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1、新浙教版数学八年级（上）新浙教版数学八年级（上）2.3 2.3 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理(2)(2)（1）等腰三角形的一个内角为）等腰三角形的一个内角为100，求其余各角。求其余各角。（2）等腰三角形的一个内角为）等腰三角形的一个内角为40，求其余各角。求其余各角。（3）等腰三角形的一个内角为）等腰三角形的一个内角为60，求其余各角。求其余各角。40和和4040和和100或或70和和7060和和60A AC CB B腰腰底边底边底角底角顶角等腰三角形中，相等的两边都叫做等腰三角形中，相等的两边都叫做腰腰，另一，另一边叫做边叫做底边底边，两腰的夹角叫做，两腰的夹角叫做顶角顶角，腰
2、和底，腰和底边的夹角叫做边的夹角叫做底角底角.有两边相等的三角形叫等腰三角形！等腰三角形的性质:ACB121.等腰三角形的两个底角相等 （简写“等边对等角”）ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重
3、合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC（2）把剪出的等腰三角形）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没
4、有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ABC 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有没
5、有重合的部分？并指出重合的部分是什么？AC把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？有重合的部分？并指出重合的部分是什么？腰腰腰腰底角底角性质性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（上的高互相重合。（通常说成等腰三角形的通常说成等腰三角形的“三线合一三线合一”）性质性质2可分解成下面三个方面来理解：可分解成下面三个方面来理解：1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的
6、中线，又是底边上的高。应用格式：应用格式：ABAC 12（已知）（已知）BDDC ADBC（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。应用格式：应用格式：ABAC BDDC（已知）（已知）ADBC 12（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。应用格式：应用格式：ABAC ADBC（已知）（已知）BDDC 12（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）A
7、BCD21等腰三角形的性质等腰三角形的性质文字叙述文字叙述几何语言几何语言等腰三角形的两底角相等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）等（简称等边对等角）AB=ACB=C等腰三角形顶角的平分等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）底边（简称三线合一）AB=AC，1=2 ADBC，BD=CDAB=AC，ADBC 1=2，BD=CDAB=AC，BD=CD 1=2，ADBCw例例1 1 求证求证:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.证明证明:AB=AC(:AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).
8、).又又1=ABC,2=1=ABC,2=ACB(ACB(已知已知),),1=2(1=2(等式性质等式性质).).在在BDCBDC与与CEBCEB中中DCB=EBCDCB=EBC（已知）（已知）,BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）,1=21=2（已证）（已证）,BDCCEBBDCCEB（ASAASA）.BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BD,CE,AB=AC,BD,CE是是ABCABC角平分线角平分线.求证求证:BD=CE.:BD=CE.ACBD1E2w求证求证:等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两
9、腰上的中线相等.证明证明:AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又CM=AC,BN=CM=AC,BN=AB(AB(已知已知),),CN=BM(CN=BM(等式性质等式性质).).在在BMCBMC与与CNBCNB中中 BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）,MCB=NBC MCB=NBC（已知）（已知）,CM=BNCM=BN（已证）（已证）,BMCCNBBMCCNB（SASSAS）.BM=CN(BM=CN(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BM,CN,AB=AC,B
10、M,CN是是ABCABC两腰上的中线两腰上的中线.求证求证:BM=CN.:BM=CN.ACBMNw求证求证:等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.证明证明:AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又 BP,CQBP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高(已知已知),),BPC=CQB=90 BPC=CQB=900 0(高的意义高的意义).).在在BPCBPC与与CQBCQB中中 BPC=CQBBPC=CQB（已证）（已证）,PCB=QBCPCB=QBC（已证）（已证）,BC=CB BC=CB（公共边）（公共边）,BP
