回归方程6.638 6?1.yx拟合效果更好.由得当温度35xC时,0.2303 358.06050.060.06?yee又8.06053167e0.063167?190y(个).即当温度35xC时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个.解析：由题意得61621?()()5576.684()iiiiixxyybxx,336.626138.6,?ay关于x的线性回归方程为6.638 6?1.yx答案：21、22.答案：1.222,cosxsinyxy,曲线C的极坐标方程是4cos可化为
14、:2224,4,cosxyx22 24.xy2.4或34解析：将1cossinxtyt代入圆的方程22(2)4xy得22(1)()4tcostsin，化简得2230ttcos设,A B两点对应的参数分别为12,t t,则121 22cos3ttt t2212121 2()44cos1214ABttttt t,可得2cos24或34所以直线的倾斜角为4或3423.答案：1.1,02.9,)2解析：1.1fx,即 2111211,xx解得1,0;x不等式1fx的解集为1,0.2.1212121212,g xfxfxxxxx2,0,aba b4114114149()()(5)(52)2222babaababababab,当且仅当42baabab,即42,33ab时等号成立,综上:41ab的范围为9,)2