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1、高等院校非数学类本科数学课程线性代数线性代数 大大 学学 数数 学学（3）第八讲第八讲 欧氏空间欧氏空间脚本编写：彭亚新教案制作：彭亚新 第三章第三章 向量空间向量空间第四节第四节 欧氏空间欧氏空间本节教学要求：了解向量的内积和向量正交的概念。知道欧氏空间的概念。了解向量空间的正交基的概念。能熟练地将向量空 间的一般基转换为相应的正交基。一.欧几里得空间二.向量的正交性第四节第四节 欧几里得空间欧几里得空间一一.欧几里得空间欧几里得空间例例证证二二.向量的正交性向量的正交性例解解规定零向量与任何向量正交。规定零向量与任何向量正交。例证证例证证例证证重要啊！重要啊！例证证请翻开书请翻开书,看看
2、P 131 倒数第倒数第 4 行行的定理的定理 2 及其证明。及其证明。例解解第五节第五节 线性变换线性变换一、线性变换的定义请点击请点击二、线性变换的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵四、线性变换的特征值与特征向量一、线性变换的定义一、线性变换的定义定义定义1 1(1)对任意对任意,V,有有T(+)=T()+T()(2)对任意对任意V,及任意实数及任意实数 k，有有T(k)=kT()则称则称 T 为为 V 的一个的一个线性变换线性变换.向向量量空空间间 V 到到自自身身的的一一个个映映射射 ，称称为为V的的 一个一个变换变换。T若若T满足满足：向量向量 在在 T 下的像下的像，记为记为T()或或
3、T.注注2 2：用粗体大写字母用粗体大写字母T,A，B，C，表示线性变表示线性变换换，它构成一个线性空间它构成一个线性空间，定义定义变换变换T：全体的集合全体的集合，设设表示定义在表示定义在R上次数不超过上次数不超过 的多项式的多项式例例1 1：故故T 为为 的一个线性变换的一个线性变换.对对注注1 1：定义式中定义式中（1 1），（2 2）可表示为可表示为例例2 2：证证：T(+)=(+)A设设 A 为为一一 n 阶阶实实矩矩阵阵，对对任任意意 Rn，令令 T=A,则则 T 为为 Rn 中的线性变换中的线性变换.=A+A=T+TT(k)=(k)A=k(A)=k(T)故故 T 为为 Rn 中的
4、线性变换中的线性变换.V V 中两类特殊的线性变换中两类特殊的线性变换：1.恒等变换恒等变换 EE=,V2.零变换零变换 OO=0,V定理定理1 1设设 T 是是V 的一个线性变换的一个线性变换，则则(1)T把零把零向量变到零向量向量变到零向量，把把 的负向量变的负向量变到到 的像的负向量的像的负向量，即即T 0=0；T()=T.(2)T保持向量的线性组合关系不变保持向量的线性组合关系不变,即即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.定义定义2 2设 L(V)是是向向量量空空间间 V 的的
5、全全体体线线性性变变换换的的集集合合,定义定义 L(V)中的加法，数乘与乘法如下中的加法，数乘与乘法如下：加法加法:(T1+T2)=T1+T2;数乘数乘:(kT)=kT乘法乘法:(T1T2)=T1(T2)对对 V,kR.均为均为 V 的线性变换的线性变换.T1+T2，T1T2，kT可证可证:若若 T1,T2 均为均为 V 的线性变换，则的线性变换，则二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵T 为 V 的一个线性变换.T=k1 T 1+k2 T 2+km T m设 V 为向量空间,dim(V)=m.1,2,m 为V 的一组基，=k11+k22+kmmT1=a111+a212+am1mT2=a121+
6、a222+am2mTm=a1m1+a2m2+ammm 即即(T 1,T 2,T m)=(1,2,m)A其中其中T(1,2,m)=(1,2,m)A简记为简记为设（1）（2）,m下的矩阵下的矩阵.称矩阵称矩阵 A 为线性为线性变换变换 T 在基在基1,2,给定给定 V 的基的基1,2,m,线性变换线性变换T矩阵矩阵A定理定理3 3设设 V 的线性变换的线性变换 T有有(T 1,T 2,T m)=(1,2,m)A向量向量在基在基1,2,m下的坐标为下的坐标为(x1,x2,xm)，T在此基下的坐标为在此基下的坐标为(y1,y2,ym),则则=(1,2,m)A=x11+x22+xmmT=x1 T 1+x
7、2 T 2+xm T m=(1,2,m)证明证明：所以所以例例3 3：设设 R3 的线性变换的线性变换TT(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)求求 T 在标准基在标准基1,2,3下的矩阵下的矩阵.解解：T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)=a111+a21 2+a31 3T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)=a121+a22 2+a32 3T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)=a131+a23 2+a33 3故故 T T 在标准基在标准基 1,2,3 下的矩
