概率密度和分布函数课件.ppt

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1、观测数据的分析与处理观测数据的分析与处理随机变量及其分布：随机变量及其分布：概率密度和分布函数概率密度和分布函数 例例 设某工厂产品中成分设某工厂产品中成分A的含量受不可控的随机因素影的含量受不可控的随机因素影响而有波动。工厂每响而有波动。工厂每2小时测量一次小时测量一次A的百分含量，记为的百分含量，记为x。下表是一个时间段的数据。下表是一个时间段的数据。日期日期产品中成分产品中成分A的百分含量数据的百分含量数据11.401.281.361.381.441.401.341.541.441.461.801.4421.461.501.581.541.501.481.521.581.521.461.

2、421.5831.701.621.581.621.761.681.681.661.621.721.601.6241.461.381.421.381.601.441.461.281.341.381.241.3651.581.381.341.281.181.081.361.501.461.281.181.28重点：重点：介绍有关随机变量和概率分布的基本概念，讨论各种常见的介绍有关随机变量和概率分布的基本概念，讨论各种常见的有实用价值的分布函数。有实用价值的分布函数。级宽或段宽级宽或段宽 （将随机变量（将随机变量x的整个取值范围分成有限个区段，每个级的整个取值范围分成有限个区段，每个级段的取值范围即

3、为级宽或段宽）段的取值范围即为级宽或段宽）级频数级频数 （每个级段中数据值出现的次数）（每个级段中数据值出现的次数）相对频数或频率相对频数或频率（将级频数被样本中数据总个数相除，相当于（将级频数被样本中数据总个数相除，相当于x取值在该取值在该级段的概率。）级段的概率。）随机变量及其分布：随机变量及其分布：概率密度和分布函数概率密度和分布函数 将上表数据从将上表数据从 到到 取级宽取级宽0.1分为分为9级级分级频数分布图分级频数分布图 概率密度概率密度 为了使分布图有更好的泛化可以性，将相对频数除以级为了使分布图有更好的泛化可以性，将相对频数除以级宽，得到概率密度：宽，得到概率密度：级宽取微量：

4、级宽取微量：概率密度概率密度p对对x的曲线称为概率密度分布曲线，简称概率的曲线称为概率密度分布曲线，简称概率分布曲线、分布曲线等。分布曲线、分布曲线等。随机变量及其分布：随机变量及其分布：概率分布的数字特征概率分布的数字特征不同性质事物对象具有各种不同形状的分布，为了定量不同性质事物对象具有各种不同形状的分布，为了定量地区别各种分布的特征，通常采用的一组判别指标，称地区别各种分布的特征，通常采用的一组判别指标，称为为分布的数字特征分布的数字特征。11算术平均值算术平均值总体：总体：样本：样本：一阶原点矩一阶原点矩（随机变量取值可能随机变量取值可能性最大的位置性最大的位置）一阶原点矩的一阶原点矩

5、的样本估计值样本估计值 随机变量及其分布：随机变量及其分布：概率分布的数字特征概率分布的数字特征22方差方差总体：总体：样本：样本：二阶中心矩二阶中心矩（随机变量的变异程度）（随机变量的变异程度）二阶中心矩的二阶中心矩的样本估计值样本估计值 随机变量及其分布：随机变量及其分布：概率分布的数字特征概率分布的数字特征 3 偏斜度偏斜度总体：总体：样本：样本：三阶中心矩和三阶中心矩和二阶中心矩的二阶中心矩的3/23/2次幂的商次幂的商 （曲线偏离对称的程度曲线偏离对称的程度）样本估计值样本估计值 随机变量及其分布：随机变量及其分布：概率分布的数字特征概率分布的数字特征44峭度或峰态峭度或峰态 总体：