11、CCQB BPCCQB（AASAAS）.BP=CQ(BP=CQ(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BP,CQ,AB=AC,BP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高.求证求证:BP=CQ.:BP=CQ.ACBPQABC中，中，ABAC，D是是BC边上的中点，边上的中点，DFAC于于F DE AB 于E .求证：求证：DEDF。ABCDEF方法一：方法一：证明：证明：DEAB，DFAC（已知）BEDCFD 又D是BC中点（已知）BDDC ABAC（已知）BC（等边对等角）在DBE与与DCF中中 DEBDFC（已证）BC（已证）
12、BDDC（已证）BDE CDF（AAS）DEDF 方法二：连方法二：连AD。ABAC，BDDC（已知）AD是BAC的平分线。（等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一）又DEAB DFAC DEDF （角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个 角的两边距离相等角的两边距离相等）5、已知线段已知线段a,h(如图如图),用直尺和圆规作等腰三角形用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边使底边BC=a,BC边上的高为边上的高为h.等腰三角形的性质等腰三角形的性质文字叙述文字叙述几何语言几何语言等腰三角形的两底角相等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）等（简称等边对等角）AB=ACB=C等腰三角形顶角的平分
13、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）底边（简称三线合一）AB=AC，1=2 ADBC，BD=CDAB=AC，ADBC 1=2，BD=CDAB=AC，BD=CD 1=2，ADBC判断下列语句是否正确。判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合。（）等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合。（）（2）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形，其它两个的等腰三角形，其它两个 内角也为内角也为60.（）（3）等腰三角形的底角都是锐角）等腰三角形的底角都是锐角.（）（4）钝角三角形不可能是等腰三角形）钝角三角形不可能是等腰三角形.（）填
14、空：在填空：在ABC中，中，ABAC，D 在在BC上，上，1、如果、如果AD BC，那么，那么BAD=_,BD=_2、如果、如果BAD=CAD，那么，那么AD _,BD=_ 3、如果、如果BD=CD,那么那么BAD=_，AD _,ADB=_=_DCADCDBCCDCADBCADCADC9090如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。.求和ADC的度数 AB=AC，D是BC边上的中点ADC 90 BAC=180-30-30=120（三线合一）如图：如图：ABC中，中，AB=AC,AD和和BE是高，它们相交是高，它们相交于点于点H，且，且AE=BE。求证：求证：AH=2BDAB
15、CDEH证明：证明：AB=AC,AD是高是高(已知已知)BC=2BD（三线合一（三线合一）12又又BE是高（已知）是高（已知）ADC=BEC=AEH=90（垂（垂直的定义）直的定义）在在AEH和和BEC中中AEHBEC(ASA)1+C=2+C=90 1=2（同角的（同角的余角相等）余角相等）AEH=BECAE=BE1=2 AH=BC（全等三角形的性质）（全等三角形的性质）AH=2BD（等量代换）（等量代换）D作作ABC的中线的中线AD，交底边，交底边BC于于D。D作作ABC的高的高AD，垂直底边垂直底边BC于于D。D作顶角的平分线作顶角的平分线AD.ABCABCABC等腰三角形常见辅助线等腰三
16、角形常见辅助线1 21.如图：如图：在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，D在在 AC上，上，且且BD=BC=AD，求，求 ABC各内角的度数？各内角的度数？ACBD讨论：讨论：2、A与哪些角相等？与哪些角相等？1、C与哪些角相等？与哪些角相等？（3、ABC）123（1、2）3、C与与A是什么关系？是什么关系？（C=2 A）解：解：BD=AD,1=A 3=1+A,3=2 A BD=BC,3=C,C=2 A AB=AC,ABC=C=2 A A+ABC+C=1800,5 A=1800,A=360,ABC=C=2 A=720AB=AC，1=2 _AD BC或或BD=CDAB=AC，AD BC _
17、1=2 或或BD=CDAB=AC，1=2 或或 AD BC 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质的性质几何语言：几何语言：_BD=CD思考思考题题：如图所示，已知下列两个如图所示，已知下列两个三角形，思考怎样把每个三角形只三角形，思考怎样把每个三角形只剪一次，将它分成两个等腰三角形剪一次，将它分成两个等腰三角形？试一试，你一定会成功的。？试一试，你一定会成功的。12020 40 100 20 60 12020 40 20 100 20 60 20 等腰三角形等腰三角形概念概念性质性质等边对等角等边对等角三线合一三线合一有两边相等的三角形有两边相等的三角形腰、底、顶角、底角腰、底、顶角、底角