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1、十堰市东风铁路学校十堰市东风铁路学校 李建军李建军12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质 第第2课时课时ODEPP P到到OAOA的的距离距离P P到到OBOB的的距离距离角平分线上的点角平分线上的点几何语言描述：几何语言描述：O OP P平分平分AOBAOB PDOAPDOA PEOBPEOB PD=PE PD=PEACB 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线的性质：角的平分线的性质：想一想想一想交换上述命题的题设和结论，你能得交换上述命题的题设和结论，你能得到什么新命题，这个命题正确吗？到什么新命题，这个命题正确吗？求证：到角的两边的距
2、离相等求证：到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上的点，在这个角的平分线上.说一说说一说 已知：如图，已知：如图，垂足，垂足分别是分别是 D、E，PD=PE.证明：证明：作射线作射线OP 点点P在在 的平分线上的平分线上 在在 RtPDO和和RtPEO 中，中，OP =OP（公共边公共边）PD =PE （已已 知知 ）BADOPE证一证证一证求证：点求证：点P在在AOB的平分线上的平分线上.RtPDO RtPEO（HL）角的平分线的判定角的平分线的判定的几何语言描述：的几何语言描述：OP 是是 的平分线的平分线PD=PE DEOPAB角的平分线的判定：角的内部到角的平分线的判定：角的内部
3、到角的两边的角的两边的距离相等距离相等的点，在这的点，在这个个角的平分线角的平分线上。上。读一读读一读1 1、如图，要在、如图，要在S S区建一个集贸市场，使它到铁区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，则这个集贸市场应建在路和公路的距离相等，则这个集贸市场应建在_._.SCABABC的平分线上的平分线上公路公路铁路铁路做一做做一做例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且，且BEBECFCF。求证：求证：ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线.A AB BC CE
4、EF FD D证明：证明：DEABDEAB，DFACDFAC BED=CFD=90 BED=CFD=90 DD是是BCBC的中点的中点 BD=CD 在在RtBEDBED 和和RtCFDCFD 中，中，BD=CDBD=CD（公共边）（公共边）BEBECFCFRtBEDBED RtCFDCFD （HL）DE=DFADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线2、“如图，若如图，若PA=PB，则，则OP平分平分AOB.”以上说法是否正确？若正确，请证明；以上说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由若不正确，请说明理由.添加条件使添加条件使1与与2满足满足_，可，可证明证明OP平分平分AOB.
5、诊一诊诊一诊1+2=180数学数学 医院医院解：不正确解：不正确.理由：缺少理由：缺少P到到OA，OB的的距离距离.治一治治一治证明：过点证明：过点P作作PC OA于点于点C，PD OB于点于点D.CD则则PCA=PDB=9012=180 PBD2=1801=PBD PA=PBPCA=PDB1=PBDPCAPDB（AAS）PC=PD OP平分平分AOB.在在PCA和和PDB中，中，角的平分线的角的平分线的性质性质图图形形已已知知条条件件结结论论PCPCOP平分平分AOBPD OA于于DPE OB于于EPD=PEOP平分平分AOBPD=PEPD OA于于DPE OB于于E角的平分线的角的平分线的
6、判定判定辨一辨辨一辨3、如图，四边形、如图，四边形ABDC中，中，D=B=90，点，点O为为BD的中点，且的中点，且AO平分平分BAC求证：求证：CO平分平分ACD.温馨提示：有角的温馨提示：有角的平分线平分线，向两边，向两边作垂线作垂线.E证明：过点证明：过点O作作OE AC于点于点E.OB AB，AO平分平分BAC，OB=OE.O为为BD的中点，的中点，OB=OD.OE=OD.又又OE AC，OD CD，CO平分平分ACD.练一练练一练ABCPEDFMN4 4、如图，如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P.求证：点求证：点P P在在A A的平分线上的
7、平分线上.证明：过点证明：过点P P作作PDABPDAB于于D D，PEBCPEBC于于E E，PFACPFAC于于F F.BP是是ABC的角平分线，的角平分线，PD=PE.同理同理 PE=PF.PD=PF.PDAB，PFAC点点P在在A的平分线上的平分线上.三角形的三条角平分线交于一点，这个交三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫作三角形的点叫作三角形的内心内心，它到三角形三边的，它到三角形三边的距离距离相等相等.新的收获新的收获角的内部到角的两边的角的内部到角的两边的距离距离相等的相等的点，在这个角的平分线上。点，在这个角的平分线上。1 1、角平分线的判定：、角平分线的判定：3 3、角的
8、平分线的辅助线作法：、角的平分线的辅助线作法：有角的有角的平分线平分线，向两边，向两边作垂线作垂线。2 2、三角形的内心：、三角形的内心：三角形的三条角平分线交于一点，这个交三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫作三角形的点叫作三角形的内心内心，它到三角形三边的，它到三角形三边的距离距离相等相等.学以致用学以致用1、如图，O是ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若A=70，则BOC的度数为 _.125易错易混易错易混2、如图，三条公路相交，现在要修建一如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相加油站，使加油站到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有几处，你能找等，则可供选择的地址有几处，你能找出来吗？出来吗？P1P2P3P4l1l2l3