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1、 判别一个函数 f(x)在a,b上是否可积,就是判别极限 是否存在.在实际应用中，直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性.为此,先给出可积准则,并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件,连续性是可积的充分条件而非必要条件.3可积条件数学分析第九章定积分3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.1（可积必有界）若函数若函数 在在 上可积，则上可积，则 在在 上必有界上必有界.证证 设设由定义由定义,对对于是于是后退前进目录退出3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社于是于是矛盾矛盾.3可积条件数学分析第九章定积分高等教
2、育出版社证证 若若 D(x)在在 a,b 上可积上可积,则则3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社于是于是而这与而这与 所以所以=b-a 相矛盾相矛盾,3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定义2称为称为 f 关于分割关于分割 T 的上和的上和,称为称为 f 关于分割关于分割 T 的下和的下和,对任意分割对任意分割其中其中其中其中3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.3（可积准则）函数函数 f 在在a,b上可积的充要上可积的充要条件是：条件是：振幅反映了函数在区间内的变化范围振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连是一个与连续性相关联的概念续性相关联的概念.3可积
3、条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.4（连续必可积）常见的有三种方法常见的有三种方法,下面分别作出介绍下面分别作出介绍.每个每个从而从而第一种方法第一种方法:连续，则可积连续，则可积.若若此定理将在本章第六节定理此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明中证明.在用它在用它证明可积性问题时证明可积性问题时,有多种方法可使有多种方法可使3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社从而从而因此当因此当从而在从而在a,b上一致连续上一致连续.证证于于3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社第二种方法第二种方法:定理9.5（单调必可积）3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社证证 不
4、妨设不妨设是非常值的增函数，是非常值的增函数，于是于是因此因此,若若则对任意分割则对任意分割3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社第三种方法第三种方法:于是于是3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）若若有界有界,且只有有限多个不连续点，且只有有限多个不连续点，此时可用第三种方法证明此时可用第三种方法证明 f 可积可积.f 在在 a,b 上可积上可积.只有一个间断点只有一个间断点,且为且为 b.证证 不妨设不妨设3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社使使则存在分割则存在分割令令则则3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社上可积上可积
5、,且且例例2 证明黎曼函数证明黎曼函数证证只有有限多个只有有限多个,分割分割使使的小区间至多有的小区间至多有的有理数的有理数设它们为设它们为 2 2k 个个,记为记为3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社从而从而因此这些小区间长度之和为因此这些小区间长度之和为3可积条件数学分析第九章定积分高等教育出版社复习思考题数学分析第九章定积分高等教育出版社1.f(x)为为 a,b 上的有界函数上的有界函数,其不连续点的集合其不连续点的集合证明证明 f 在在a,b上可积上可积.2.f(x)在在 a,b 上不连续点的集合为上不连续点的集合为,它们在它们在试问试问 f 在在 a,b 上上是否一定不可积？是否一定不可积？a,b 中稠密中稠密,即即为为 E0.若若