6、总体：样本：样本：四阶中心矩和二阶四阶中心矩和二阶中心矩平方的商中心矩平方的商 （一阶原点矩附近的斜率，一阶原点矩附近的斜率，和偏离后斜率的变化率和偏离后斜率的变化率）样本估计值样本估计值 随机变量及其分布：随机变量及其分布：离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 客客观观世世界界很很多多随随机机过过程程经经分分析析后后可可以以用用某某种种数数学学模模型型表表示。不同的物质现象有可能用类似的模型描述。示。不同的物质现象有可能用类似的模型描述。重点：重点：介绍若干重要的随机分布模型。介绍若干重要的随机分布模型。离散均匀分布离散均匀分布二项分布二项分布多项分布多项分布负二项分布负二项分布

7、几何分布几何分布超几何分布超几何分布扩充几何分布扩充几何分布 泊桑分布泊桑分布离散均匀分布离散均匀分布分布模型条件：分布模型条件：（1 1）每次试验可以有）每次试验可以有k种结果：种结果：（2 2）每种结果出现的概率均相等。）每种结果出现的概率均相等。数学模型：数学模型：均匀分布的数字特征：均匀分布的数字特征：二项分布二项分布 分布模型条件：分布模型条件：（1）设试验系由）设试验系由n次观测组成。次观测组成。（2）每次观测只有）每次观测只有“是是”和和“非非”两种可能的结果出现。两种可能的结果出现。（3）观观测测结结果果中中出出现现“是是”的的概概率率为为常常数数p，而而出出现现“非非”的概率

8、为的概率为q=1-p。（4）每一次观测均为独立的，即每次观测的结果不受其）每一次观测均为独立的，即每次观测的结果不受其它任何一次观测的影响。它任何一次观测的影响。二项分布二项分布 在在n次观测中次观测中“是是”出现出现x次的概率呈二项分布，模型：次的概率呈二项分布，模型：C(n|x)表示组合数，即从表示组合数，即从n个事物中拿出个事物中拿出x个的方法数个的方法数.二项分布二项分布 二项分布的数字特征：二项分布的数字特征：总体平均值总体平均值 对对 的方差的方差 总体的方差为总体的方差为其中其中可以是可以是0或或1，表示，表示“非非”或或“是是”。二项分布二项分布 例例 已已知知某某厂厂生生产产

9、某某A产产品品的的合合格格率率75%，现现进进行行一一试试验验，随随机机地地检检查查3个个产产品品，看看它它是是否否合合格格。定定义义不不合合格格产产品品为为“是是”，则则试试验验结结果果为为“是是”的次数的次数x作为随机变量，可取：作为随机变量，可取：0，1，2，3中一个值。中一个值。多项分布多项分布 分布模型条件（二项分布的一种扩充模型分布模型条件（二项分布的一种扩充模型）：）：（1）每每次次观观测测可可以以有有k种种可可能能的的结结果果出出现现：，而而各各种种结果都相互排斥。结果都相互排斥。（2）各种结果出现的概率分别为常数：）各种结果出现的概率分别为常数：。（3）每每一一次次观观测测均

10、均为为独独立立，即即每每次次观观测测的的结结果果不不受受其其他他任任何何一一次次观观测的影响。测的影响。多项分布多项分布 则则n次次试试验验的的结结果果，出出现现：次次，次次，次次的的概概率系多项分布，表示为：率系多项分布，表示为：负二项分布负二项分布 分布模型条件：分布模型条件：（条件与二项试验相仿，考虑问题的角度相反（条件与二项试验相仿，考虑问题的角度相反）（1）由多次独立观测构成的试验。）由多次独立观测构成的试验。（2）每次观测只有）每次观测只有“是是”和和“非非”两种可能的结果出现。两种可能的结果出现。（3）结果为）结果为“是是”的概率为常数的概率为常数p。得到得到k次次“是是”所需的

