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1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形（一）SSS【知识要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形2全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，读作“全等于” 如全等，记作 （2）符号“”的含义：“”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等 （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写
2、在对应的位置上 ABCDEF4全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS” 如图，在和中 ABDC【典型例题】例1如图，点B与点D是对应点，且，求的度数及的面积ABECFD例2如图，求的度数及CF的长例3如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：ABECD例4如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：ABCDFE（1） （2）AB/DE，BC/EF例5如图，在D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：（1）；AEBCD（2）BD平分 （角平分线的相关证明及性质）【巩固练习】1下面给出四个结论：若两个图形是全等图形，则它们
3、形状一定相同；若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 2如图，且AB和CD是对应边，下面四个结论中ABDC不正确的是（ ）A、的面积相等 B、的周长相等C、 D、AD/BC且AD=BCABCD第3题图 3如图，A和B 以及C和D分别是对应点，如果，则的度数为（ ）A、 B、 C、 D、 4如图，AD=8，BE=2，则AE等于（ ）ACEBFD第6题图 A、6 B、5 C、4 D、3第5题图ABCDEBACEFD第4题图 5如图，要使，则下列条件能满足的是（ ）
4、 A、AC=BC，AD=CE，BD=BE B、AD=BD，AC=CE，BE=BD C、DC=EC，AC=BC，BE=AD D、AD=BE，AC=DC，BC=EC6如图，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB= ， ，AE= ，CE= ，AB/ ，若，则DF与BC的关系是 EFDBCA第9题题图BACDE第7题图 7如图，若 ， ， 第8题图ABDEC8如图，若AB=AC，BE=CD，AE=AD，则 ，所以 ， ， 9如图，则下列说法错误的是（ ） A、 B、C、 D、ABCDFE10如图，求的度数及BC的长11如图，在中，AC=BD，AD=BC，求证：ADCB全等三角形（一）作业 1如图，
5、AC=7cm，AB=5cm.，则AD的长是（ ） A、7cm B、5cm C、8cm D、无法确定2如图，点B、C、E在同一直线上，则的度数为（ ） A、 B、 C、 D、3如图，AF=2cm,CF=5cm，则AD= ABCDE4如图，求的度数5如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：AB/CDABCDEF6如图，已知AB=EF，BC=DE，AD=CF，求证：AB/EFBACEFD7如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：ABECD专心-专注-专业全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示
6、ABCEDF如图，在和中， 【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.ADBECABDEC12【例2】 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE的度数.BEAFCO【例4】 如图，B，C，D在同一条直线上，ABC，ADE是等边三角形，求证：CE=AC+DC； ECD=60.EABCD 【例5】如图，已知ABC、BDE均为等边三角形。求证：BDCD=AD。DABCE【巩固练习】 1在ABC和中，若AB=，AC=，还要加一个角的条件，使A
7、BC，那么你加的条件是（ ） AA= B.B= C.C= D.A= 2下列各组条件中，能判断ABCDEF的是（ ） AAB=DE，BC=EF；CA=CD B.CA=CD；C=F；AC=EF CCA=CD；B=E D.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等 3阅读理解题： 如图：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD. 那么AOD与BOC全等吗？请说明理由.ABC与BAD全等吗？请说明理由.SASOA=OBOD=OC 小明的解答： AODBOCDC12OAB 而BAD=AOD+ADBABC=BOC+AOB 所以ABCBAD （1）你认为小明的解答有无错误；（2）如有错误给出正确解答；
8、4如图，点C是AB中点，CDBE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。 ACBED 5如图，AE是AB=AC（1）若D是AE上任意一点，则ABDACD，说明理由.（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.BCDEA126如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由ABEDC全等三角形（二）作业1如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：。ABCEDF2如图，ABC，BDF为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CEAD。ACBDEF3如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。求证：BF=FC。ADECBFO4
9、已知：如图1，ADBC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：DEBF。12DCABEFDABQCPE5. 如图，已知ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE=DC，（2）BEDC.6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB/DE，且AB=DE，求证：（1）ABCDEF （2）CBF=FEC7、 已知:如图,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE.求证:BD=CE8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？
10、若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF10、已知C为AB上一点,ACN和 BCM是正三角形.求证：（1）AM=BNCNMBAEDF （2）求AFN大小。11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FBEB，AF交CE于G，求AGC的度数.12、 如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图
