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1、一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件 本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学最基本的概念.然后给出对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用.1可微性与偏导数数学分析第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容四、可微性的几何意义 及应用 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社 定义1设设函数函数内有定内有定义义.对对于于的全增量的全增量其中其中A,B是是仅仅与点与点有关的常数有关的常数,1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性与全微分(2)若若 f 在在数学分析第十七章多元函数微分学高等教育
2、出版社由由(1),(2)可可见见,当当 充分小充分小时时,全微分全微分 这这里里(4)可作可作为为全增量全增量 的近似的近似值值,在使用上在使用上,有时也把有时也把(1)式写成如下形式：式写成如下形式：(3)1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用于是有近似公式于是有近似公式:后退前进目录退出(2)数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例例1 考察考察 解解 f 在在点点 处的全增量为处的全增量为由于由于 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道:若
3、若 则则 现现在来在来讨论讨论:当二元函数当二元函数 在点在点 可微可微 时时,(1)式中的常数式中的常数 A,B 应取怎样的值？应取怎样的值？为此在为此在(4)式中先令式中先令 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用偏导数于是于是数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社容易看出容易看出,(5)式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数类似地类似地,又可得到又可得到它是关于它是关于 y 的一元函数的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自它对另一个自 变量的导数称为该函数的偏导数变量的导数称为该
4、函数的偏导数,一般定义如下一般定义如下:1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定义2 存在存在时时,记作记作(7)1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则当极限则当极限 数数,关于关于x 的偏的偏导导称此极限称此极限为为 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社类似地可定义类似地可定义 关于关于 y 的偏导数的偏导数:记作记作注注1 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社注注2 在上述定在上述定义义中中,存在存在对
5、对 x(或或 y)上必须有定义上必须有定义.种要求，种要求，1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用显然，在定义域的内点处总能满足这显然，在定义域的内点处总能满足这而在界点处则往往无法考虑偏导数而在界点处则往往无法考虑偏导数数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社若函数若函数 在区域在区域 D 上每一点上每一点 都存在都存在 对对 x(或或对对 y)的偏的偏导导数数,对对 x(或对或对y)的偏导函数的偏导函数(也简称偏导数也简称偏导数),1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用记作记作 在在 D 上上 则则得到得到 数学分析第十七章多
6、元函数微分学高等教育出版社偏偏导导数的几何意数的几何意义义:的几何的几何图图像通常是像通常是 三三维维空空间间中的曲面中的曲面,曲面相交得一曲线：曲面相交得一曲线：图 17-1 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用点点,其中其中 为为此曲面上一此曲面上一 设设 它与它与数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社偏导数偏导数 的几何意义为的几何意义为:在平面在平面 上上,曲曲线线 C 在点在点 P0 处处的切的切线线与与 x 轴轴 正向所成倾角正向所成倾角 的正切，的正切，可同可同样讨论样讨论偏偏导导数数 的几何意的几何意义义.1可微性与偏导数可微性与全微分偏导
7、数可微性条件可微性的几何意义及应用 图 17-1 即即由偏导数的定义还知道由偏导数的定义还知道,多元函数多元函数 f 对某一个自变对某一个自变量求偏导数量求偏导数,元函数的求导元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基因此第五章中有关求导数的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用本法则，对多元函数求偏导数仍然适用.是先把别的自变量看作常数是先把别的自变量看作常数,变成一变成一数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例例2 于于 x 和关于和关于 y 的偏导数的偏导数.求它在求它在 x=1 的导数的导数,则得则得 再求再求 f 在在(1,3)处关于处关于 y 的偏导数的偏导数.求它在求它
8、在 y=3 处的导数处的导数,又得又得 解解 先求先求 x 的偏导数的偏导数.1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用为此令为此令 x=1,得得 y=3,得得 令令数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社然后以然后以(x,y)=(1,3)代入代入,也能得到同样结果也能得到同样结果.例例3 求函数求函数 的偏导数的偏导数.解解 把把 依次看成幂函数和指数函数依次看成幂函数和指数函数,分别求得分别求得 通常也可先分别求出关于通常也可先分别求出关于 x 和和 y 的偏导函数的偏导函数:1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章