11、观测次数所需的观测次数x的概率系负二项分布：的概率系负二项分布：负二项分布负二项分布 例例由由统统计计知知道道某某药药剂剂的的有有效效率率为为60%，将将该该药药剂剂用用于于一一组组病病人人。当当用用到到第第7名名病病人人时时，累累计计有有效效的的病病人人数数增增加加到到5名的概率为多少？名的概率为多少？解解：除除了了最最后后一一次次按按题题意意必必须须成成功功之之外外，其其余余（7-1）次次中中有有（5-1）次次成成功功的的方方式式共共有有种种，因因此此，满满足足要要求的概率为：求的概率为：负二项分布负二项分布 负二项分布的数字特征为：负二项分布的数字特征为：几何分布几何分布 这这是是负负二

12、二项项分分布布当当时时的的一一个个特特例例，即即：得得到到第第一一次次“是是”所所需需要要的的试试验验次次数数为为x时时的的概概率率。设设，出出现现“是是”的概率为的概率为p，几何分布的模型描述为：，几何分布的模型描述为：几何分布的数字特征为：几何分布的数字特征为：几何分布几何分布 例例由由统统计计结结果果已已知知某某生生产产过过程程平平均均每每100件件产产品品中中有有1件件废废品品。随随机机检检查查到到第第5件件产产品品，发发现现废废品品的的概概率率为为多多少少？解：解：这是几何分布，这是几何分布，则，则超几何分布超几何分布 是二项分布的一种变型，其条件为：是二项分布的一种变型，其条件为：

13、（1）对象为有限的）对象为有限的N个物体，其中个物体，其中k件为件为“是是”，N-k为为“非非”。（2）从）从N个物件中，随机地逐个取出个物件中，随机地逐个取出n件，且每次取出后没有替换。件，且每次取出后没有替换。则在则在n件中出现件中出现“是是”的次数的次数x系超几何分布，其模型描述为：系超几何分布，其模型描述为：超几何分布超几何分布 例例 某某车车间间生生产产的的元元件件按按40个个装装箱箱后后进进行行质质量量检检验验，其其步步骤骤为为：从从每每箱箱随随机机检检查查5个个元元件件，若若出出现现二二等等品品，则则把把该该箱箱退退回回车车间间返返装装。现现若若车车间间采采取取每每40个个元元件

14、件中中允允许许有有3个个二二等等品品的的质质量量控控制制标标准准，则则返返装装的概率的概率p为多少？为多少？解：解：用超几何分布模型计算：用超几何分布模型计算：超几何分布超几何分布 超几何分布的数字特征：超几何分布的数字特征：扩充几何分布扩充几何分布 将超几何分布扩充到以下条件：将超几何分布扩充到以下条件：（1）全全体体为为有有限限的的N个个物物体体，可可分分为为m类类：，它它们们在在N中分别含中分别含件。件。（2）从）从N物件中，随机地逐个取出物件中，随机地逐个取出n件，且每次取出后不再替换，件，且每次取出后不再替换，则则得得到到个个类类，个个类类，个个类类物物件件的的概概率率为为扩充超几何

15、分布，其模型为：扩充超几何分布，其模型为：泊桑分布泊桑分布这是一种常见的重要离散分布，其条件是：这是一种常见的重要离散分布，其条件是：（1）已知某种事件在一定时间区段内出现的平均次数为）已知某种事件在一定时间区段内出现的平均次数为。（2）这种事件可能出现的次数远大于）这种事件可能出现的次数远大于。（3）该事件每次出现均为独立。）该事件每次出现均为独立。（4）该该事事件件出出现现的的次次数数仅仅与与时时间间区区段段长长度度有有关关，而而与与区区段段外外这这种种事事件出现的次数无关。件出现的次数无关。则则在在某某个个给给定定的的时时间间区区段段内内，该该事事件件出出现现x次次的的概概率率为为泊泊桑