8、阵为下的矩阵为特例：特例：线性变换线性变换 T=k 数量矩阵数量矩阵kE恒等变换恒等变换 T=单位矩阵单位矩阵E零零变换变换 T=0 零矩阵零矩阵O定理定理4 4三、线性变换在新基下的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵1,2,m1,2,m；设设 向量空间向量空间V有两组基，分别为有两组基，分别为B=C1AC则则证明证明：）（1,2,mB）（1,2,m（1,2,mC且且=T(1,2,m)=(1,2,m)=(1,2,m)AT）(1,2,m)=（1,2,mBT（1,2,mC）T=(1,2,m)A C=（1,2,m）C1AC.B=C1AC.故故定义定义5 5设设 A,B 为为两两 n 阶阶方方阵阵，若若存
9、存在在可可逆逆矩矩阵阵 C，使使 B=C1AC,则则称称方方阵阵 A 与与 B 相相似似，记为记为AB.性质性质：(1)AA(反身性反身性)(2)AB BA(对称性对称性)(3)AB,BC AC(传递性传递性)AC1BC=B=(FD)-1 C(FD)A=D-1DCF)=D-1D(F-1解：解：从从e1,e2,e3 到到1,2,3的过渡矩阵的过渡矩阵例例5 5 线性变换线性变换 T 在在 R3 中基中基 e1,e2,e3 下的矩阵为下的矩阵为求求T在基在基1=2e1+3e2+e3,2=3e1+4e2+e3,3=e1+2e2+2e3 下的矩阵下的矩阵.故线性变换故线性变换 T 在在 1,2,3 下
10、的矩阵下的矩阵B=C1AC四、线性变换的特征值与特征向量四、线性变换的特征值与特征向量定义定义6 6问题:线性变换在何种基下对应对角矩阵线性变换在何种基下对应对角矩阵?T =成成立立，则则称称 为为T的的一一个个特特征征值值，而而 称称为为 T 对对应于特征值应于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。如果存在如果存在数数 及及 n 维维非零向量非零向量 ，使得使得设设 T 是向量空间是向量空间 V 的一个线性变换的一个线性变换,注：注：若若 为为 T的属于特征值的属于特征值 的一个特征向量的一个特征向量,则则k (k 0)也为也为T的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量.T(k)=kT
11、=k =(k)若若 1,2,m为为T 的特征向量，且构成的特征向量，且构成 V 的基的基由 Ti=i iT（1,2,m）=（1,2,m）T在在特征向量特征向量这组基下这组基下定理定理5 5设设 V 为为 m 维维向向量量空空间间，T为为 V 的的一一个个线线性性变变换换.那那么么存存在在 V 的的一一组组基基，使使得得 T在在这这组组基基下下的的矩矩阵阵为为对对角角矩矩阵阵的的充充要要条条件件是是 T 有有 m 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.对角矩阵对角矩阵特征值特征值 ，特征向量特征向量 的求法的求法：设 1,2,m为V 的一组基(T 1,T 2,T m)=(1,2,m)A=(1
12、,2,m)A =x11+x22+xmmT =x1 T 1+x2 T 2+xm T m=(1,2,m)=(1,2,m)满足：A=即即 (A E)X=0A X=X成成立立，则则称称 为为矩矩阵阵 A 的的一一个个特特征征值值，而而 X称称为为矩矩阵阵 A 对对应应于于特特征征值值 的的一一个个特征向量特征向量。定义定义7 7设设 A R n n，如如果果存存在在数数 及及 n 维维非非零零向量向量 X，使得使得T =注：A X=X 其中,m下的矩阵.X为A 为 T 在基1,2,的坐标(A E)X=0定义定义3 3欧欧氏氏空空间间 V 的的线线性性变变换换T称称为为正正交交变变换换，若对任意若对任意,V,均有均有(T,T)=(,)定理定理2 2设设A是是欧欧氏氏空空间间的的一一个个线线性性变变换换，则则下下面面几个命题等价几个命题等价：(1)T是正交变换是正交变换；(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的保持向量的长度不变，即对于任意的 V,|T|=|;(3)如果如果1,2,m是是V的的标准正交基标准正交基，则则T1,T2,Tm也是也是V的的标准正交基标准正交基；(4)T在任一组在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵标准正交基下的矩阵是正交矩阵.