9、多元函数微分学高等教育出版社把把 z,x 看作常数看作常数,得到得到 把把 x,y 看作常数看作常数,得到得到 例例4 求三元函数求三元函数 的偏导数的偏导数.解解 把把 y 和和 z 看作常数看作常数,得到得到 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社由可微定义易知由可微定义易知:若若 .“连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件”此外此外,由由又可得到可微的另一必要条件：又可得到可微的另一必要条件：1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性条件这表明这表明:数学分析第十七章多元函
10、数微分学高等教育出版社定理17.1（可微的必要条件）于是于是,函数函数 的全微分的全微分(2)可唯一地可唯一地表示为表示为与一元函数一样与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量若约定自变量的增量等于自变量 的微分，即的微分，即 若二元函数若二元函数 f 在其定义域内一点在其定义域内一点(x0,y0)处可微处可微,则则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在在该点关于每个自变量的偏导数都存在 此时此时,微分表达式微分表达式(1)式中的式中的 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每
11、一点的每一点(x,y)都可微都可微,则称函则称函 数数 f 在区域在区域 D 上可微，上可微，(8)定理定理17.1 的应用的应用:由于由于 它们分别在它们分别在都不可导，即都不可导，即故故则全微分又可写为则全微分又可写为 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用对于函数对于函数 且且 f 在在 D 上的全微分为上的全微分为 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社在原点的可微性在原点的可微性例例5 考察函数考察函数解解 按偏导数的定义先求出按偏导数的定义先求出 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高
12、等教育出版社若若 f 在原点可微在原点可微,则则 却不存在却不存在(第十六章第十六章2 例例3),f(x,y)在原点不可微在原点不可微.1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用然而极限然而极限故此故此 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而这个例子说明而这个例子说明:对于多元函数对于多元函数,偏导数即使都存在偏导数即使都存在,该函数也不一定可微该函数也不一定可微 还需要添加哪些条件还需要添加哪些条件,才能保证函数可微呢才能保证函数可微呢?1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性
13、条件可微性的几何意义及应用 定理17.2（可微的充分条件）若函数若函数在点在点的某的某邻邻域内存在偏域内存在偏导导数数 且它且它们在点们在点连续连续,则则可微可微.那么当所有偏导数都存在时那么当所有偏导数都存在时,数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社在第一个方括号里的是函数在第一个方括号里的是函数 关于关于 x 的增量的增量;的增量的增量.第二步第二步 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理定理,则则 使得使得1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用关于关于 y 在第二个括号里的是函数在第二个括号里的是函数 证证 第一
14、步第一步 把全增量把全增量 写作写作数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社第三步第三步 由于由于 因此有因此有 第四步第四步 将将(10),(11)代入代入(9)式式,得到得到 由可微定由可微定义义的等价式的等价式(4),便知便知 (11)(10)1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定理定理17.的应用的应用 满满足定理足定理 17.2 的条件的条件,上上处处处处可微可微);上满足定理上满足定理 17.2 的条件的条件,例例4 中的函数中的函数 注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的
15、必要条件，例如 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数故在点故在点(1,3)可微可微(且在且在也在其定义域上可微；也在其定义域上可微；数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社它在原点它在原点(0,0)处处可微可微,但但 却在却在该该点不点不连续连续(见本节习题见本节习题 7,请自行验证请自行验证).的充分性定理的充分性定理若若的偏的偏导导数数 都都连续连续,则则 连续连续可微可微 在定理在定理 17.2 证明过程中出现的证明过程中出现的(9)式式,实际上是二实际上是二 元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式,将它重新写
16、成定理如下将它重新写成定理如下:1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用所以定理所以定理 17.2 是可是可微微数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定理17.3的某邻域内存在偏导数，的某邻域内存在偏导数，设函数设函数和和 (12)1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社一元函数一元函数 可微，在几何上反映可微，在几何上反映为为曲曲线线存在存在 不平行于不平行于 y 轴轴的切的切线线.则反映为曲面与其切平面之间的类似关系则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.要先要先给给出切平面的定出切平面
17、的定义义,这这可以从切可以从切线线定定义义中中获得获得 启发启发.在第五章在第五章1中中,我们曾把平面曲线我们曾把平面曲线 S 在其上某一在其上某一 的切的切线线 PT 定定义为义为Q 沿沿 S 趋近趋近 P 时的极限位置时的极限位置(如果存在的话如果存在的话).1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性的几何意义及应用对对于二元函数而言于二元函数而言,可微性可微性 为此需为此需过过点点 P 的割的割线线 PQ 当当 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社这时这时PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(参见参见用用 h 和和