16、分布，其模型描述为：桑分布，其模型描述为：例例1910年年Rutherford和和Geiger在镤放射源前的小屏幕上记录在镤放射源前的小屏幕上记录粒粒子每分钟撞击次数子每分钟撞击次数x的频数列于下表。的频数列于下表。每分钟撞击次数每分钟撞击次数观测到的频数观测到的频数撞击次数撞击次数按泊桑分布计算按泊桑分布计算的频数的频数057054120320321123837664073525157552645352128508540820403946273163825471399731408453606892724329101010011116666总计总计2608100922608例例1910年年Ru

17、therford和和Geiger在镤放射源前的小屏幕上记录在镤放射源前的小屏幕上记录粒粒子每分钟撞击次数子每分钟撞击次数x的频数列于下表。的频数列于下表。解解：考考虑虑到到不不太太长长的的时时期期内内，粒粒子子放放出出的的平平均均次次数数为为常常数数，每每个个粒粒子子的的放放出出可可认认为为独独立立，且且放放出出次次数数只只与与时时间间有有关关，故故可可假假设设符符合合泊桑分布。泊桑分布。首先计算首先计算 粒子放出的平均次数：粒子放出的平均次数：则泊桑分布模型：则泊桑分布模型：计算不同计算不同 值时的频数列于表，可见与实际观测值非常接近。值时的频数列于表，可见与实际观测值非常接近。泊桑分布泊桑

18、分布泊桑分布的数字特征：泊桑分布的数字特征：泊桑分布与二项分布之间的关系泊桑分布与二项分布之间的关系 由二项分布的数字特征得：由二项分布的数字特征得：由二项分布模型得：由二项分布模型得：泊桑分布与二项分布之间的关系泊桑分布与二项分布之间的关系 当当时，上式有时，上式有又因为：又因为：所以得：所以得：但是只有当但是只有当时，时，才为有限值，所以应写为：才为有限值，所以应写为：几几种种离离散散分分布布模模型型之之间间的的关关系系随机变量及其分布：随机变量及其分布：连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布当当随随机机变变量量可可以以在在数数轴轴的的一一个个连连续续区区段段内内取取任任意意值值

19、，则则需要用连续型概率分布模型。需要用连续型概率分布模型。重点：重点：介绍连续型随机变量若干重要的分布模型。介绍连续型随机变量若干重要的分布模型。连续均匀分布连续均匀分布指数分布指数分布Gamma分布分布Beta分布分布Weibull分布分布Chi平方分布平方分布连续均匀分布连续均匀分布(矩形分布矩形分布)特特点点：在在一一定定范范围围内内（从从上上限限a到到下下限限b），事事件件出出现现的的概概率密度率密度q为常数，而在该范围之外为为常数，而在该范围之外为0。概率密度的数学模型：概率密度的数学模型：连续均匀分布连续均匀分布(矩形分布矩形分布)对对x积分后得到分布函数积分后得到分布函数Q：连续

20、均匀分布连续均匀分布(矩形分布矩形分布)矩形分布的数字特征：矩形分布的数字特征：指数分布指数分布适用于描述出现某事件所需等待时间的概率分布。适用于描述出现某事件所需等待时间的概率分布。（例如设备从开始运行到出现故障的延续时间。）（例如设备从开始运行到出现故障的延续时间。）数学形式可在以下假设条件下引出：数学形式可在以下假设条件下引出：（1）在在任任一一时时间间段段内内，事事件件发发生生的的概概率率仅仅与与时时间间段段的长度的长度有关，而与时间的起点有关，而与时间的起点或终点或终点无关。无关。（2）在在一一小小段段时时间间内内，事事件件发发生生的的概概率率近近似似地正比于时间段长地正比于时间段长

