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1、1.7定积分的应用定积分的应用 学校学校:长安二中长安二中授课授课:王星王星问题情境问题情境（复习引入）（复习引入）1、求曲边梯形的思想方法是什么？、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？、微积分基本定理是什么？课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/122例题研究例题研究（一）利用定积分求平面图形的面积一）利用定积分求平面图形的面积 例例1、求曲线、求曲线 与直线与直线 x轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。略解：根据定
2、积分的略解：根据定积分的几何意义所求面积为几何意义所求面积为 课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/123变式引申：变式引申：1、求直线、求直线 与抛物线与抛物线 所围成的图形面积。所围成的图形面积。略解：略解：如图如图直线直线与抛物线与抛物线的交点的交点坐标为（坐标为（1 1，1 1）和（和（3，9），则），则课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/124变式引申变式引申2、求由抛物线、求由抛
3、物线 及其在点及其在点M（0，3）和和N（3，0）处的两条切线所围成的）处的两条切线所围成的图形的面积。图形的面积。xyoy=x2+4x-3略解：略解：则在则在M M、N N点处的切线方程点处的切线方程分别为分别为、则所求图形的面积为则所求图形的面积为课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/125变式引申变式引申3、求曲线、求曲线与曲线与曲线以及以及轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。略解：略解：如图如图由由得得当当则所求图形的面积为则所求图形的面积为由由得得课题：课题：课题：课题：定积分的
4、应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/126变式引申变式引申4、在曲线在曲线 上的某点上的某点A处作处作一切线使之与曲线以及一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为轴所围成的面积为.试求：切点试求：切点A的坐标以及切线方程的坐标以及切线方程.x yOy=x2ABC略解：如图由题可设切点坐标为略解：如图由题可设切点坐标为则切线方程为则切线方程为 轴的交轴的交点坐标为点坐标为切线与切线与 则由题可知有则由题可知有所以切点坐标与切线方程分别为所以切点坐标与切线方程分别为课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分
5、的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/127 （1）画图）画图,并将图形分割为若干个并将图形分割为若干个曲边梯形；曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在）对每个曲边梯形确定其存在的范围的范围,从而确定积分的上、下限；从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和）求出各曲边梯形的面积和,即即各积分的绝对值的和。各积分的绝对值的和。求曲边梯形面积的方法与步骤：求曲边梯形面积的方法与步骤：课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功202
6、3/1/128几种常见的曲边梯形面积的计算方法：几种常见的曲边梯形面积的计算方法：型区域：型区域：以及以及(1)曲线曲线与直线与直线轴所围成的曲边梯形的面积：轴所围成的曲边梯形的面积：以及以及(2)曲线曲线与直线与直线轴所围成的曲边梯形的面积：轴所围成的曲边梯形的面积：yabxyabxb课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/129(3)两条曲线两条曲线与直线与直线围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积:yabx 特别注意图形面积与定积分不一定相等特别注意图形面积与定积分不一定相等,的图像与的
7、图像与轴围成的图形的面积为轴围成的图形的面积为4,而其定积分为而其定积分为0.如函数如函数课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/1210yabxaabbyyxx型区域：型区域：课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功可由可由先求出先求出然后利用然后利用求出求出 可由可由先求出先求出然后用然后用 求出求出 用用求求2023/1/1211例例2:求由曲线求由曲线所围成的图形绕所围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积。
8、轴旋转所得旋转体的体积。例题研究例题研究(二二)利用定积分求曲边旋转体的体积利用定积分求曲边旋转体的体积 xyox=1分析：分析：（1）分割）分割;(2)以直代曲；以直代曲；（3）求和；）求和；(4)逼近。逼近。课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/1212（三）定积分在物理中应用（三）定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 例例3、A、B两站相距两站相距7.2km,一辆电车从一辆电车从A站站B开往站开往站,电车开出电车开出ts后到达途中后到达途中C点点,这一段这一段
9、的速度为的速度为1.2t(m/s),到到C点的速度为点的速度为24m/s,从从C点到点到B点前的点前的D点以等速行驶点以等速行驶,从从D点开始刹点开始刹车车,经经ts后后,速度为速度为(24-1.2t)m/s,在在B点恰好停点恰好停车车,试求试求（1）A、C间的距离间的距离;（2）B、D间的距离间的距离;（3）电车从）电车从A站到站到B站所需的时间。站所需的时间。例题研究例题研究 课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/1213略解略解:(1)设A到C的时间为t1则1.2t=24,t1=20(s
10、),则AC(2)设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0,t21=20(s),则DB（3）CD=7200-2 240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）说明：作变速直线运动的物体所经过的路程说明：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间在时间区间a,b上的上的定积分定积分,即即 课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/1214(2)变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 例例3
11、：如果：如果1N能拉长弹簧能拉长弹簧1cm,为了将弹簧为了将弹簧拉长拉长6cm,需做功（需做功（）A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J所以做功就是求定积分所以做功就是求定积分则由题可得则由题可得。略解：略解：设A 说明：物体在变力说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x=b点，点，则变力则变力F(x)所做的功为所做的功为:课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/1215一吐为快篇一吐为快篇（小结）（小结）请想一想？请想一想？注意点：注意点：本节课主要学习了哪些内容？本节课主要学习了哪些内容？课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2023/1/1216回味无穷篇回味无穷篇（作业作业）课题：课题：课题：课题：定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功1、优化设计、优化设计2023/1/1217