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1、第8讲欧氏空间正交基现在学习的是第1页，共62页第三章第三章 向量空间向量空间第四节第四节 欧氏空间欧氏空间本节教学要求：了解向量的内积和向量正交的概念。知道欧氏空间的概念。了解向量空间的正交基的概念。能熟练地将向量空 间的一般基转换为相应的正交基。现在学习的是第2页，共62页一.欧几里得空间二.向量的正交性第四节第四节 欧几里得空间欧几里得空间现在学习的是第3页，共62页一一.欧几里得空间欧几里得空间现在学习的是第4页，共62页现在学习的是第5页，共62页例现在学习的是第6页，共62页现在学习的是第7页，共62页现在学习的是第8页，共62页现在学习的是第9页，共62页现在学习的是第10页，共
2、62页例证证现在学习的是第11页，共62页现在学习的是第12页，共62页二二.向量的正交性向量的正交性现在学习的是第13页，共62页例解解现在学习的是第14页，共62页现在学习的是第15页，共62页规定零向量与任何向量正交。规定零向量与任何向量正交。现在学习的是第16页，共62页例证证现在学习的是第17页，共62页例证证现在学习的是第18页，共62页例证证现在学习的是第19页，共62页现在学习的是第20页，共62页现在学习的是第21页，共62页现在学习的是第22页，共62页现在学习的是第23页，共62页重要啊！重要啊！现在学习的是第24页，共62页现在学习的是第25页，共62页例证证现在学习的
3、是第26页，共62页现在学习的是第27页，共62页现在学习的是第28页，共62页请翻开书请翻开书,看看 P 131 倒数第倒数第 4 行行的定理的定理 2 及其证明。及其证明。现在学习的是第29页，共62页现在学习的是第30页，共62页现在学习的是第31页，共62页现在学习的是第32页，共62页现在学习的是第33页，共62页现在学习的是第34页，共62页现在学习的是第35页，共62页现在学习的是第36页，共62页现在学习的是第37页，共62页例解解现在学习的是第38页，共62页现在学习的是第39页，共62页第五节第五节 线性变换线性变换一、线性变换的定义请点击请点击二、线性变换的矩阵三、线性变
4、换在新基下的矩阵四、线性变换的特征值与特征向量现在学习的是第40页，共62页一、线性变换的定义一、线性变换的定义定义定义1 1(1)对任意对任意,V,有有T(+)=T()+T()(2)对任意对任意V,及任意实数及任意实数 k，有有T(k)=kT()则称则称 T 为为 V 的一个的一个线性变换线性变换.向向量量空空间间 V 到到自自身身的的一一个个映映射射 ，称称为为V的的 一个一个变换变换。T若若T满足满足：现在学习的是第41页，共62页向量向量 在在 T 下的像下的像，记为记为T()或或T.注注2 2：用粗体大写字母用粗体大写字母T,A，B，C，表示线性变表示线性变换换，它构成一个线性空间它
5、构成一个线性空间，定义定义变换变换T：全体的集合全体的集合，设设表示定义在表示定义在R上次数不超过上次数不超过 的多项式的多项式例例1 1：故故T 为为 的一个线性变换的一个线性变换.对对注注1 1：定义式中定义式中（1 1），（2 2）可表示为可表示为现在学习的是第42页，共62页例例2 2：证证：T(+)=(+)A设设 A 为为一一 n 阶阶实实矩矩阵阵，对对任任意意 Rn，令令 T=A,则则 T 为为 Rn 中的线性变换中的线性变换.=A+A=T+TT(k)=(k)A=k(A)=k(T)故故 T 为为 Rn 中的线性变换中的线性变换.现在学习的是第43页，共62页V V 中两类特殊的线性
6、变换中两类特殊的线性变换：1.恒等变换恒等变换 EE=,V2.零变换零变换 OO=0,V现在学习的是第44页，共62页定理定理1 1设设 T 是是V 的一个线性变换的一个线性变换，则则(1)T把零向量变到零向量把零向量变到零向量，把把 的负向量变到的负向量变到 的像的负向量的像的负向量，即即T 0=0；T()=T.(2)T保持向量的线性组合关系不变保持向量的线性组合关系不变,即即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.现在学习的是第45页，共62页定义定义2 2设 L(V)是是向向量量空空
7、间间 V 的的全全体体线线性性变变换换的的集集合合,定义定义 L(V)中的加法，数乘与乘法如下中的加法，数乘与乘法如下：加法加法:(T1+T2)=T1+T2;数乘数乘:(kT)=kT乘法乘法:(T1T2)=T1(T2)对对 V,kR.均为均为 V 的线性变换的线性变换.T1+T2，T1T2，kT可证可证:若若 T1,T2 均为均为 V 的线性变换，则的线性变换，则现在学习的是第46页，共62页二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵T 为 V 的一个线性变换.T=k1 T 1+k2 T 2+km T m设 V 为向量空间,dim(V)=m.1,2,m 为V 的一组基，=k11+k22+kmm现在学
8、习的是第47页，共62页T1=a111+a212+am1mT2=a121+a222+am2mTm=a1m1+a2m2+ammm 即即(T 1,T 2,T m)=(1,2,m)A其中其中T(1,2,m)=(1,2,m)A简记为简记为设（1）（2）,m下的矩阵下的矩阵.称矩阵称矩阵 A 为线性为线性变换变换 T 在基在基1,2,给定给定 V 的基的基1,2,m,线性变换线性变换T矩阵矩阵A现在学习的是第48页，共62页定理定理3 3设设 V 的线性变换的线性变换 T有有(T 1,T 2,T m)=(1,2,m)A向量向量在基在基1,2,m下的坐标为下的坐标为(x1,x2,xm)，T在此基下的坐标为