21、，即，即。（3）在不相重叠的各时间段内，事件的发生是独立的。）在不相重叠的各时间段内，事件的发生是独立的。指数分布指数分布将不发生事件的时间段（将不发生事件的时间段（0，x）分成）分成n等份：等份：各时间段内事件系独立发生，又令各时间段内事件系独立发生，又令p为不发生事件的概率：为不发生事件的概率：t为发生事件的时刻为发生事件的时刻根据条件（根据条件（1）和（）和（2）：）：为发生事件的概率为发生事件的概率 指数分布指数分布因此，在因此，在时发生事件的概率为：时发生事件的概率为：这是分布函数，相应的密度函数为分布函数的导数：这是分布函数，相应的密度函数为分布函数的导数：其中其中为寿命参数。为寿

22、命参数。（这这是是和和离离散散型型的的几几何何分分布布相相对对应应的的一一种种连连续续分分布布模模型型。它它在在设设备备和和元元件件的的寿寿命命问问题题中中有有广广泛泛的的应应用用，实实际际上上是是可可靠性研究领域中的一种标准分布。）靠性研究领域中的一种标准分布。）指数分布指数分布当当 时，指数时，指数分布的密度函数分布的密度函数 当当 时，指数时，指数分布的分布函数分布的分布函数 指数分布指数分布指数分布的数字特征为：指数分布的数字特征为：指数分布指数分布例例某某设设备备采采用用一一元元件件，它它的的故故障障时时间间T遵遵循循指指数数分分布布，并并已已测测得得参参数数为为。现现将将该该种种元

23、元件件分分别别用用于于5台台设设备备中中，试试问问：8年年以以后后，至至少少还还有有2个个该该种种元元件件仍仍在在工工作作着着的的概率为多少？概率为多少？解：解：根据指数分布，根据指数分布，8年后该元件仍在工作着的概率为：年后该元件仍在工作着的概率为：令令x表表示示8年年后后仍仍在在工工作作着着的的元元件件数数，由由于于这这是是离离散散性性问问题题，所以采用二项分布：所以采用二项分布：Gamma分布（第三类分布（第三类Pearson分布）分布）设在时间区段设在时间区段内，事件的平均出现率为每单位时间内，事件的平均出现率为每单位时间次。次。Gamma分布系用来描述出现分布系用来描述出现r次事件所

24、需要的时间长次事件所需要的时间长度度x的概率分布。的概率分布。数学模型：数学模型：1将时间区段将时间区段离散化，把它等分为离散化，把它等分为n个子区段，长度均为个子区段，长度均为T/n。取。取n足够大，使每个区段出现足够大，使每个区段出现1次以上事件的概率可以忽略不次以上事件的概率可以忽略不计。又设各子区段中事件的出现均为独立。因此，在任一子区段计。又设各子区段中事件的出现均为独立。因此，在任一子区段出现一个事件的概率为：出现一个事件的概率为：2 2 出现出现r r次事件所需要的时间区段个数次事件所需要的时间区段个数k k的概率可以用负二项分布描述的概率可以用负二项分布描述为：为：数学模型：数

25、学模型：3得到得到x的密度函数为：的密度函数为：Gamma分布分布考虑考虑Gamma函数：函数：当当r为非负整数时为非负整数时出现每次事件平均所需时间出现每次事件平均所需时间 单参数单参数Gamma分布分布Gamma分布分布二参数二参数Gamma分布的数字特征为：分布的数字特征为：单单参参数数Gamma分分布布当当r=1时，单参数时，单参数Gamma分布分布就是就是的指数分布。的指数分布。设设有有r个个独独立立的的随随机机变变量量都都符符合的合的指数分布，指数分布，定义另一随机变量：定义另一随机变量：则则y将符合单参数将符合单参数Gamma分布。分布。Beta分布（第一类分布（第一类Pears