18、d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离,由于由于 图图 17-2 仿照这个想法仿照这个想法,我们引我们引进曲面进曲面 S 在点在点 P 的切平的切平 面的定义面的定义(参见图参见图17-3).1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用图图17-2).数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定义3设设曲面曲面 S 上一上一点点 P,为通过点为通过点 P 的一个的一个平面平面,S 上的上的动动点点Q 到定点到定点 P 和和到到图 17-3d 和和 h.的平面的平面 距离分别记为距离分别记为意意方式趋近于
19、方式趋近于 P 时时,恒有恒有 则则称称 为为曲曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面,称称 P 为为切点切点.1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用当当 Q 在在 S 上以任上以任数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定理17.4行于行于 z 轴轴的切平面的充要条件是的切平面的充要条件是:证证(充分性充分性)若函数若函数 在在 P0 可微可微,由定义知道由定义知道 现在讨论过点现在讨论过点的平面的平面:其中其中 X,Y,Z 是平面上点的流是平面上点的流动动坐坐标标.1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用曲面曲面 存在不平存
20、在不平函数函数 在点在点可微可微.数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社下面证明它就下面证明它就是曲面是曲面 的切平面的切平面.由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 P 到到 Q 的距离为的距离为 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社 即即为为曲面曲面 P 的切平面的切平面(必要性必要性)若曲面若曲面 存在不平行于存在不平行于z 轴的切平面轴的切平面 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用根据定根据定义义 3 便知便知平面平面数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社第
21、一步第一步 设设 Q(x,y,z)是曲面上任意一点是曲面上任意一点,由由 Q 到到这这 个平面的距离个平面的距离为为 由切平面的定义知道由切平面的定义知道,当当 时时,有有 令令 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则则 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社由此得由此得 第二步第二步 分析分析:要证明要证明 在点在点 可微可微,事实事实 上就是需证上就是需证 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用因此对于充分接近的因此对于充分接近的 P 与与 Q,有有 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社因此因此,若能若能证证得当得
22、当 则则有有1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社第三步第三步 先证先证 可推得可推得 故有故有 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社第四步第四步 根据第二步的分析，根据第二步的分析，这这就就证证得得在点在点 可微可微.定理定理 17.4 说说明明:函数函数 在点在点 可微可微,则则曲面曲面 处的切平面方程为处的切平面方程为 (13)1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由上式由上式进进一步可得一步可得 数学分析第十
23、七章多元函数微分学高等教育出版社过过切点切点 P 与切平面垂直的直与切平面垂直的直线线称称为为曲面在点曲面在点 P 的的 法线法线.于是过切点于是过切点 P 的法线方程为的法线方程为 (14)二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义:如图如图17 4 所示所示,当自当自 变为变为时时,变量变量 由由 是是 z 轴轴方向上的一段方向上的一段 NQ;的增量的增量 数数 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为的全微分的全微分而在点而在点 函函数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社则是切平面则是切平面 上相
24、应上相应的那的那一段一段增量增量 NM.而趋于零而趋于零,而且是较而且是较 高阶的无穷小量高阶的无穷小量.是是,与与 dz 之差是之差是 MQ 那一段，那一段，图 17 4 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用于于它的长度将它的长度将随着随着 数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例例6 试试求抛物面求抛物面处处 的切平面方程与法线方程，其中的切平面方程与法线方程，其中解解 由公式由公式(13),在点在点 P 处的切平面方程为处的切平面方程为 由公式由公式(14),在点在点 M 处的法线方程为处的法线方程为 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可
25、微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例例7 求求 的近似值的近似值.解解 设设 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由公式由公式(3),有有数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例例8 的的绝对误绝对误差限和相差限和相对误对误差限差限.解解 依题意，测量依题意，测量 a,b,C 的绝对误差限分别为的绝对误差限分别为 由于由于1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社因此将各数据代入上式因此将各数据代入上式,即得即得 S 的绝对误差限为的绝对误差限为 又因又因
26、所以所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社复习思考题1.已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在？数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社复习思考题试举出能分别满足如下要求的函数试举出能分别满足如下要求的函数(i)(ii)(iii)(iv)2.可微性定义中可微性定义中,(1)式与式与(4)式为何是等价的式为何是等价的?