9、在此基下的坐标为(y1,y2,ym),则则现在学习的是第49页，共62页=(1,2,m)A=x11+x22+xmmT=x1 T 1+x2 T 2+xm T m=(1,2,m)证明证明：所以所以现在学习的是第50页，共62页例例3 3：设设 R3 的线性变换的线性变换TT(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)求求 T 在标准基在标准基1,2,3下的矩阵下的矩阵.解解：T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)=a111+a21 2+a31 3T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)=a
10、121+a22 2+a32 3T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)=a131+a23 2+a33 3现在学习的是第51页，共62页故故 T T 在标准基在标准基 1,2,3 下的矩阵为下的矩阵为现在学习的是第52页，共62页特例：特例：线性变换线性变换 T=k 数量矩阵数量矩阵kE恒等变换恒等变换 T=单位矩阵单位矩阵E零变换零变换 T=0 零矩阵零矩阵O现在学习的是第53页，共62页定理定理4 4三、线性变换在新基下的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵1,2,m1,2,m；设设 向量空间向量空间V有两组基，分别为有两组基，分别为B=C1AC则则证明证明：）（1,2,mB）（1,2,
11、m（1,2,mC且且=T(1,2,m)=(1,2,m)=(1,2,m)AT）(1,2,m)=（1,2,mBT（1,2,mC）T=(1,2,m)A C=（1,2,m）C1AC.B=C1AC.故故现在学习的是第54页，共62页定义定义5 5设设 A,B 为为两两 n 阶阶方方阵阵，若若存存在在可可逆逆矩矩阵阵 C，使使 B=C1AC,则则称称方方阵阵 A 与与 B 相相似似，记记为为AB.性质性质：(1)AA(反身性反身性)(2)AB BA(对称性对称性)(3)AB,BC AC(传递性传递性)AC1BC=B=(FD)-1 C(FD)A=D-1DCF)=D-1D(F-1现在学习的是第55页，共62页
12、解：解：从从e1,e2,e3 到到1,2,3的过渡矩阵的过渡矩阵例例5 5 线性变换线性变换 T 在在 R3 中基中基 e1,e2,e3 下的矩阵为下的矩阵为求求T在基在基1=2e1+3e2+e3,2=3e1+4e2+e3,3=e1+2e2+2e3 下的矩阵下的矩阵.现在学习的是第56页，共62页故线性变换故线性变换 T 在在 1,2,3 下的矩阵下的矩阵B=C1AC现在学习的是第57页，共62页四、线性变换的特征值与特征向量四、线性变换的特征值与特征向量定义定义6 6问题:线性变换在何种基下对应对角矩阵线性变换在何种基下对应对角矩阵?T =成成立立，则则称称 为为T的的一一个个特特征征值值，
13、而而 称称为为 T 对对应应于于特征值特征值 的一个的一个特征向量特征向量。如果存在如果存在数数 及及 n 维维非零向量非零向量 ，使得使得设设 T 是向量空间是向量空间 V 的一个线性变换的一个线性变换,注：注：若若 为为 T的属于特征值的属于特征值 的一个特征向量的一个特征向量,则则k (k 0)也为也为T的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量.T(k)=kT=k =(k)现在学习的是第58页，共62页若若 1,2,m为为T 的特征向量，且构成的特征向量，且构成 V 的基的基由 Ti=i iT（1,2,m）=（1,2,m）T在在特征向量特征向量这组基下这组基下定理定理5 5设设 V
14、 为为 m 维维向向量量空空间间，T为为 V 的的一一个个线线性性变变换换.那那么么存存在在 V 的的一一组组基基，使使得得 T在在这这组组基基下下的的矩矩阵阵为为对对角角矩矩阵阵的的充充要要条条件件是是 T 有有 m 个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.对角矩阵对角矩阵现在学习的是第59页，共62页特征值特征值 ，特征向量特征向量 的求法的求法：设 1,2,m为V 的一组基(T 1,T 2,T m)=(1,2,m)A=(1,2,m)A =x11+x22+xmmT =x1 T 1+x2 T 2+xm T m=(1,2,m)=(1,2,m)满足：A=即即 (A E)X=0现在学习的是第60
15、页，共62页A X=X成成立立，则则称称 为为矩矩阵阵 A 的的一一个个特特征征值值，而而 X称称为为矩矩阵阵 A 对对应应于于特特征征值值 的的一一个个特征向量特征向量。定义定义7 7设设 A R n n，如如果果存存在在数数 及及 n 维维非非零零向量向量 X，使得使得T =注：A X=X 其中,m下的矩阵.X为A 为 T 在基1,2,的坐标(A E)X=0现在学习的是第61页，共62页定义定义3 3欧欧氏氏空空间间 V 的的线线性性变变换换T称称为为正正交交变变换换，若若对对任意任意,V,均有均有(T,T)=(,)定理定理2 2设设A是是欧欧氏氏空空间间的的一一个个线线性性变变换换，则则下下面面几几个个命命题等价题等价：(1)T是正交变换是正交变换；(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的保持向量的长度不变，即对于任意的 V,|T|=|;(3)如果如果1,2,m是是V的的标准正交基标准正交基，则则T1,T2,Tm也是也是V的的标准正交基标准正交基；(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.现在学习的是第62页，共62页