26、on分布分布）最简单的二参数形式的密度函数为（最简单的二参数形式的密度函数为（r和和s是二参数是二参数）：）：二参数二参数Beta分布的数字特征：分布的数字特征：Weibull分布分布最常用的是它最简单的二参数形式密度函数：最常用的是它最简单的二参数形式密度函数：k为标度参数，为标度参数，s为形状参数。为形状参数。二参数二参数Weibull分布的数字特征为：分布的数字特征为：广泛应用于寿命检验，可广泛应用于寿命检验，可靠性研究等方面的模型。靠性研究等方面的模型。单单参参数数Weibull分分布布的的密密度度函函数数Chi分布分布Gamma分布的另一种特殊情况是当：分布的另一种特殊情况是当：时时

27、称称为为Chi平平方方分分布布。它它是是假假设设检检验验的的重重要要工工具具，其其密密度度函函数为：数为：称为自由度（它的含义将在以后章节中介绍）。称为自由度（它的含义将在以后章节中介绍）。Chi平方分布的数字特征为：平方分布的数字特征为：几种分布之间的关系几种分布之间的关系几种连续和离散分布之间的关系几种连续和离散分布之间的关系离散对象离散对象连续对象连续对象单单次次事事件件几何分布几何分布出现一次事件需要测试出现一次事件需要测试的次数的次数指数分布指数分布出现一次事件需要延续的出现一次事件需要延续的时间长度时间长度多多次次事事件件负二项分布负二项分布出现出现k次事件需要测试的次事件需要测试

28、的次数次数xGamma分布分布出现出现r次事件需要延续的次事件需要延续的时间长度时间长度x随机变量及其分布：随机变量及其分布：正态分布正态分布这这是是连连续续型型随随机机变变量量的的一一种种最最常常见见分分布布模模型型。在在很很多多实实际情况下可以用它描述或近似地描述随机变量的分布。际情况下可以用它描述或近似地描述随机变量的分布。当当观观测测数数据据中中包包含含的的误误差差纯纯属属随随机机性性，则则这这种种随随机机变变量量的的概概率率密密度度函函数数一一般般可可用用正正态态分分布布模模型型描描述述。随随机机误误差差的特点：的特点：（1）大小相等而符号相反的误差出现的概率密度相同。）大小相等而符

29、号相反的误差出现的概率密度相同。（2）概率密度随误差的绝对值增大而单调下降。）概率密度随误差的绝对值增大而单调下降。（3）绝对值很大的误差出现的概率密度趋于零。）绝对值很大的误差出现的概率密度趋于零。正态分布正态分布正态分布的密度函数为：正态分布的密度函数为：（精确度指数）（精确度指数）和和分别表示观测数据总体平均值和标准差。分别表示观测数据总体平均值和标准差。正正态态分分布布密密度度函函数数曲曲线线的的位位置置和和形形状状决决定定于于和和两两个个参数，可以简单地表示为：参数，可以简单地表示为：正正态态分分布布曲曲线线 正态分布正态分布根据误差定义根据误差定义只包含随机因素影响的观测数据，只包

30、含随机因素影响的观测数据，为随机误差。得：为随机误差。得：这这就就是是随随机机误误差差的的概概率率密密度度函函数数，或或称称随随机机误误差差的的正正态态分分布。因为它们的形状只决定于单个参数布。因为它们的形状只决定于单个参数 ，所以表示为：，所以表示为：又称其为又称其为Gauss误差分布概率方程。误差分布概率方程。随随机机误误差差的的正正态态分分布布 标准标准正态分布正态分布引入一个新的随机变量：引入一个新的随机变量：得：得：（1）时，时，为概率密度最大位置。，为概率密度最大位置。（2）从正负两方面离开从正负两方面离开0后，概率密度后，概率密度的值都下降。的值都下降。（3）密度曲线对）密度曲线