11、形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.全等三角形（三）ASAABC【知识要点】ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等如图，在与中DEFASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【典型例题】【例1】下列条件不可推得和全等的条件是（ ）A、 AB=AB，B、 AB= AB，AC=AC，BC=CC、 AB= AB，AC=AC，ADBECFD、 AB= AB，【例2】已知如图，求证：BC=EFABDEC【例3】如图，AB=AC，求证：AD=AEABCDP1234【例4】已知
12、如图，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之【例5】如图，AC=AE，求证：DE=BC12A43BCDEO【例6】如图，AC，BD相交于O，ABCDO12求证：AB=CD OA=OD【巩固练习】ABDCFE1如图，AB/CD，AF/DE，BE=CF，求证：AB=CD ABCNMDO2如图，AD/BC，O为AC中点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，求证：AM=CN 3求证：两个全等三角形ABC与ABC的角平分线AD、AD相等ABCDABDC AEDOCFB4如图，AB，CD相交于O，E，F分别在AD，BC上，若，求证： ABDC13245如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=C
13、D6已知，如图AB=DB，求证：AC=DECADEB12全等三角形（三）作业1已知，如图，求证：AB=DEAEFDCB122如图，已知，求证：BE=CDABEDC3已知如图，AB=AD，求证：AC=AEABDCE4已知如图，在中，AD平分，求证：ABDC ACBD5已知如图，求BD的长（要求写出完整的过程）6、如图中，BC，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,DEF=B ADECBF求证：ED=EF7、 (1)如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由 (2)园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理
14、石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？AGFCBDE（图）8、已知：如图 , AD为CE的垂直平分线 , EFBC.求证：EDNCDNEMN9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：OBDOCE10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F求证：OE=OF11、如图在ABC和DBC中 , 1=2 , 3=4 , P是BC上任意一点求证：PA=PD.12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD中 , ADBC , F是AB的中点 , DF交
15、CB延长线 于E , CE=CD求证：ADE=EDC13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O ,求证：1=2全等三角形（四）强化训练1、如图，是等边三角形，点、分别是线段、上的点，（1）若，问是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论2、如图所示，已知1=2，EFAD于P，交BC延长线于M，求证：2M=（ACB-B）3、ABC中，A=90，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DEDF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由4、已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与
16、相交于点（1）求证：；（2）求证：；5、 如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。过A作AFBC于F，过D作DGBC于G，则DG=AF=1/2BC=1/2BD，在RtBDG中，DG=1/2BD =DBC=30 =BDC=BCD=1/2(180-30)=75，即EDC=75DEC=DBC+BCA=30+45=75 EDC=DEC =CD=CE8、RtA
17、BC，AB=AC,BM是中线，ADBM交BC于D，求证：AMB=CMD。9、如图，已知ABC是等边三角形，BDC120，说明AD=BD+CD的理由。10、已知：如图，点D在ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是ACB、AED的平分线，且B=30，D=40，求F的度数。 11、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN 易证BCDACE 所以DBC=EAC再证BCNACM (ASA) CM=CN12、操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的
18、两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明13、如图等边ABC和等边CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60，PK交直线CD于K。（1） 试探索AP、PK之间的数量关系；（2） 当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉及相似三角形）若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点. 如图，在锐角外侧作等边连结。求证：过的费马点，且=.ACB15、如图,是等腰直角三角形,C900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD2BM, 点E在射线NA上,且NE2NA.求证:BDDE.第五章 全等三角形 拓展延
19、伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例1：已知AE既是BAC的平分线，也是BDC的平分线，试说明AB=AC思路：AB在ABD中，AC在ACD中，要说明AB=AC，尝试说明ABD与ACD全等。1 观察图形发现两个三角形存在公共边AD2 题目所给条件可以得到两组角相等，3 再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等4 再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC例2：在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，
20、BDAE，CEAE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长度。思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证ABDACE。 练习1. 小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? _我们只需要说明 _解：练习2 在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。图3图2图1