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1、了解数列极限的几何意义了解数列极限的几何意义掌握收敛数列的性质掌握收敛数列的性质理解数列极限的概念理解数列极限的概念学学学学 习习习习 重重重重 点点点点第四节第四节第四节第四节 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入一、概念的引入一、概念的引入S如何求圆的如何求圆的 面积面积S刘徽刘徽刘徽刘徽中国魏晋间杰出的数学家，中国古中国魏晋间杰出的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。幼年曾典数学理论的奠基者之一。幼年曾学习过学
2、习过九章算术九章算术，成年后又继，成年后又继纵深入研究纵深入研究。在魏景元四年在魏景元四年(263)(263)注注九章算术九章算术，并撰，并撰重差重差作为作为九章算术九章算术注第十卷。唐初以后，注第十卷。唐初以后，重差重差以以海岛算经海岛算经为名单行。刘为名单行。刘徽全面论述了徽全面论述了九章算术九章算术所载的方法和公式，指出并且所载的方法和公式，指出并且纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上做出了杰出纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上做出了杰出的贡献。的贡献。思路就是从求圆内接正思路就是从求圆内接正 n 边形的面积入手，边形的面积入手，n越大越大,正正n边形面积就越接近圆的面积边形面
3、积就越接近圆的面积S正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积.（圆的面积）（圆的面积）形的面积形的面积正正 数列数列xn可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数n的函数的函数:xn=f(n)n N .数列与函数数列与函数二、数二、数二、数二、数列列列列 数数列列：如如果果按按照照某某一一法法则则,对对每每一一nN,对对应应着着一个确定的实数一个确定的实数xn 则得到一个序列则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这这一一序序列列叫叫做做数数列列,记记为为xn 其其中中第第n项项xn叫叫做做数数列的列的一般项一般项.整标函数整标函数数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上
4、一个点列.可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取例如例如例如例如比如比如比如比如:当当 时时,趋于趋于0 0当当 时时,趋于趋于1 1当当 时时,不趋于任何定数不趋于任何定数问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限当当 时时,趋于趋于1 1我们知道，数列我们知道，数列对于式子对于式子通过这样通过这样“无限接近无限接近”的分析我们给出极限的概的分析我们给出极限的概念念 随着项数随着项数 n 的增大的增大，xn 越来越接近越来越接近 A（不够确切）（不够确切）n充分大时，充分大
5、时，xn 的值可以无限逼近的值可以无限逼近A（定性描述）（定性描述）存在存在 Exist任意任意 Arbitrary通过如上分析知通过如上分析知,所谓数列所谓数列 趋于定趋于定数数A,就是就是 很小很小,要多小有多小要多小有多小,即即:对对 使得当使得当 时时,（精确定义精确定义）数列极限的定义数列极限的定义则称常数则称常数 A是数列是数列xn 的的极限极限，或称数列或称数列xn 收敛收敛于于A如果数列如果数列没有极限没有极限，就称数列是，就称数列是发散发散的。的。数列极限的定义数列极限的定义记作记作或或 设有数列设有数列 xn 和常数和常数 A，如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数，总存
6、，总存在一个正整数在一个正整数 N，使得对于，使得对于 n N 时的一切时的一切 xn，总有总有成立，成立，OOKK!N N 找找找找到到到到了了了了！nNNO,有有些些点点在在条条形形域域外外面面！N 越越来来越越小小，N越越来来越越大！大！AA-eA+e()v数列极限的几何意义数列极限的几何意义NN 当当nN时时 点点xn全都落在邻域全都落在邻域(A-A+)内内任意给定的数任意给定的数A的的 邻域邻域 (A-A+)存在存在Av关于极限定义的说明关于极限定义的说明1.是任意给定的是任意给定的.2.N 与与有关有关,且不唯一且不唯一.3.并不是所有的数列都有极限，并不是所有的数列都有极限，如如
7、 lnn,(-1)n+1 的极限是不存在的的极限是不存在的.4.数列数列xn以以 A 为极限为极限,我们称我们称 xn 是收敛的，是收敛的，且收敛于且收敛于 A.若数列若数列xn无极限，则称数列无极限，则称数列 xn发散。发散。例例1 1证证：所以所以四、数列极限的证明方法四、数列极限的证明方法四、数列极限的证明方法四、数列极限的证明方法 证明证明:例例2:证明证明 用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时,关键是从关键是从绝对值不等式绝对值不等式出发出发,由由 0,找到使找到使绝对值不等式成立的绝对值不等式成立的N(并不在乎并不在乎N是否最小是否最小).YesYesNoNo练习练习1
8、 1所以所以,证明证明:例例4 4对于数列对于数列xn 证证练习练习2 2证证由定义由定义,收敛的数列必定收敛的数列必定有界有界 1.1.有界性有界性五、收敛数列的性质五、收敛数列的性质五、收敛数列的性质五、收敛数列的性质注意：注意：有界性是数列有界性是数列收敛的必要条件收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.2.唯一性唯一性：每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证且且ab，由定义由定义,矛盾，故收敛数列极限唯一矛盾，故收敛数列极限唯一.3.保号性保号性.若若且且时时,有有取取证证:对对 a 0,推论推论:若数列从某项起若数列从某项起(用反证法证明用反证
9、法证明)设设均为收敛数列均为收敛数列.若存在正整数若存在正整数使得当使得当时有时有则则证明：证明：(1)(2)令令则当则当时有时有由由的任意性的任意性,得得4.保序性保序性注意：注意：5.子数列的收敛性子数列的收敛性例如例如，定理定理 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证证毕证毕思考与练习思考与练习如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.1，概念的引入概念的引入；2，数列的极限数列的极限3，数列极限的几何意义数列极限的几何意义4，数列极限的证明方法，数列极限的证明方法 5，收敛数列的性质，收敛数列的性质小结小结