31、对垂直线对称，垂直线对称，。（4）在）在和和处各有一个变凹点。处各有一个变凹点。（5）在在和和之之间间，密密度度曲曲线线下下的的面面积积表表示示取取值值在区间在区间的概率，即：的概率，即：（6）从）从到到，曲线下的面积为，曲线下的面积为1.0。（7）正态分布的数字特征为：）正态分布的数字特征为：（8）规则：规则：标准正态分布有下列性质标准正态分布有下列性质设设为为n个个具具有有正正态态分分布布的的随随机机变变量量，它它们们的的总总体平均值和方差体平均值和方差分别为：分别为：和和则由则由线性组合而构成的随机变量线性组合而构成的随机变量也将具有正态分布。也将具有正态分布。且它的总体平均值为：且它的

32、总体平均值为：方差为：方差为：正正态态分分布布的的重重现现性性。可可以以证证明明：泊泊桑桑分分布布和和Chi平平方方分分布布也具有重现性。也具有重现性。重要特性重要特性 正态分布和其他分布的关系正态分布和其他分布的关系对对于于具具有有二二项项分分布布的的随随机机变变量量x，当当时时，它经变换后的变量：它经变换后的变量：将遵循标准正态分布，即将遵循标准正态分布，即。对于对于Gamma分布，在分布，在r值逐渐增大后，将趋于正态分布。值逐渐增大后，将趋于正态分布。例例如如，设设，则则Gamma分分布布的的数数字字特特征：征：和正态分布的数字特征已非常接近。和正态分布的数字特征已非常接近。正态分布判断

33、正态分布判断过程测量变量：过程测量变量：（1）平均值附近出现的概率最大。）平均值附近出现的概率最大。（2）离平均值正负两方面偏差出现的概率差不多。）离平均值正负两方面偏差出现的概率差不多。（3）很大的偏差出现的概率很小。）很大的偏差出现的概率很小。如果：如果：则则可以满意地用正态分布可以满意地用正态分布。对数正态分布对数正态分布对对数数正正态态分分布布是是描描述述不不对对称称分分布布最最重重要的一种模型要的一种模型:对数正态分布的数字特征：对数正态分布的数字特征：若若x为为具具有有对对数数正正态态分分布布的的随随机机变变量量，则则 将将是是一一个具有正态分布的随机变量。个具有正态分布的随机变量

34、。对对数数正正态态分分布布的的密密度度函函数数 随机变量的函数随机变量的函数设设x和和y是两个随机变量，它们同时取某两个值时的概率是两个随机变量，它们同时取某两个值时的概率称为称为x和和y的的联合概率分布函数。联合概率分布函数。若若x和和y为为离离散散型型随随机机变变量量，在在二二维维空空间间x-y中中任任一一区区域域A上上取值，如果：取值，如果：（1）对所有的）对所有的，函数值，函数值。（2）。（3）x和和y在区域在区域A上概率为：上概率为：则则是是x和和y的联合概率密度。的联合概率密度。随机变量的函数随机变量的函数若若x和和y为为连连续续型型随随机机变变量量，在在二二维维空空间间x-y中中

35、任任一一区区间间A取取值，如果：值，如果：（1）对所有的）对所有的，函数值，函数值。（2）。（3）x和和y在区域在区域A上概率为：上概率为：则则是是x和和y的联合概率密度。的联合概率密度。随机变量的函数随机变量的函数一个或多个随机变量的函数的概率分布一个或多个随机变量的函数的概率分布:有有离离散散型型随随机机变变量量x的的概概率率分分布布为为，而而表表示示x和和y之之间间“一一对对一一”的的函函数数变变换换关关系系，且且为为用用y表表示的示的x值。则值。则y的概率分布为：的概率分布为：随机变量的函数随机变量的函数一个或多个随机变量的函数的概率分布一个或多个随机变量的函数的概率分布:连连续续型型随随机机变变量量x的的概概率率密密度度分分布布为为，而而表表示示x和和y之之间间“一一对对一一”的的函函数数变变换换关关系系，且且为为用用y表示的表示的x值。则值。则y取值在取值在区间内的概率分布为：区间内的概率分布为：由此可知由此可知y的概率密度函数为：的概率密度函数为：